선형대수학 - 선형 종속과 독립

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 결합에서는 선형 결합(linear combination)의 정의와 선형 생성(linear span)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 빠질수없는 개념인 선형 종속(linearly dependent)와 선형 독립(linearly independent)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의 1. 선형 종속 (Linearly dependent)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$가 $a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n} = \mathbf{0}$를 만족하는 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 0이 아닌 조합이 존재한다면 $S$는 선형 종속(linearly dependent)이다.

 

A subset $S$ of a vector space $V$ is called linearly dependent if there exist a finite number of distinct vectors $u_{1}, \dots, u_{n} \in S$ and all nonzeros scalars $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$ such that

 

$$a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$$

 

In this case, we also say that the vectors of $S$ are linearly dependent.

 

 정의2. 선형 독립 (Linearly independent)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$가 선형 종속이 아니라면 선형독립 (Linearly independent)이라고 한다. 

 

A subset $S$ of a vector space $V$ that is not linearly dependent is called linearly independent.

 

Remark1.

1. 공집합은 선형독립이다. 따라서, 선형종속이기 위해서는 반드시 공집합이 아니여야한다. 

2. 0이 아닌 단 하나의 벡터를 포함하는 집합 $S$는 선형독립이다. $S =\{u\}$라고 할 때, 집합 $S$가 선형종속이라고 하면 $au = 0$을 만족하는 계수 $a$는 0이 아니므로 $u = (a^{-1}a)u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = \mathbf{0}$이다.

설명

선형 독립과 종속은 이후에 배울 고급개념에서 항상 등장하는 기초개념이기 때문에 꼭 숙지하는 것이 중요합니다. 간단한 예제들을 통해 알아보도록 하죠.

 

예제1. $S = \{(1, 0, 0, -1), (0, 1, 0, -1), (0, 0, 1, -1),(0, 0, 0, 1)\} \subset \mathbb{R}^{4}$이 선형 독립인가? 종속인가?

$\mathbf{u}_{1} = (1, 0, 0, -1), \mathbf{u}_{2} = (0, 1, 0, -1), \mathbf{u}_{3} = (0, 0, 1, -1), \mathbf{u}_{4} = (0, 0, 0, 1)$이라고 하자. $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbf{R}$이라고 할 때, $a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} + a_{3}\mathbf{u}_{3} + a_{4}\mathbf{u}_{4} = \mathbf{0}$이라고 가정하자. 

 

$$\begin{align*} a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} + a_{3}\mathbf{u}_{3} + a_{4}\mathbf{u}_{4} &= (a_{1}, 0, 0, -a_{1}) + (0, a_{2}, 0, -a_{2}) + (0, 0, a_{3}, -a_{3}) + (0, 0, 0, a_{4}) \\ &= (a_{1}, a_{2}, a_{3}, -a_{1}-a_{2}-a_{3} + a_{4}) = (0, 0, 0, 0)\end{align*}$$

 

따라서 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{1}&= 0 \\ a_{2} &= 0 \\ a_{3} &= 0 \\ -a_{1} - a_{2} - a_{3} + a_{4} &= 0\end{align*}$$

 

이때, $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = 0$이므로 $S$는 선형 독립이다. 

 

예제2.$S = \{\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2\end{bmatrix}\} \in M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$는 선형종속이다. 

$\mathbf{u}_{1} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \mathbf{u}_{2} = \begin{bmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7\end{bmatrix}, \mathbf{u}_{3} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2\end{bmatrix}$이라고 하자. $a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}$이라고 할 때, $a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} + a_{3}\mathbf{u}_{3} = \mathbf{0}$이라고 가정하자. 

 

$$\begin{align*} a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} + a_{3}\mathbf{u}_{3} &= \begin{bmatrix} a_{1} & -3a_{1} & 2a_{1} \\ -4a_{1} & 0 & 5a_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3a_{2} & 7a_{2} & 4a_{2} \\ 6a_{2} & -2a_{2} & -7a_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2a_{3} & 3a_{3} & 11a_{3} \\ -a_{3} & -3a_{3} & 2a_{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{1} - 3a_{2} -2a_{3} & -3a_{1} + 7a_{2} + 3a_{3} & 2a_{1} + 4a_{2} + 11a_{3} \\ -4a_{1} + 6a_{2} - a_{3} & -2a_{2} - 3a_{3} & 5a_{1} -7a_{2} + 2a_{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}$$

 

따라서 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{1} - 3a_{2} - 2a_{3} &= 0 \\ -3a_{1} + 7a_{2} + 3a_{3} &= 0 \\ 2a_{1} + 4a_{2} + 11a_{3} &= 0 \\ -4a_{1} + 6a_{2} - a_{3} &= 0 \\ -2a_{2} + 2a_{3} &= 0 \\ 5a_{1} - 7a_{2} + 2a_{3} &= 0\end{align*}$$

 

이때, $\begin{align*} -2a_{2} - 3a_{3} = 0 \Rightarrow a_{3} = -\frac{2}{3}a_{2}\end{align*}$이기 때문에 아래와 같이 식이 변형된다. 

 

$$\begin{align*} a_{1} - 3a_{2} - 2a_{3} = a_{1} - 3a_{2} +\frac{4}{3}a_{2} = a_{1} - \frac{5}{3}a_{2} &= 0 \\ -3a_{1} + 7a_{2} + 3a_{3} = -3a_{1} + 7a_{2} - 2a_{2} = -3a_{1} + 5a_{2} &= 0 \\ 2a_{1} + 4a_{2} + 11a_{3} = 2a_{1} + 4a_{2} - \frac{22}{3}a_{2} = 2a_{1} - \frac{10}{3}a_{2} &= 0 \\ -4a_{1} + 6a_{2} - a_{3} = -4a_{1} + 6a_{2} + \frac{2}{3}a_{2} = -4a_{1} + \frac{20}{3}&= 0 \\ 5a_{1} - 7a_{2} + 2a_{3} = 5a_{1} - 7a_{2} - \frac{4}{3}a_{3} = 5a_{1} - \frac{25}{3}a_{3} &= 0\end{align*}$$

 

위 식들 모두 $3a_{1} = 5a_{2}$임을 알 수 있다. 그러므로 $6a_{1} = 10a_{2} = -15a_{3}$을 만족하기 때문에 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (10, 6, -4), ...$와 같은 비자명 근이 존재하기 때문에 $S$는 선형 종속이다.

 

예제3. $k = 0, 1, \dots, n$에 대해서 $p_{k}(x) = x^{k} + \cdots + x^{n}$이라고 하면 집합 $S = \{p_{0}(x), p_{1}(x), \dots, p_{n}(x)\}$는 선형독립이다. 

 

$a_{0}, \dots, a_{n} \in \mathbb{R}$인 $n$개의 스칼라를 선택한다. 

 

$$\begin{align*} &a_{0}(1 + x + x^{2} + \cdots + x_{n}) + a_{1}(x + \cdots + x^{n}) + \cdots + a_{n}x^{n} \\ &= a_{0} + (a_{0} + a+{1})x + \cdots + (a_{0} + \cdots + a_{n})x^{n} = 0 \end{align*}$$

 

위와 같은 방정식을 두면 아래의 연립선형방정식을 만들 수 있다. 

 

$$\begin{cases} a_{1} &= 0 \\ a_{1} + a_{2} &= 0 \\ \vdots \\ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} &= 0 \end{cases}$$

 

위 방정식을 만족하는 계수쌍은 $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n} = 0$이므로 집합 $S$는 선형독립이다. 

 

 정리1. 

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서의 벡터공간이라고 하고, $S_{1} \subseteq S_{2} \subseteq V$라고 할 때 집합 $S_{1}$가 선형종속이면 $S_{2}$도 선형종속이다. 

 

증명

정리1의 증명은 처음에는 어렵다고 느낄 수 있지만 보시면 쉽게 이해하실 수 있습니다.

 

먼저, 집합 $S_{1}$이 선형종속이기 때문에 $u_{1}, \dots, u_{n} \in S$에 대해서 $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$을 만족하는 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$은 모두 0이 아니다. 이때, $S_{1} \subseteq S_{2}$이기 때문에 $S_{2} = \{u_{1}, \dots, u_{n}, v_{1}, \dots, v_{m}\}$이라고 할 수 있다. 이제 $S_{2}$의 선형결합을 계수 $a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{m} \in \mathbf{F}$에 대해서 고려하면 아래와 같다. 

 

$$a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} + b_{1}v_{1} + \cdots + b_{m}v_{m}$$

 

여기서, $b_{1} = \cdots = b_{m} = 0$이라고 두어도 $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$을 만족하는 $a_{1}, \dots, a_{n}$이 존재하므로 집합 $S_{2}$는 선형종속이다. 

 

 따름정리2-1. 

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서의 벡터공간이라고 하고, $S_{1} \subseteq S_{2} \subseteq V$라고 할 때 집합 $S_{2}$가 선형독립이면 $S_{2}$도 선형독립이다. 

 

 정리2. 

집합 $S$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서의 벡터공간 $V$의 선형독립인 부분집합이라고 하고 $v \in V$이지만 $v \notin S$인 벡터라고 하자. 그러면 $S \cup \{v\}$는 선형종속인 것과 $v \in \text{span}(S)$는 서로 동치이다. 

 

증명

정리2를 증명하기 위해서는 선형생성 $\text{span}$의 정의를 정확하게 알고 있어야합니다. 그러니 아직 $\text{span}$의 정의를 모르시는 분은 선형대수학 - 선형결합의 정의2를 참조해주시길 바랍니다. 또한, 정리2는 동치에 대한 증명이기 때문에 두 가지 방향에 대한 증명해야합니다. 

 

1). ($\Rightarrow$) : $S \cup \{v\}$가 선형종속이라고 가정하자. 그러면 벡터 $u_{1}, \cdots, u_{n} \in S \cup \{v\}$와 계수 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$에 대한 선형결합 $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$이 되는 계수 조합이 모두 0이 되는 경우를 제외하고 더 존재한다. 여기서, 집합 $S$가 선형독립이기 때문에 벡터 $u_{i}$ 중 하나는 $v$와 동일하다. 편의를 위해 $u_{1} = v$라고 하면 $a_{1}v + a_{2}u_{2} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$이다. 

 

$$v = a^{-1}_{1}(-a_{2}u_{2} - \cdots - a_{n}u_{n}) = (-a^{-1}_{1}a_{2})u_{2} + (-a^{-1}_{1}a_{3})u_{3} + \cdots + (-a^{-1}_{1}a_{n})u_{n}$$

 

따라서, 벡터 $v$는 벡터 $u_{2}, \dots, u_{n} \in S$과 계수 $-a^{-1}_{1}a_{2}, \dots, a^{-1}_{1}a_{n} \in \mathbf{F}$에 선형결합으로 표현되기 때문에 $v \in \text{span}(S)$이다. 

 

2). ($\Leftarrow$) : $v \in \text{span}(S)$라고 하자. 그러면 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$을 만족하는 $u_{1}, \dots, u_{n} \in S$와 계수 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하므로 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$a_{1}u_{1} + \cdots + a_{m}u_{m} + (-1)v = 0$$

 

이때, $v \notin S$이므로 모든 $i = 1, \dots, n$에 대해서 $v \neq u_{i}$이다. 따라서, 집합 $S \cup \{v\} = \{u_{1}, \dots, u_{n}, v\}$이고 위의 선형결합에서 모든 계수들이 0이 아니기 때문에 집합 $S \cup \{v\}$는 선형종속이다.  

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)