선형대수학 - 선형 결합

 안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 부분공간에서는 벡터공간에 이어서 어떻게 보면 부분집합과 비슷한 개념이 부분공간에 대해서 알아보았으며 다양한 예제들을 통해 부분공간임을 증명해보았습니다. 오늘은 선형 결합(linear combination)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의 1. 선형 결합(Linear Combination)

$V$를 벡터공간, 그리고 $S$를 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. $v \in V$에 대해서 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$을 만족하는 유한 개의 벡터 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in S$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하면 벡터 $v$는 벡터 $u_{1}, \dots, u_{n}$의 선형결합, 그리고 계수 $a_{1}, \dots, a_{n}$의 선형결합의 계수라고 한다. 

 

Let $V$ be the vector space and $S$ a nonempty subset of $V$. A vector $v \in V$ is called linear combination of vector if there exist a finit number of vectors $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in S$, and scalars $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$ such that $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$. In this case, $v$ is a linear combination of $u_{1}, \dots, u_{n}$, and scalars $a_{1}, \dots, a_{n}$ is the coefficient of linear combination.

 

Remark1.

영벡터 $\mathbf{0}$은 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 임의의 부분집합의 선형결합이다. 

 

설명

 간단히 말해 선형 결합은 벡터공간 $V$의 벡터들($\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}$)과 체 $\mathbf{F}$의 스칼라들($c_{1}, \dots, c_{n}$) 사이의 곱셈합을 의미합니다. 간단한 예제를 보도록 하죠.

 

예제1. $V = \mathbb{R}^{3}$ 그리고 $s = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$라고 할 때 1)$(3, 4, 0)$과 2)$(0, 0, 1)$이 선형 결합으로 표현될 수 있는가?

1). 가능

 

$$(3, 4, 0) = 3 \cdot (1, 0, 0) + 4 \cdot (0, 1, 0)$$

 

2). 불가능

 

 정의 2. 선형 생성(Linear Span)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$의 선형 생성(Linear Span)은 $S$의 원소들의 모든 유한 선형결합으로 이루어진다. 

 

$$\text{span}(S) = \{\sum_{i = 1}^{k} c_{i}\mathbf{u}_{i} | k \in \mathbb{N}, \mathbf{u}_{i} \in S, c_{i} \in \mathbf{F}\}$$

 

Let $S$ be a nonempty subset of a vector space $V$. The span of $S$, denoted by $\text{span}(S)$, is the set consisting of all combination of the vectors in $S$. For convienience, we define $\text{span}(\emptyset) = \{0\}$.

 

설명

쉽게 말해 선형생성은 선형결합의 계수 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 들이 임의의 값이라고 했을 때 모든 경우들을 모아놓은 집합이라고 생각하시면 됩니다. 예를 들어, 집합 $S = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$의 선형생성을 구해보도록 하죠. 저희는 임의의 두 계수를 $a, b \in \mathbb{R}$라고 하겠습니다. 먼저, 이 집합의 선형결합을 구해보면 아래와 같죠. 

 

$$a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) = (a, b, 0)$$

 

이제, 이러한 값들을 집합의 형태로 써주면 아래와 같습니다. 

 

$$\text{span}(S) = \{(a, b, 0) | a, b \in \mathbb{R}\}$$

 

즉, $(1, 2, 0), (-100, 2, 0), (-0.12315, 11513, 0)$과 같은 벡터들이 모두 집합 $S$의 선형생성에 속하는 원소들입니다. 다만, $(0, 0, 1)$은 속하지 않죠. 그런데, 이와 같이 첫번째 성분과 두번째 성분을 전부 실수값으로 채우면 어떤 집합과 동일한 지 아시겠나요? 바로 2차원 실수공간 $\mathbb{R}^{2}$입니다. 즉, $\text{span}(S) = \mathbb{R}^{2}$라고 할 수 있습니다. 그렇다면 여기서 궁금한 점이 생깁니다. 벡터공간 $V$의 어떤 집합을 가져와서 선형생성을 구했을 때 벡터공간 $V$의 부분공간을 만족할 수 있을까요? 이에 대한 답을 아래의 정리에서 해줄 수 있습니다. 

 

 정리1.

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$의 선형 생성(Linear Span)은 벡터공간 $V$의 부분공간이다. 

$$\text{span}(S) < V$$

 

증명

이 정리의 증명의 핵심은 선형생성이 벡터공간 $V$의 "부분공간임을 증명"하는 것입니다. 어? 지난 포스팅의 정리1이 떠오르셨다면 아주 잘하셨습니다. 바로 증명해보도록 하죠. 기본적으로 위의 정리에서 "임의의 집합"이라고 하였기 때문에 집합 $S$가 공집합일 수도 있습니다. 따라서 두 가지 경우로 나누어서 증명해보도록 하죠.

 

1). 집합 $S = \emptyset$이라고 하자. 정의2에 의해 $\text{span}(S) = \{0\}$이다. 이는  벡터공간 $V$의 모든 부분공간이 포함하는 집합이므로 이는 부분공간이다. 

 

2). 집합 $S \neq \emptyset$이라고 하자. 

 

(a). 집합 $S$에서 임의의 $n$개의 벡터 $z_{1}, \dots, z_{n} \in S$를 선택한다. 그리고 선형결합의 계수로 전부 0을 선택하면 $0 \cdot z_{1} + 0 \cdot z_{2} + \cdots + 0 \cdot z_{n} = \mathbf{0} \in \text{span}(S)$이다. 

 

(b). 임의의 두 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \text{span}(S)$를 선택한다. 두 벡터 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 모두 선형생성된 집합의 원소이기 때문에 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{m} \in S$와 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \in S$에 대해 계수 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} \in \mathbf{F}$와 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n} \in \mathbf{F}$를 가지는 선형결합으로 표현할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} &\mathbf{x} = a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + \cdots + a_{m}u_{m} \\ &\mathbf{y} = b_{1}v_{1} + b_{2}v_{2}+ \cdots + b_{n}v_{n}\end{align*}$$

 

따라서, 두 벡터의 합 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{m}u_{m} + b_{1}v_{1} + \cdots + b_{n}v_{n}$은 벡터 $u_{1}, \dots, u_{m}, v_{1}, \dots, v_{n} \in S$에 대해 계수 $a_{1}, \dots, a_{m}, b_{1}, \dots, b_{n} \in \mathbf{F}$의 선형결합으로 표현되므로 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \text{span}(S)$이다.

 

(c). 임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \text{span}(S)$와 스칼라 $c \in \mathbf{F}$를 선택한다. 벡터 $\mathbf{x}$는 선형생성된 집합의 원소이기 때문에 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{m} \in S$에 대해 계수 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} \in \mathbf{F}$를 가지는 선형결합으로 표현할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} &\mathbf{x} = a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + \cdots + a_{m}u_{m}\end{align*}$$

 

따라서, 스칼라곱 $c\mathbf{x} = ca_{1}u_{1} + \cdots + ca_{m}u_{m}$은 벡터 $u_{1}, \dots, u_{m} \in S$에 대해 계수 $ca_{1}, \dots, ca_{m} \in \mathbf{F}$의 선형결합으로 표현되므로 $c\mathbf{x} \in \text{span}(S)$이다.

 

(a), (b), 그리고 (c)에 대해서 $\text{span}(S)$가 모두 성립하므로 선형대수학-부분공간의 정리1에 의해 $\text{span}(S)$는 벡터공간 $V$의 부분공간이다. 

 

 정리2.

벡터공간 $V$의 $S$를 포함하는 임의의 부분공간은 항상 $\text{span}(S)$를 포함한다. 

 

 보조정리2-1.

$W$를 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하고 $w_{1}, \dots, w_{n} \in W$라고 할 때 임의의 스칼라 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$에 대해서 $a_{1}w_{1} + \cdots + a_{n}w_{n} \in W$이다.

 

증명

정리2를 증명하기 위해서는 보조정리2-1를 먼저 증명해야합니다. 

 

$W$가 벡터공간 $V$의 부분공간이므로 $W$은 벡터합과 스칼라곱에 대해서 닫혀 있다. 따라서, 임의의 두 벡터 $w_{i} + w_{j} \in W$이고 $a_{i}w_{i} \in W$이므로 $a_{1}w_{1} + \cdots + a_{n}w_{n} \in W$이다. 

 

생각보다 아주 간단하네요. 보조정리2는 쉽게 정리하면 부분공간의 벡터들이 주어졌을 때 이 벡터들의 선형결합 역시 부분공간의 원소가 된다는 의미입니다. 약간, 미분방정식의 'Principle of Superposition'과 유사한 느낌이 있습니다. 이를 바탕으로 정리2를 증명해보도록 하겠습니다. 

 

 

GOAL : 임의의 $w \in \text{span}(S)$에 대해서 $w \in W$이다. 

 

 

임의의 $w \in \text{span}(S)$를 선택하면 $w$는 선형생성의 벡터이므로 벡터 $w_{1}, \dots, w_{n} \in S$ 그리고 계수 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$의 선형결합으로 표현할 수 있다. 

 

$$w = a_{1}w_{1} + \cdots + a_{n}w_{n}$$

 

이때, $W \subseteq W$이므로 $w_{1}, \dots, w_{n} \in W$이다. 여기서 보조정리2-1에 의해서 $w = a_{1}w_{1} + \cdots + a_{n}w_{n} \in W$이다. 임의의 벡터 $w \in \text{span}(S)$에 대해서 $w \in W$가 성립하므로 $\text{span}(S) \subseteq W$이다. 

 

 정의3. 

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 선형생성 $\text{span}(S) = V$를 만족하면 부분집합 $S$가 벡터공간 $V$를 '생성한다(generate)' 라고 한다. 

 

A subset $S$ of a vector space $V$ generates (or span) $V$ if $\text{span}(S) = V$.

 

설명

여기서 주의해야할 점은 단순히 선형생성을 한다고 해서 항상  벡터공간 $V$를 생성할 수 없다는 점 입니다. 예를 들어, 정의2에 대해서 설명할 때 사용했던 $S = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$의 경우에는 $\text{span}(S) = \mathbb{R}^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$이기 때문이죠. 그렇다면, 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$가 주어졌을 때 그 선형생성이 벡터공간 $V$와 동일하다는 것을 어떻게 증명할 수 있을까요? 예를 들어보겠습니다. 이번에는 $S = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\}$이 주어졌을 때 $V = \mathbb{R}^{3}$의 부분집합임을 알 수 있습니다. 이제 $\text{span}(S)$를 정하기 위해 임의의 계수 $a, b, c \in \mathbb{R}$이라고 하겠습니다. 

 

$$a(1, 1, 0)+b(1, 0, 1) + c(0, 1, 1) = (a + b, a + c, b + c)$$

 

따라서, $\text{span}(S) = \{(a + b, a + c, b + c) | a, b, c \in \mathbb{R}\}$입니다. 이때, $\text{span}(S)$가 $\mathbb{R}^{3}$과 동일함을 증명하기 위해서는 임의의 실수벡터 $(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$로 표현될 수 있음을 증명해야하죠. 저희는 $a, b, c$를 아래와 같이 두면 됩니다. 

 

$$\begin{align*} &a = \frac{1}{2}(x + y - z) \\ &b= \frac{1}{2}(x - y + z) \\ &c = \frac{1}{2}(-x + y + z) \end{align*}$$

 

$\text{span}(S)$가 임의의 실수벡터 $(x, y, z)$로 표현되기 때문에 $\text{span}(S) = \mathbb{R}^{3}$이 되어 $S$는 $\mathbb{R}^{3}$를 생성한다고 할 수 있습니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)