선형대수학 - 부분공간

 안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 벡터 공간에서 이어서 오늘은 부분공간(Subspaces)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의 1. 부분공간 (Subspace)

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터 공간($V.S/\mathbf{F}$) 그리고 $W$를 $V$의 부분집합(subset)이라고 하자. 

$W$가 $\mathbf{0} \in W$ 그리고 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$이고 $c \in \mathbf{F}$일 때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in W$를 만족한다면 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이 된다. 그리고 $W$가 $V$의 부분 공간이라면 $W < V$로 표기한다.

 

A Subset $W$ of vector space $V$ over a field $F$ is called a subspace of $V$ if $W$ is a vector space over $F$ with the operation of addition and scalar multiplication defined over $V$. In this case, we denoted by $W < V$. 

 

설명

이때, 부분공간의 정의에 따르면 벡터공간 $V$와 영벡터로만 이루어진 벡터 공간 ${0}$는 항상 $V$의 부분공간이 됩니다. 부분공간이라고 하니까 너무 어렵게 느껴질 수도 있습니다. 하지만, 쉽게 생각해보도록 하죠. 저희가 집합이라는 대상을 배울 때 집합의 부분을 정의하여 부분집합 (subset)이라는 개념에 대해서 알게 됩니다. 여기서 말하는 "공간"은 기본적으로 어떤 특별한 연산이나 구조를 가지는 집합을 의미하죠. 따라서 본질적으로 "공간"이라는 대상이 주어지면 부분공간이라는 개념을 자연스럽게 생각할 수 있고, 이 부분공간은 속하는 공간의 부분집합이자 연산이나 수학적 구조가 일치해야함을 의미하죠. 부분공간에서는 벡터공간에서 정의된 벡터합, 스칼라곱에 대해 닫혀있어야합니다. 이렇게 보니 크게 어렵지는 않네요.

 

그렇다면, 벡터공간의 부분집합 $W$이 주어졌을 때 $W$가 벡터공간의 부분공간이 된다는 것을 어떻게 증명할 수 있을까요? 이를 설명해주는 정리가 바로 아래에 있습니다. 

 

 정리1.

$V$를 벡터공간, $W$를 $V$의 부분집합이라고 하자. 그러면 $W$가 $V$의 부분공간인 것은 벡터공간 $V$에서 정의된 연산에 대해 아래의 조건을 만족하는 것과 동치이다. 

 

(a). $\mathbf{0} \in W$

(b). 임의의 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$에 대해서 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$

(c). 임의의 $\mathbf{x} \in W$ 그리고 $c \in F$에 대해서 $c\mathbf{x} \in W$

 

Let $V$ be a vector space and $W$ be a subset of $V$. Then, $W$ is a subspace of $V$ if and only if the following conditions hold for the operation defined in $V$

 

(a). $\mathbf{0} \in W$

(b). $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$ whenever $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$

(c). $c\mathbf{x} \in W$ whenever $\mathbf{x} \in W$ and $c \in F$

 

증명

위 정리는 $W$가 $V$의 부분공간임을 증명하기 위해 지난 포스팅에서 보았던 8개의 벡터공간의 성질 모두를 증명할 필요가 없음을 의미합니다. 기본적으로 영벡터가 존재하고 벡터합과 스칼라곱에 대해서 닫혀있기만 하면 부분공간이 된다는 의미죠. 이를 증명해보도록 하겠습니다. 기본적으로 동치 (if and only if)가 포함되어 있기 때문에 양방향을 각각 증명해주어야합니다. 

 

1). $(\Rightarrow)$ : $W$를 $V$의 부분공간이라고 하자. 따라서, $W$는 $V$에서 정의된 벡터합과 스칼라곱의 연산을 가지는 벡터공간이다. 따라서, (b)와 (c)는 자명하게 성립한다 (벡터공간의 정의 참조). 또한, 임의의 $\mathbf{x} \in W$에 대해서 $\mathbf{x} + 0^{'}= \mathbf{x} $를 만족하는 $0^{'} \in W$가 존재한다고 가정하자. $W$는 $V$의 부분집합이므로 $0^{'} \in V$이다. 하지만, 영벡터의 유일성으로 인해 $0^{'} = 0 \in W$이다.

 

2). $(\Leftarrow)$ : 각 조건 (a), (b), 그리고 (c)가 성립한다고 가정하자. 이때, $\mathbf{x} \in W$에 대해서 $(-1)\mathbf{x} \in W$이다. 이때, $(-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x} \in W$이므로 $W$는 $V$의 부분공간이다. 

 

이 정리를 이용해서 저희는 다양한 부분집합이 어떤 벡터공간의 부분공간임을 증명할 수 있습니다.

 

 정의2. 전치행렬 (Transpose Matrix)

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$일 때 행렬의 전치(Transpose)는 $A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}, A_{ij}^{T} = A_{ji}$이다. 

 

The transpose $A^{'}$ of $m \times n$ matrix $A$ is the $n \times m$ matrix obtained from $A$ by interchaging the rows with the columns; that is, $(A^{t})_{ij} = A_{ji}$. We denoted transpose of $A$ by $A^{t}$

 

Remark1

• $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
• $(cA)^{T} = cA^{T}$

 

 정의3. 대칭행렬 (Symmetric Matrix)

$A^{T} = A$를 만족하는 행렬 $A$는 대칭행렬(Symmetric Matrix)이다.

 

A symmetric matrix is a matrix $A$ such that $A^{t} = A$.

 

위와 같이 전치행렬과 대칭행렬이 정의되었을 때 $W$를 $M_{n \times n}(F)$에서 정의되는 모든 대칭행렬들의 집합이라고 할 때, $W$는 $M_{n \times n}(F)$의 부분공간임을 증명해보겠습니다. 여기서 자명하게 $W$는 대칭행렬들의 집합이기 때문에 $M_{n \times n}(F)$의 부분집합이 됩니다. 

 

(a). 영행렬 $O$ 역시 대칭행렬이므로 $O \in W$입니다. 

 

(b). 임의의 두 대칭행렬 $A, B \in W$를 선택하면 $A^{t} = A$ 그리고 $B^{t} = B$를 만족합니다. 이제, $A + B$ 역시 대칭행렬임을 증명하면 됩니다. 

 

$$(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} = A + B$$

 

따라서, $A + B \in W$입니다. 

 

(c). 임의의 대칭행렬 $A \in W$와 스칼라 $c \in F$를 선택하면 $A^{t} = A$를 만족합니다. 이제, $cA$ 역시 대칭행렬임을 증명하면 됩니다. 

 

$$(cA)^{t} = cA^{t} = cA$$

 

따라서, $cA \in W$입니다. 

 

예제1. $P$를 임의의 다항함수, $P_{2}$는 임의의 2차 다항함수로 이루어진 벡터공간이라고 할 때, $P_{2}(\mathbf{F})$는 $P(\mathbf{F})$의 부분공간임을 증명하라.

1). $\mathbf{0} \in P_{2}(\mathbf{F})$

 

2). $A, B \in P_{2}(\mathbf{F})$, $c \in \mathbf{F}$라고 가정하자. 이때, 두 2차 다항식의 합과 스칼라 곱은 항상 2차 다항식이기 때문에 $A + B, cA \in P_{2}(\mathbf{F})$이다. 

 

1), 2)에 의해 $P_{2}(\mathbf{F}) < P(\mathbf{F})$이다. 

 

 정의 4. 대각행렬 (Diagonal Matrix)

정방행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$이 $i \neq j$일 때 $A_{ij} = 0$라면 $A$는 대각행렬(Diagonal Matrix)이다.

 

An $n \times n$ matrix $M$ is called a diagonal matrix if $M_{ij} = 0$ for all $i \neq j$.

 

예제2. $D_{m \times m}(\mathbf{F})$를 모든 대각행렬의 집합이라고 할 때, $D_{m \times m}(\mathbf{F})$이 $M_{m \times m}(\mathbf{F})$의 부분공간임을 증명하라.

1). 대각행렬 $M_{m \times m}$에는 영행렬이 존재한다.

 

2). $A, B \in $ 대각행렬 $M_{m \times m}$, $c \in \mathbf{F}$라고 가정하자. 두 행렬의 합은 $(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$이고 $(cA)_{ij} = cA_{ij}$로 정의되기 때문에 $i \neq j$이면 $(A + B)_{ij} = 0, (cA)_{ij} = 0$을 만족하므로 $A + B, cA \in$ 대각행렬 $M_{m \times m}$이다.

 

1),2)에 의해 대각행렬 $M_{m \times m} < M_{m \times m}(\mathbf{F})$이다. 

 

 정의 5. 행렬의 대각합 (Trace)

정방행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$일 때 행렬의 대각합(Trace)는 $tr(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{mm} = \sum_{i = 1}^{m} a_{ii}$로 정의된다. 

 

The trace of the $n \times n$ matrix $M$, denoted by $\text{tr}(M)$, is the sum of the diagonal entries of $M$, that is, 

 

$$\text{tr}(M) = M_{11} + M_{22} + \cdots + M_{mm} = \sum_{i = 1}^{m} M_{mm}$$

 

Remark2

• $tr(A + B) = tr(A) + tr(B)$
• $tr(cA) = ctr(A)$

 

예제4. $W$를 $\text{tr}(A) = 0$인 모든 $m \times m$크기의 행렬들의 집합이라고 할 때, $M_{m \times m}(\mathbf{F})$의 부분집합임을 증명하라. 

1). 영행렬의 대각합은 0이기 때문에 $W_{3}$에는 영행렬이 존재한다.

 

2). $A, B \in W_{2}$, $c \in \mathbf{F}$라고 가정하자.  행렬의 합은 $(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$이고 $(cA)_{ij} = cA_{ij}$로 정의된다. 

 

$$tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 + 0 = 0$$

$$tr(cA) = ctr(A) = c \cdot 0 = 0$$

 

따라서 $A + B, cA \in W_{3}$이다. 

 

1), 2)에 의해 $W_{3} < M_{m \times m}(\mathbf{F})$이다. 

 

 정리2

체 $\mathbf{F}$ 상에서 정의된 벡터공간 $V$의 임의의 두 부분공간 $W_{1}, W_{2}$의 교집합은 $V$의 부분공간이다. 

$$W_{1}, W_{2} < V \Rightarrow W_{1} \cap W_{2} < V$$

 

증명

1). $W_{1}, W_{2}$는 벡터공간 $V$의 부분공간이기 때문에 벡터공간 $V$의 항등원 $\mathbf{0}_{V} \in W_{1}, W_{2}$가 존재합니다. 따라서 $\mathbf{0} \in W_{1} \cap W_{2}$입니다. 

 

2). $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W_{1} \cap W_{2}$ 일 때, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W_{1}$이고 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W_{2}$입니다. 따라서 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_{1}$ 이고 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_{2}$입니다. 그러므로 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W_{1} \cap W_{2}$입니다. 

 

3). $\mathbf{x} \in W_{1} \cap W_{2}$ 그리고 $c \in \mathbf{F}$라고 할 때 $\mathbf{x} \in W_{1}$ 이고 $\mathbf{x} \in W_{2}$입니다. 따라서 $c\mathbf{x} \in W_{1}$ 이고 $c\mathbf{x} \in W_{2}$입니다. 그러므로 $c\mathbf{x} \in W_{1} \cap W_{2}$입니다. 

 

1), 2), 3)에 의해 $W_{1} \cap W_{2} < V$이다. 

 

 정리3

체 $\mathbf{F}$ 상에서 정의된 벡터공간 $V$의 임의의 부분공간들의 교집합은 $V$의 부분공간이다.

 

증명

이는 정리2의 확장된 버전입니다. 증명하는 과정을 유사합니다. 먼저, $\mathcal{C}$를 벡터공간 $V$의 모든 부분공간들의 집합, 그리고 $W$를 $\mathcal{C}$에 포함된 모든 부분공간들의 교집합이라고 하겠습니다. 

 

GOAL : $W$는 $V$의 부분공간이다. 

 

이를 증명하기 위해서는 정리1을 이용하면 됩니다. 

 

(a). 벡터공간 $V$의 모든 부분공간은 영벡터 $\mathbf{0}$을 포함하고 있기 때문에 $\mathbf{0} \in W$입니다. 

 

(b), (c). 임의의 두 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$와 스칼라 $c \in \mathbf{F}$를 선택하도록 하겠습니다. 그러면 $W$가 $\mathcal{C}$의 모든 부분집합들의 부분공간이므로 모든 부분공간은 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$를 원소로 가지게 됩니다. 따라서, $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ 그리고 $c\mathbf{x}$는 부분공간의 정의에 의해 $\mathcal{C}$에 포함되는 모든 부분공간에 포함되어 있죠. 따라서, 교집합의 정의에 의해 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in W$입니다. 

 

따라서, 정리1에 의해서 $W$는 $V$의 부분공간입니다.

 

 저희는 위 정리를 통해서 두 부분공간의 교집합 역시 부분공간이 됨을 알았습니다. 그렇다면 합집합일 때는 어떨까요? 아래의 경우입니다.

 

$$W_{1}, W_{2} < V \Rightarrow W_{1} \cup W_{2} < V$$

 

 아쉽게도 위 명제는 성립하지 않습니다. 아주 단순한 반례가 있습니다.

$V = \mathbb{R}^{2}, W_{1} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | y = 0\}, W_{2} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x = 0\}$이라고 하자. 

 

1). $\mathbf{0} \in W_{1}$ 이고 $\mathbf{0} \in W_{2}$이기 때문에 $\mathbf{0} \in W_{1} \cup W_{2}$를 만족한다.

2). $(a, 0) \in W_{1}$ 그리고 $(0, b) \in W_{2}$ 라고 하자. $(a, 0) + (0, b) = (a, b) \notin W_{1} \cup W_{2}$이기 때문에 $W_{1} \cup W_{2}$는 $V$의 부분공간이 아니다.

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)