선형대수학 - 벡터 공간

 안녕하세요. 오늘부터 새롭게 선형대수학 (Linear Algebra) 카테고리를 열고 제가 그 동안 공부했던 것들을 정리해보고자 합니다. 선형대수학은 수학에서뿐만 아니라 공학, 인공지능 등 수많은 분야에서 필수적으로 활용되고 있는 학문입니다. 그래서 이를 공부하고 활용하는 것이 굉장히 중요하죠. 오늘은 첫 포스팅으로 벡터 공간 (Vector Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 벡터 공간 (Vector Space)

  $V$가 벡터공간(Vector Space)라고 할 때 임의의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$와 체(Field)의 임의의 원소 $c \in \mathbf{F}( = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \dots)$는 체 $F$에서 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in V$를 만족하고 아래의 8가지 성질을 만족하고 $V.S/\mathbf{F}$로 쓴다.

 

1. A1 : $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$
2. A2 : $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$
3. A3 : $\mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}$
4. A4 : $\mathbf{x}$가 주어졌을 때 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{0}$을 만족하는 $\mathbf{y}$가 항상 존재한다. 
5. M1 : $1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}$
6. M2 : $a \cdot (b\mathbf{x}) = (ab)\mathbf{x}$
7. M3 : $c(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = c\mathbf{x} + c\mathbf{y}$
8. M4 : $(a + b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$

설명

 간단하게 예를 들어서 설명하기 위해 $\mathbf{F}^{n}$이 무엇인지부터 알아보도록 하겠습니다. $\mathbf{F}$를 $n$-튜플($n$-tuples), 즉 $n$개의 $\mathbf{F}$의 임의의 원소의 쌍으로 이루어진 집합이라고 가정하겠습니다. 예를 들어서 $\mathbf{F} = \mathbb{R}$이라면 $(-1, 1, 2) \in \mathbb{R}^{3}$입니다. 이때, $\mathbf{F}^{n}$은 $\mathbf{F}$ 상에서 벡터 공간입니다. 즉, $\mathbf{F}^{n} = V.S/\mathbf{F}$입니다. 따라서, $n$개의 실수쌍 또는 복소수쌍인 $\mathbb{R}^{n}$과 $\mathbb{C}^{n}$은 각각 $\mathbb{R}$과 $\mathbb{C}$ 상에서 벡터공간입니다.

 

$n$-튜플을 제외하고도 다양한 벡터공간이 존재합니다. 대표적으로 행렬, 다항식, 수열이 존재하죠. 이번에는 각 수학적 구조에 대한 벡터공간을 확인해보도록 하겠습니다. 

 

1. 행렬 

먼저, 행렬 (Matrix)이 무엇인지부터 보도록 하겠습니다. 행렬이란 아래와 같이 여러 개의 행 (row)과 열 (column)을 가진 수학적 구조를 의미합니다. 이때, 각 성분 $a_{ij}$를 행렬의 성분 (entry)라고 합니다. 

 

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

 

여기서 행렬의 성분이 모두 임의의 체 $F$의 성분이라고 가정하면 $m \times n$ 행렬은 체 $F$ 상에서 벡터공간이 됩니다. 행렬의 경우에는 $M_{m \times n} (F)$라고 쓰죠. 행렬은 몇 가지 중요한 요소가 존재합니다. 예를 들어, 행과 열이 동일한 성분을 대각성분 (diagonal entry)이라고 합니다. 즉, $a_{ij}$에서 $i = j$인 모든 성분을 뜻하죠. 그리고 모든 성분이 0이라면 이 행렬은 영행렬 (zero matrix)라고 부릅니다. 또한, 행과 열의 크기가 동일하면 정방행렬 (square matrix)라고 부르죠. 그리고 두 행렬이 같다는 것은 수학적으로 두 행렬 사이의 모든 성분이 동일하다는 것으로 정의됩니다. 마지막으로 행렬은 벡터공간을 만족하기 때문에 덧셈과 스칼라 곱이 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$$(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$$

$$(cA)_{ij} = cA_{ij}$$

 

2. 함수와 다항식

다음으로 함수 (Function)입니다. 먼저, $\mathcal{F}(S, F)$를 공집합이 아닌 임의의 집합 $S$에서 임의의 체 $F$로의 모든 함수들의 집합이라고 가정하겠습니다. 두 함수가 같다는 것은 집합 $S$의 임의의 원소 $s$에 대해서 $f(s) = g(s)$를 만족한다는 것을 의미합니다. 이 경우 $\mathcal{F}(S, F)$는 체 $F$ 상에서 벡터공간이 됩니다. 그리고 임의의 두 함수에 대한 덧셈과 스칼라 곱이 아래와 같이 정의가 되죠. 

 

$$(f + g)(s) = f(s) + g(x)$$

$$(cf)(x) = cf(x)$$

 

다음으로 다항식 (Polynomial)입니다. 다항식은 아래와 같이 생긴 함수입니다. 

 

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$$

 

이때, $a_{i} \in F$는 $x^{i}$의 계수 (coefficient)라고 합니다. 또한, 모든 계수가 0인 함수를 영 다함수 (zero polynomial)이라고 부르죠. 다항식에서 중요한 성분은 차수 (degree)입니다. 차수는 $x$의 가장 큰 지수값이라고 보시면 됩니다. 또한, 두 다항식이 같다는 것은 두 함수들의 모든 계수가 동일하다는 것을 의미하죠. 이 경우 다항식은 체 $F$ 상에서 벡터공간이 되고 $P(F)$와 같이 씁니다. 

 

3. 수열 

마지막으로 수열 (Sequence) 입니다. 수열이란 임의의 체 $F$에 대해서 양의 정수 $\mathbb{N}$에서 체 $F$로의 함수 $\sigma$로 정의됩니다. 수열 역시 체 $F$ 상에서 벡터공간이 됩니다. 

 

 정리1. 소거법칙 (cancellation law)

벡터공간 $V$에 대해서 임의의 세 원소 $x, y, z \in V$가 $x + y = y + z$를 만족하면 $x = y$이다. 

 

증명

 $V$가 벡터공간이기 때문에 $z + v = 0$을 만족하는 원소 $v \in V$가 벡터공간의 정의 (A4)에 의해 존재합니다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있죠. 

 

$$\begin{align*} x &= x + 0 = x + (z + v) \\ &= (x + z) + v \\ &= (y + z) + v \\ & = y + (z + v) = y + 0 = y \end{align*}$$

 

 따름정리1. 

(a). 항등원(Identity element) $\mathbf{0}$은 유일하다.

(b). 역원(inverse element)은 유일하다.

 

증명

따름정리1의 증명은 기본적으로 귀류법으로 진행되기 때문에 결과를 부정하고 시작하도록 하겠습니다. 먼저, 두 개의 서로 다른 항등원 $\mathbf{0}, \mathbf{0}^{'}$이 존재한다고 가정하겠습니다. (결과 부정) 그러면 $\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}^{'} = \mathbf{0}^{'}$이기 때문에 $\mathbf{0} = \mathbf{0}^{'}$입니다. (모순) 따라서, 귀류법에 의해 항등원은 유일합니다.

 

이와 동일한 방법으로 역원의 유일성 역시 증명할 수 있습니다. 두 개의 서로 다른 역원 $\mathbf{x}^{'}, \mathbf{x}^{''}$이 있다고 가정하겠습니다. (결과 부정) 그러면 $\mathbf{x} + \mathbf{x}^{'} = \mathbf{0} = \mathbf{x} + \mathbf{x}^{''}$이기 때문에 $\mathbf{x}^{'} = \mathbf{x}^{''}$입니다. (모순) 따라서, 귀류법에 의해 역원은 유일하죠. 

 

 정리2. 

임의의 벡터 공간에 대해서 아래의 명제는 참이다. 

 

(a). 임의의 벡터 $\mathbf{x} \in V$에 대해서 $0 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}$이다. 

(b). 임의의 원소 $a \in F$와 벡터 $\mathbf{x} \in V$에 대해서 $(-a)x = -(ax) = a(-x)$이다. 

(c). 임의의 원소 $a \in F$에 대해서 $a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$이다. 

 

증명

각 명제의 증명은 벡터공간의 정의를 적절하게 적용하면 쉽게 증명할 수 있습니다. 

 

(a). 임의의 벡터 $\mathbf{x} \in V$에 대해서 $0 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}$이다. 

 

$$\begin{align*} 0 \cdot \mathbf{x} + 0 \cdot \mathbf{x} &= (0 + 0) \cdot \mathbf{x} \\ &= 0 \cdot \mathbf{x} \\ &= 0 \cdot \mathbf{x} + \mathbf{0} \\ &= \mathbf{0} + 0 \cdot \mathbf{x} \end{align*}$$

 

따라서, $0 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}$입니다. 

 

(b). 임의의 원소 $a \in F$와 벡터 $\mathbf{x} \in V$에 대해서 $(-a)x = -(ax) = a(-x)$이다. 

 

따름정리1-(b)에 의해 $-(ax) \in V$는 $ax + [-(ax)] = \mathbf{0}$을 만족하는 유일한 역원입니다. 따라서, 만약, $ax + (-a)x = \mathbf{0}$이라고 하면 $(-a)x = -(ax)$이죠. 이때, $a = 1$이라면 $(-1)x = -x$라는 성질을 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} a \cdot (-x) &= a \cdot [(-1)x] \\ &= [a \cdot (-1)] \cdot x \\ &= (-a)x \end{align*}$$

 

(c). 임의의 원소 $a \in F$에 대해서 $a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$이다.

 

$$\begin{align*} a \cdot \mathbf{0} + a \cdot \mathbf{0} &= a \cdot (\mathbf{0} + \mathbf{0}) \\ &= a \cdot \mathbf{0} \\ &= a \cdot \mathbf{0} + \mathbf{0} \\ &= \mathbf{0} + a \cdot \mathbf{0} \end{align*}$$

 

따라서, $a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$입니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)