선형대수학 - 역행렬

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬의 계수에서는 행렬의 계수 (rank)가 무엇인지 정의하고 이를 구하는 방법까지 알아보았습니다. 핵심은 계수란 행렬 내에서 행벡터 또는 열벡터 중에서 선형독립인 벡터의 개수를 의미하고 쉽게 구하기 위해 기본행렬들을 곱해가며 $D$ 행렬꼴로 만드는 것이였습니다. 오늘은 이를 활용해서 역행렬을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 사실상 지난 포스팅의 내용만 이해하신다면 쉽게 알 수 있습니다. 

 

 정의1. 첨가행렬 (Augmented Matrix)

행렬 $A$와 $B$를 각각 $m \times n$ 그리고 $m \times p$ 크기를 가지는 행렬이라고 하자. 첨가행렬 $(A | B)$는 $m \times (n + p)$ 크기의 행렬로 두 행렬 $A$와 $B$를 연결한 행렬이다. 즉, 첫번째 열부터 $n$번째 열까지는 행렬 $A$와 동일하고 $n + 1$번째 열부터 $p$번째 열까지는 행렬 $B$와 동일하다. 

 

Let $A$ and $B$ be $m \times n$ and $m \times p$ matricies, respectively. By the augmented matrix $(A | B)$, we mean the $m \times (n + p)$ matrix, that is, the matrix whose first $n$ columns are the columns of $A$ and whose last $p$ columns are the columns of $B$.

 

설명

첨가행렬은 앞으로 계속 나오는 개념이니 꼭 숙지하시길 바랍니다. 저희는 이제 첨가행렬을 도입해서 행렬 $A$의 역행렬을 구할 수 있습니다.

 

1). 행렬 $A$가 가역행렬인 $n \times n$ 행렬이라고 하겠습니다. 그리고 $A$에 항등행렬 $I_{n}$을 추가한 $n \times 2n$ 크기의 첨가행렬 $C = (A | I_{n})$을 고려해보겠습니다. 만약 행렬 $C$의 양변에 $A^{-1}$을 곱하면 어떻게 될까요?

 

$$A^{-1}C = A^{-1}(A | I_{n}) = (A^{-1}A | A^{-1}I_{n}) = (I_{n} | A^{-1})$$

 

저희는 여기 위 결과에서 한 가지 중요한 사실을 얻을 수 있습니다. 첨가행렬 $C = (A | I_{n})$를 구성하고 왼쪽 행렬이였던 $A$를 적절하게 기본행렬을 적용해서 항등행렬로 만들어주면 저희는 원래 항등행렬이였던 오른쪽에서 역행렬을 얻을 수 있다는 것이죠. 그런데, 여기서 선형대수학 - 행렬의 계수의 따름정리4-3에 따르면 역행렬은 기본행렬의 곱이기 때문에 $A^{-1} = E_{p} \cdots E_{1}$와 같이 쓸 수 있습니다. 따라서, 위 식을 다시 아래와 같이 쓸 수 있죠. 

 

$$A^{-1}C = A^{-1}(A | I_{n}) = (A^{-1}A | A^{-1}I_{n}) = (I_{n} | A^{-1})$$

 

이 결과를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

행렬 $A$가 $n \times n$ 크기의 가역행렬이면 유한번의 기본행연산으로 $(A | I_{n})$을 $(I_{n} | A^{-1})$로 변환할 수 있다. 

 

2). 이번에는 행렬 $A$가 가역행렬이고 어떤 $n \times n$ 크기의 행렬 $B$에 대해서 첨가행렬 $(A | I_{n})$이 유한번의 기본행연산으로 $(I_{n} | B)$로 변환할 수 있다고 가정하겠습니다. 여기서 $E_{1}, \dots, E_{p}$를 기본행연산을 수행하는 기본행렬이라고 가정하겠습니다. 그러면 아래와 같이 쓸 수 있죠. 

 

$$E_{p}E_{p-1} \cdots E_{1} (A | I_{n}) = (I_{n} | B)$$

 

이때, $M = E_{p} \cdots E_{1}$이라고 하면 $M(A | I_{n}) = (MA | M) = (I_{n} | B)$가 됩니다. 따라서, $MA = I_{n}$이고 $M = B$가 되므로 $B = M = A^{-1}$이 되죠. 이를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

행렬 $A$가 $n \times n$ 크기의 가역행렬이라고 하자. 첨가행렬 $(A | I_{n})$이 유한번의 기본행연산으로 $(I_{n} | B)$로 변환되면 $B = A^{-1}$이다. 

 

3). 마지막으로 행렬 $A$가 비가역행렬인 경우를 생각해보겠습니다. 이는 $\text{rank}(A) < n$를 의미합니다. 따라서, 아무리 기본행연산으로 변환하더라도 첨가행렬 $(A | I_{n})$을 $\text{rank}(I_{n}) = n$인 $(I_{n} | B)$ 꼴로 바꾸는 것을 불가능합니다. 이 결과를 정리하면 다음과 같습니다. 

 

행렬 $A$가 $n \times n$ 크기의 비가역행렬이라고 하자. 그러면 어떠한 기본행연산도 첨가행렬 $(A | I_{n})$을 $(I_{n} | B)$ 꼴로 바꾸는 것은 불가능하다. 

 

이제 간단한 예제를 보도록 하겠습니다. 

 

$A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

 

위와 같은 행렬을 정의하고 첨가행렬 $(A | I_{n})$을 만들어서 기본행연산을 적용하여 $(I_{n} | B)$꼴로 만들어보도록 하겠습니다. 그러면 $B = A^{-1}$이 되죠.

 

$$\begin{align*} (A | I) = &\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ \xrightarrow{r_{1} = \frac{1}{2}r_{1}} &\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{r_{3} = r_{3} - 3r_{1}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -\frac{3}{2} & 1 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{\begin{cases} r_{1} = r_{1} - r_{2} \\ r_{2} = \frac{1}{2}r_{2} \end{cases}} &\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -\frac{3}{2} & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{r_{3} = r_{3} + 3r_{2}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1 \end{array} \right] \\ \xrightarrow{r_{3} = \frac{1}{4}r_{3}}  &\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \end{array}\right] \xrightarrow{\begin{cases} r_{1} = r_{1} + 3r_{3} \\ r_{2} = r_{2} - 2r_{3} \end{cases}} \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & -\frac{5}{8} & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right]\end{align*}$$

 

따라서, $A^{-1} = \left[ \begin{array} \frac{1}{8} & -\frac{5}{8} & \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right]$임을 알 수 있습니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)