안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 미분과 관련된 더욱 다양한 문제들을 풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 만약, 모르시는 부분이 있다면 아래의 링크들을 참조하고 다시 풀어보시길 바랍니다.
3. 미분 규칙 (Differentiation Rules)
- 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분 (Keyword : 다항함수의 미분, 지수함수의 미분)
- 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분 (Keyword : 곱의 미분, 몫의 미분)
- 미적분학 - 삼각함수 미분 (Keyword : $\sin$ 함수 미분, $\cos$ 함수 미분, \tan$ 함수 미분, $\sec$ 함수 미분, $\csc$ 함수 미분, $\cot$ 함수 미분)
- 미적분학 - 연쇄 법칙 (Keyword : 연쇄 법칙, 합성함수의 미분)
- 미적분학 - 음함수의 미분 (Keyword : 음함수, 양함수, 음함수의 미분, $\arcsin$ 함수 미분, $\arccos$ 함수 미분, $\arctan$ 함수 미분, $\text{arcsec}$ 함수 미분, $\text{arccsc}$ 함수 미분, $\text{arccot}$ 함수 미분)
- 미적분학 - 로그함수의 미분 (Keyword : 로그함수의 미분)
- 미적분학 - 선형근사 (Keyword : 선형근사)
- 미적분학 - 쌍곡함수 (Keyword : 쌍곡함수, 쌍곡함수의 미분)
종합연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = (x^{4} - 3x^{2} + 5)^{3}$
(b). $y = \cos(\tan(x))$
(c). $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$
(d). $y = \frac{3x - 2}{\sqrt{2x + 1}}$
(e). $y = 2x\sqrt{x^{2} + 1}$
(f). $y = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}}$
(g). $y = e^{\sin(2\theta)}$
(h). $y = e^{-t}(t^{2} - 2t + 2)$
(i). $y = \frac{t}{1 - t^{2}}$
(j). $y = e^{mx}\cos(nx)$
(a). $y = (x^{4} - 3x^{2} + 5)^{3}$
$$\begin{align*} y^{'} &= 3(4x^{3} - 6x)(x^{4} - 3x^{2} + 5)^{2} \end{align*}$$
(b). $y = \cos(\tan(x))$
$$\begin{align*} y^{'} &= -\sec^{2}(x) \sin(\tan(x)) \end{align*}$$
(c). $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{4}x^{-\frac{7}{4}} \end{align*}$$
(d). $y = \frac{3x - 2}{\sqrt{2x + 1}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{3\sqrt{2x + 1} - (3x - 2)\frac{2}{2\sqrt{2x + 1}}}{(\sqrt{2x + 1})^{2}} \\ &= \frac{3\sqrt{2x + 1} - \frac{3x - 2}{\sqrt{2x + 1}}}{2x + 1} \\ &= \frac{3(2x + 1) - (3x - 2)}{(2x + 1)\sqrt{2x + 1}} \\ &= \frac{3x + 5}{(2x + 1)\sqrt{2x + 1}}\end{align*}$$
(e). $y = 2x\sqrt{x^{2} + 1}$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2\sqrt{x^{2} + 1} + 2x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}} \\ &= 2\sqrt{x^{2} + 1} + \frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \\ &= \frac{2(x^{2} + 1) + 2x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \\ &= \frac{2(2x^{2} + 1)}{\sqrt{x^{2} + 1}}\end{align*}$$
(f). $y = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{e^{x}(1 + x^{2}) - e^{x} \cdot (2x)}{(1 + x^{2})^{2}} \\ &= \frac{e^{x}(x^{2} - 2x + 1)}{(1 + x^{2})^{2}} \\ &= \frac{e^{x}(x - 1)^{2}}{(1 + x^{2})^{2}}\end{align*}$$
(g). $y = e^{\sin(2\theta)}$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2\cos(2\theta)e^{\sin(\theta)}\end{align*}$$
(h). $y = e^{-t}(t^{2} - 2t + 2)$
$$\begin{align*} y^{'} &= -e^{-t} (t^{2} - 2t + 2) + e^{-t} (2t - 2) \\ &= e^{-t} (-t^{2} - 2t + 2 + 2t - 2) \\ &= -t^{2}e^{-t}\end{align*}$$
(i). $y = \frac{t}{1 - t^{2}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{(1 - t^{2}) + 2t^{2}}{(1 - t^{2})^{2}} \\ &= \frac{1 + t^{2}}{(1 - t^{2})^{2}}\end{align*}$$
(j). $y = e^{mx}\cos(nx)$
$$\begin{align*} y^{'} &= me^{mx} \cos(nx) - ne^{mx} \sin(nx) \\ &= e^{mx}(m\cos(nx) - n\sin(nx))\end{align*}$$
종합연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \sqrt{x} \cos(\sqrt{x})$
(b). $y = (\arcsin(2x))^{2}$
(c). $y = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$
(d). $y = \frac{1}{\sin(x - \sin(x))}$
(e). $xy^{4} + x^{2y} = x + 3y$
(f). $y = \ln (\csc (5x))$
(g). $y = \frac{\sec (2 \theta)}{1 + \tan (2\theta)}$
(h). $x^{2}\cos(y) + \sin(2y) = xy$
(i). $y = e^{cx}(c\sin(x) - \cos(x))$
(j). $y = \ln(x^{2}e^{x})$
(a). $y = \sqrt{x} \cos(\sqrt{x})$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x}) - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin(\sqrt{x}) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\sin(\sqrt{x}) \end{align*}$$
(b). $y = (\arcsin(2x))^{2}$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2\arcsin(2x) \cdot \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \\ &= \frac{4\arcsin(2x)}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \end{align*}$$
(c). $y = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}x^{2} - 2xe^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \\ &= \frac{-e^{\frac{1}{x}} - 2xe^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \\ &= \frac{-e^{\frac{1}{x}}(1 + 2x)}{x^{4}}\end{align*}$$
(d). $y = \frac{1}{\sin(x - \sin(x))}$
$$\begin{align*} y^{'} &= -\frac{1}{\sin^{2}(x - \sin(x))} \cdot (\cos(x - \sin(x)) (1 - \cos(x))) \\ &= -\frac{(1 - \cos(x))\cos(x - \sin(x))}{\sin^{2}(x - \sin(x))}\end{align*}$$
(e). $xy^{4} + x^{2y} = x + 3y$
주어진 함수는 음함수 꼴이므로 양변에 $x$ 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ xy^{4} + xy^{2} \right] = y^{4} + 3xy^{3}\frac{dy}{dx} + y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = (3xy^{3} + 2xy) \frac{dy}{dx} + (y^{4} + y^{2})$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x + 3y \right] = 1 + 3\frac{dy}{dx}$
$$\begin{align*} &(3xy^{3} + 2xy) \frac{dy}{dx} + (y^{4} + y^{2}) = 1 + 3 \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (3xy^{3} + 2xy - 3) \frac{dy}{dx} = -(y^{4} + y^{2} - 1) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{y^{4} + y^{2} - 1}{3xy^{3} + 2xy - 3} \end{align*}$$
(f). $y = \ln (\csc (5x))$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{\csc(5x)} \cdot (-5\csc(5x)\cot(5x)) \\ &= -5\cot(5x)\end{align*}$$
(g). $y = \frac{\sec (2 \theta)}{1 + \tan (2\theta)}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{[\sec (2 \theta)]^{'}(1 + \tan(2\theta)) - \sec(2\theta) [1 + \tan(2\theta)]^{'}}{(1 + \tan(2\theta))^{2}} \\ &= \frac{2\sec(2\theta)\tan(2\theta)(1 + \tan(2\theta)) - \sec(2\theta)\sec^{2}(2\theta)}{(1 + \tan(2\theta))^{2}} \\ &= \frac{2\sec(2\theta)(\tan(2\theta) + \tan^{2}(2\theta) - \sec^{2}(2\theta))}{(1 + \tan(2\theta))^{2}} \\ &= \frac{2\sec(2\theta)(\tan(2\theta) - 1)}{(1 + \tan(2\theta))^{2}}\end{align*}$$
(h). $x^{2}\cos(y) + \sin(2y) = xy$
주어진 함수는 음함수 꼴이므로 양변에 $x$ 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2}\cos(y) + \sin(2y) \right] = 2x\cos(y) - x^{2}\sin(y) \frac{dy}{dx} + 2\cos(2y) \frac{dy}{dx} = (2\cos(2y) - x^{2}\sin(y)) \frac{dy}{dx} + 2x\cos(y)$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ xy \right] = y + x\frac{dy}{dx}$
$$\begin{align*} &(2\cos(2y) - x^{2}\sin(y)) \frac{dy}{dx} + 2x\cos(y) = y + x \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (2\cos(2y) - x^{2}\sin(y) - x) \frac{dy}{dx} = y - 2x\cos(y) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x\cos(y)}{2\cos(2y) - x^{2}\sin(y) - x} \end{align*}$$
(i). $y = e^{cx}(c\sin(x) - \cos(x))$
$$\begin{align*} y^{'} &= ce^{cx}(c\sin(x) - \cos(x)) + e^{cx}(c\cos(x) + \sin(x)) \\ &= (c^{2} + 1)e^{cx}\sin(x)\end{align*}$$
(j). $y = \ln(x^{2}e^{x})$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{2xe^{x} + x^{2}e^{x}}{x^{2}e^{x}} \\ &= \frac{e^{x}(x^{2} + 2x)}{x^{2}e^{x}} \\ &= \frac{x + 2}{x} \end{align*}$$
종합연습문제3. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = 3^{x\ln(x)}$
(b). $y = \sec (1 + x^{2})$
(c). $y = (1 - x^{-1})^{-1}$
(d). $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$
(e). $\sin(xy) = x^{2} - y$
(f). $y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$
(g). $y = \log_{5}(1 + 2x)$
(h). $y = (\cos (x))^{x}$
(i). $y = \ln(\sin(x)) - \frac{1}{2}\sin^{2}(x)$
(j). $y = \frac{(x^{2} + 1)^{4}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}}$
(a). $y = 3^{x\ln(x)}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \ln (3)(\ln (x) + 1) 3^{x\ln(x)} \end{align*}$$
(b). $y = \sec (1 + x^{2})$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2x\sec(1 + 2x)\tan(1 + 2x) \end{align*}$$
(c). $y = (1 - x^{-1})^{-1}$
$$\begin{align*} y^{'} &= -(1 - x^{-1})^{-2} \cdot (-x^{-2}) \\ &= (1 - x^{-1})^{-2}x^{-2} \\ &= (x - 1)^{-2} \end{align*}$$
(d). $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= -\frac{1}{(\sqrt[3]{x + \sqrt{x}})^{2}} \cdot [\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}]^{'} \\ &= -\frac{1}{(\sqrt[3]{x + \sqrt{x}})^{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x + \sqrt{x})^{2}}} \cdot [x + \sqrt{x}]^{'} \\ &= -\frac{1}{(\sqrt[3]{x + \sqrt{x}})^{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x + \sqrt{x})^{2}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \\ &= -\frac{1}{3\sqrt[3]{(x + \sqrt{x})^{4}}} \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\end{align*}$$
(e). $\sin(xy) = x^{2} - y$
주어진 함수는 음함수 꼴이므로 양변에 $x$ 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sin(xy) \right] = (y + x\frac{dy}{dx})\cos(xy) = x\cos(xy) \frac{dy}{dx} + y\cos(xy)$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} - y \right] = 2x - \frac{dy}{dx}$
$$\begin{align*} &x\cos(xy) \frac{dy}{dx} + y\cos(xy) = 2x - \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (x\cos(xy) + 1) \frac{dy}{dx} = 2x - y\cos(xy) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{2x - y\cos(xy)}{x\cos(xy) + 1} \end{align*}$$
(f). $y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{2\sqrt{\sin(\sqrt{x})}} \cdot [\sin(\sqrt{x})]^{'} \\ &= \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{\sin(\sqrt{x})}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{\cos(\sqrt{x})}{4\sqrt{x\sin(\sqrt{x})}} \end{align*}$$
(g). $y = \log_{5}(1 + 2x)$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{2}{(1 + 2x)\ln(5)}\end{align*}$$
(h). $y = (\cos (x))^{x}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$y = (\cos (x))^{x} \rightarrow \ln(y) = x\ln(\cos(x))$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \ln(\cos(x)) - x\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \ln(\cos(x)) - x\tan(x) \\ \Rightarrow& y^{'} = \left( \ln(\cos(x)) - x\tan(x) \right)y = \left( \ln(\cos(x)) - x\tan(x) \right)(\cos(x))^{x} \end{align*}$$
(i). $y = \ln(\sin(x)) - \frac{1}{2}\sin^{2}(x)$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \sin(x)\cos(x) \\ &= \cot(x) - \frac{1}{2}\sin(2x) \end{align*}$$
(j). $y = \frac{(x^{2} + 1)^{4}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$y = \frac{(x^{2} + 1)^{4}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}} \rightarrow \ln(y) = 4\ln|x^{2} + 1| - 3\ln|2x + 1| -5\ln|3x - 1|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{8x}{x^{2} + 1} - \frac{6}{2x + 1} - \frac{15}{3x - 1} \\ \Rightarrow& y^{'} = \left( \frac{8x}{x^{2} + 1} - \frac{6}{2x + 1} - \frac{15}{3x - 1} \right) \frac{(x^{2} + 1)^{4}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}} \end{align*}$$
종합연습문제4. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = x\arctan(4x)$
(b). $y = e^{\cos(x)} + \cos(e^{x})$
(c). $y = \ln |\sec(5x) + \tan(5x)|$
(d). $y = 10^{\tan(\pi \theta)}$
(e). $y = \cot (3x^{2} + 5)$
(f). $y = \sqrt{t\ln(t^{4})}$
(g). $y = \sin(\tan(\sqrt{1 + x^{3}}))$
(h). $y = \arctan(\arcsin(\sqrt{x}))$
(i). $y = \tan^{2}(\sin(\theta))$
(j). $xe^{y} = y - 1$
(a). $y = x\arctan(4x)$
$$\begin{align*} y^{'} &= \arctan(4x) + \frac{4x}{1 + 16x^{2}} \end{align*}$$
(b). $y = e^{\cos(x)} + \cos(e^{x})$
$$\begin{align*} y^{'} &= -\sin(x)e^{\cos(x)} - e^{x}\sin(e^{x})\end{align*}$$
(c). $y = \ln |\sec(5x) + \tan(5x)|$
$$\begin{align*} y^{'} &=\frac{5\sec(5x)\tan(5x) + 5\sec^{2}(5x)}{\sec(5x) + \tan(5x)} \\ &= \frac{5\sec(5x)(\tan(5x) + \sec(5x))}{\sec(5x) + \tan(5x)} \\ &= 5\sec(5x)\end{align*}$$
(d). $y = 10^{\tan(\pi \theta)}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \pi \ln(10) \sec^{2}(\pi \theta) 10^{\tan(\pi \theta)}\end{align*}$$
(e). $y = \cot (3x^{2} + 5)$
$$\begin{align*} y^{'} &= -6x\csc^{2}(3x^{2} + 5)\end{align*}$$
(f). $y = \sqrt{t\ln(t^{4})} = \sqrt{4t\ln(t)}$
$$\begin{align*} y^{'} &=\frac{4\ln(t) + 4}{2\sqrt{4t\ln(t)}} \\ &= \frac{\ln(t) + 1}{\sqrt{t\ln(t)}} \end{align*}$$
(g). $y = \sin(\tan(\sqrt{1 + x^{3}}))$
$$\begin{align*} y^{'} &= \cos(\tan(\sqrt{1 + x^{3}})) \cdot [\tan(\sqrt{1 + x^{3}})]^{'} \\ &= \cos(\tan(\sqrt{1 + x^{3}})) \sec^{2}(\sqrt{1 + x^{3}}) \cdot [\sqrt{1 + x^{3}}]^{'} \\ &= \cos(\tan(\sqrt{1 + x^{3}}))\sec^{2}(\sqrt{1 + x^{3}}) \cdot \frac{3x^{2}}{2\sqrt{1 + x^{3}}} \\ &= \frac{3x^{2}\sec^{2}(\sqrt{1 + x^{3}})\cos(\tan(\sqrt{1 + x^{3}}))}{2\sqrt{1 + x^{3}}} \end{align*}$$
(h). $y = \arctan(\arcsin(\sqrt{x}))$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{1 + \arcsin^{2}(\sqrt{x})} \cdot [\arcsin(\sqrt{x})]^{'} \\ &= \frac{1}{1 + \arcsin^{2}(\sqrt{x})} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2(1 + \arcsin^{2}(\sqrt{x}))\sqrt{x - x^{2}}} \end{align*}$$
(i). $y = \tan^{2}(\sin(\theta))$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2\tan(\sin(\theta))\sec^{2}(\sin(\theta))\cos(\theta) \end{align*}$$
(j). $xe^{y} = y - 1$
주어진 함수는 음함수 꼴이므로 양변에 $x$ 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ xe^{y} \right] = e^{y} + xe^{y} \frac{dy}{dx}$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y - 1 \right] = \frac{dy}{dx}$
$$\begin{align*} &e^{y} + xe^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (xe^{y} - 1)\frac{dy}{dx} = -e^{y} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{e^{y}}{xe^{y} - 1} \end{align*}$$
종합연습문제5. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \frac{\sqrt{x + 1}(2 - x)^{5}}{(x + 3)^{7}}$
(b). $y = \frac{(x + \gamma)^{4}}{x^{4} + \gamma^{4}}$
(c). $y = x\sinh(x^{2})$
(d). $y = \frac{\sin(mx)}{x}$
(e). $y = \ln(\cosh(3x))$
(f). $y = \ln \left| \frac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right|$
(g). $y = \cosh^{-1}(\sinh(x))$
(h). $y = x\tanh^{-1}(\sqrt{x})$
(i). $y = \cos(e^{\sqrt{\tan(3x)}})$
(j). $y = \sin^{2}(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)}))$
(a). $y = \frac{\sqrt{x + 1}(2 - x)^{5}}{(x + 3)^{7}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$y = \frac{\sqrt{x + 1}(2 - x)^{5}}{(x + 3)^{7}} \rightarrow \ln(y) = \frac{1}{2}\ln |x + 1| + 5\ln |2 - x| - 7\ln|x + 3|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{5}{2 - x} - \frac{7}{x + 3}\\ \Rightarrow& y^{'} = \left( \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{5}{2 - x} - \frac{7}{x + 3} \right) \frac{\sqrt{x + 1}(2 - x)^{5}}{(x + 3)^{7}} \end{align*}$$
(b). $y = \frac{(x + \gamma)^{4}}{x^{4} + \gamma^{4}}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{4(x + \gamma)^{3}(x^{4} + \gamma^{4}) - 4x^{3}(x + \gamma)^{4}}{(x^{4} + \gamma^{4})^{2}} \\ &= \frac{[4(x^{4} + \gamma^{4}) - 4x^{3}(x + \gamma)](x + \gamma)^{3}}{(x^{4} + \gamma^{4})^{2}} \\ &= \frac{4\gamma(\gamma^{3} - x^{3})(x + \gamma)^{3}}{(x^{4} + \gamma^{4})^{2}} \end{align*}$$
(c). $y = x\sinh(x^{2})$
$$\begin{align*} y^{'} &= \sinh(x^{2}) + 2x^{2}\cosh(x^{2}) \end{align*}$$
(d). $y = \frac{\sin(mx)}{x}$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{mx\cos(mx) - \sin(mx)}{x^{2}} \end{align*}$$
(e). $y = \ln(\cosh(3x))$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{3\sinh(3x)}{\cosh(3x)} \\ &= 3\tanh(3x) \end{align*}$$
(f). $y = \ln \left| \frac{x^{2} - 4}{2x + 5} \right| = \ln|x^{2} - 4| - \ln|2x + 5| = \ln|x + 2| + \ln|x - 2| - \ln|2x + 5|$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{2x + 5}\end{align*}$$
(g). $y = \cosh^{-1}(\sinh(x))$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{\cosh(x)}{\sqrt{\sinh^{2}(x) - 1}} \\ &= \frac{\cosh(x)}{\sqrt{(\cosh^{2}(x) + 1) - 1}} \\ &= \frac{\cosh(x)}{\cosh(x)} = 1 \end{align*}$$
(h). $y = x\tanh^{-1}(\sqrt{x})$
$$\begin{align*} y^{'} &= \tanh^{-1}(\sqrt{x}) + x \cdot \frac{1}{1 - (\sqrt{x})^{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \tanh^{-1}(\sqrt{x}) + \frac{x}{2(1 - x)\sqrt{x}} \\ &= \tanh^{-1}(\sqrt{x}) + \frac{\sqrt{x}}{2(1 - x)}\end{align*}$$f
(i). $y = \cos(e^{\sqrt{\tan(3x)}})$
$$\begin{align*} y^{'} &= -\sin(e^{\sqrt{\tan(3x)}}) \cdot [e^{\sqrt{\tan(3x)}}]^{'} \\ &= -\sin(e^{\sqrt{\tan(3x)}}) \cdot e^{\sqrt{\tan(3x)}} \cdot [\sqrt{\tan(3x)}]^{'} \\ &= -\sin(e^{\sqrt{\tan(3x)}}) \cdot e^{\sqrt{\tan(3x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\tan(3x)}} \cdot [\tan(3x)]^{'} \\ &= - \sin(e^{\sqrt{\tan(3x)}}) \cdot e^{\sqrt{\tan(3x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\tan(3x)}} \cdot 3\sec^{2}(3x) \\ &= -\frac{3\sin(e^{\sqrt{\tan(3x)}})e^{\sqrt{\tan(3x)}}\sec^{2}(3x)}{2\sqrt{\tan(3x)}}\end{align*}$$
(j). $y = \sin^{2}(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)}))$
$$\begin{align*} y^{'} &= 2\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot [\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)}))]^{'} \\ &= 2\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \cos(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot [\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})]^{'} \\ &= 2\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \cos(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot (-\sin(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot [\sqrt{\sin(\pi x)}]^{'} \\ &= 2\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \cos(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot (-\sin(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\pi x)}} \cdot [\sin(\pi x)]^{'} \\ &= 2\sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \cos(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot (-\sin(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\pi x)}} \cdot \pi\cos(\pi x) \\ &= -\frac{2\pi \sin(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \cos(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})) \sin(\sqrt{\sin(\pi x)}) \cos(\pi x)}{2\sqrt{\sin(\pi x)}}\end{align*}$$
종합연습문제6. 함수 $f(t) = \sqrt{4t + 1}$이 주어졌을 때, 이계도함수 $f^{''}$를 구하여라.
먼저, 일계도함수를 구한다.
$$f^{'}(t) = \frac{4}{2\sqrt{4t + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4t + 1}}$$
한번 더 미분하여 이계도함수를 구한다.
$$\begin{align*} f^{''}(t) &= -\frac{2}{(\sqrt{4t + 1})^{2}} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4t + 1}} \\ &= -\frac{4}{(4t + 1)\sqrt{4t + 1}}\end{align*}$$
종합연습문제7. 주어진 함수들의 $f^{(n)}$을 구하여라.
(a). $f(x) = \frac{1}{2 - x}$
(b). $f(x) = xe^{x}$
(a). $f(x) = \frac{1}{2 - x}$
주어진 함수의 도함수를 구하여 반복되는 패턴을 찾아야한다.
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= -\frac{1}{(2 - x)^{2}} \\ f^{''}(t) &= \frac{2 \cdot 1}{(2 - x)^{3}} \\ f^{'''}(t) &= -\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 - x)^{4}}\end{align*}$$
따라서, $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}n!}{(2 - x)^{n + 1}}$이다.
(b). $f(x) = xe^{x}$
주어진 함수의 도함수를 구하여 반복되는 패턴을 찾아야한다.
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= e^{x} + xe^{x} = (1 + x)e^{x} \\ f^{''}(x) &= e^{x} + (1 + x)e^{x} = (2 + x)e^{x} \\ f^{'''}(x) &= e^{x} + (2 + x)e^{x} = (3 + x)e^{x} \end{align*}$$
따라서, $f^{(n)}(x) = (n + x)e^{x}$이다.
종합연습문제8. 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식을 구하여라.
(a). $y = 4\sin^{2}(x), (\frac{\pi}{6}, 1)$
(b). $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}, (0, -1)$
(c). $y = \sqrt{1 + 4\sin(x)}, (0, 1)$
(a). $y = 4\sin^{2}(x), (\frac{\pi}{6}, 1)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
$$y^{'} = 8\sin(x)\cos(x) = 4\sin(2x)$$
따라서, 주어진 점에서 접선의 방정식의 기울기는 $m = 4\sin(\frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3}$이다. 그러므로 주어진 점에서의 접선의 방정식은 아래와 같다.
$$y = 2\sqrt{3}(x - \frac{\pi}{6}) + 1 = 2\sqrt{3}x - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + 1$$
(b). $y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}, (0, -1)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
$$y^{'} = \frac{2x(x^{2} + 1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}$$
따라서, 주어진 점에서 접선의 방정식의 기울기는 $m = 0$이다. 그러므로 주어진 점에서의 접선의 방정식은 아래와 같다.
$$y = 0(x - 0) - 1 = -1$$
(c). $y = \sqrt{1 + 4\sin(x)}, (0, 1)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
$$y^{'} = \frac{4\cos(x)}{2\sqrt{1 + 4\sin(x)}} = \frac{2\cos(x)}{\sqrt{1 + 4\sin(x)}}$$
따라서, 주어진 점에서 접선의 방정식의 기울기는 $m = 2$이다. 그러므로 주어진 점에서의 접선의 방정식은 아래와 같다.
$$y = 2(x - 0) + 1 = 2x + 1$$
종합연습문제9. 주어진 함수와 점에 대한 법선의 방정식을 구하여라.
(a). $x^{2} + 4xy + y^{2} = 13, (2, 1)$
(b). $y = (2 + x)e^{-x}, (0, 2)$
(a). $x^{2} + 4xy + y^{2} = 13, (2, 1)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + 4xy + y^{2} \right] = 2x + 4y + 4x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = (4x + 2y) \frac{dy}{dx} + (2x + 4y)$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 13 \right] = 0$
$$\begin{align*} &(4x + 2y) \frac{dy}{dx} + (2x + 4y) = 0 \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 4y}{4x + 2y} = -\frac{x + 2y}{2x + y} \end{align*}$$
따라서, 주어진 점에서 접선의 방정식의 기울기는 $m = -\frac{4}{5}$이다. 이때, 법선은 접선의 방정식에 수직이므로 $l = \frac{5}{4}$가 법선의 방정식의 기울기이다. 그러므로 주어진 점에서의 법선의 방정식은 아래와 같다.
$$y = \frac{5}{4}(x - 2) + 1 = \frac{5}{4}x - \frac{3}{2}$$
(b). $y = (2 + x)e^{-x}, (0, 2)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
$$y^{'} = e^{-x} - (2 + x)e^{-x} = -e^{-x}(1 + x)$$
따라서, 주어진 점에서 접선의 방정식의 기울기는 $m = -1$이다. 이때, 법선은 접선의 방정식에 수직이므로 $l = 1$가 법선의 방정식의 기울기이다. 그러므로 주어진 점에서의 법선의 방정식은 아래와 같다.
$$y = 1(x - 0) + 2 = x + 2$$
종합연습문제10. 함수 $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)$로 주어질 때, 아래의 식을 만족함을 보이시오.
$$\frac{f^{'}(x)}{f(x)} = \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c}$$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 하는 자연로그 $\ln$을 취한다.
$$\begin{align*} \ln|f(x)| &= \ln|(x - a)(x - b)(x - c)| = \ln|x - a| + \ln|x - b| + \ln|x - c| \end{align*}$$
이제, 양변에 미분을 취한다.
$$\frac{f^{'}(x)}{f(x)} = \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c}$$
종합연습문제11. 함수 $f$가 다음과 같이 표현된다고 할 때, $f^{'}$를 구하시오.
(a). $f(x) = x^{2}g(x)$
(b). $f(x) = g(x^{2})$
(c). $f(x) = [g(x)]^{2}$
(d). $f(x) = g(g(x))$
(e). $f(x) = g(e^{x})$
(f). $f(x) = e^{g(x)}$
(g). $f(x) = \ln |g(x)|$
(h). $f(x) = g(\ln (x))$
(a). $f(x) = x^{2}g(x)$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= 2xg(x) + x^{2}g^{'}(x) \end{align*}$$
(b). $f(x) = g(x^{2})$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= 2xg^{'}(x^{2}) \end{align*}$$
(c). $f(x) = [g(x)]^{2}$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= 2g(x)g^{'}(x) \end{align*}$$
(d). $f(x) = g(g(x))$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= 2g(x)g^{'}(x) \end{align*}$$
(e). $f(x) = g(e^{x})$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= e^{x}g^{'}(e^{x}) \end{align*}$$
(f). $f(x) = e^{g(x)}$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= g^{'}(x)e^{g(x)} \end{align*}$$
(g). $f(x) = \ln |g(x)|$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{g^{'}(x)}{g(x)} \end{align*}$$
(h). $f(x) = g(\ln (x))$
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{g^{'}(\ln (x))}{x} \end{align*}$$
종합연습문제12. 함수 $h$가 아래와 같이 두 함수 $f$와 $g$로 표현된다고 가정할 때, 함수 $h$의 도함수 $h^{'}$를 구하여라.
(a). $h(x) = \frac{f(x)g(x)}{f(x) + g(x)}$
(b). $h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$
(c). $h(x) = f(g(\sin(4x)))$
(a). $h(x) = \frac{f(x)g(x)}{f(x) + g(x)}$
$$\begin{align*} h^{'}(x) &= \frac{[f^{'}(x)g(x) + f(x)g^{'}(x)](f(x) + g(x)) - f(x)g(x)(f^{'}(x) + g^{'}(x))}{(f(x) + g(x))^{2}} \\ &= \frac{f^{'}(x)[g(x)]^{2} - g^{'}(x)[f(x)]^{2}}{[f(x) + g(x)]^{2}} \end{align*}$$
(b). $h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$
$$\begin{align*} h^{'}(x) &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}} \frac{f^{'}(x)g(x) - f(x)g^{'}(x)}{[g(x)]^{2}} \end{align*}$$
(c). $h(x) = f(g(\sin(4x)))$
$$\begin{align*} h^{'}(x) &= 4\cos(4x)g^{'}(\sin(4x))f^{'}(g(\sin(4x))) \end{align*}$$
종합연습문제13. 두 함수 $h(x) = f(x)h(x)$이고 $F(x) = f(g(x))$와 같이 정의되고 $f(2) = 3, g(2) = 5, g^{'}(2) = 4, f^{'}(2) = -2$ 그리고 $f^{'}(5) = 11$이라고 할 때 $h^{'}(2)$와 $F^{'}(2)$를 구하여라.
$h^{'}(x) = f^{'}(x)g(x) + f(x)g^{'}(x)$이므로 $h^{'}(2) = f^{'}(2)g(2) + f(2)g^{'}(2) = -2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 2$이다. 다음으로 $F^{'}(x) = g^{'}(x)f^{'}(g(x))$이므로 $F^{'}(2) = g^{'}(2)f^{'}(g(2)) = 4 \cdot f^{'}(5) = 4 \cdot 11 = 44$이다.
종합연습문제14. $y = [\ln(x + 4)]^{2}$이라고 할 때, 접선의 기울기가 수평인 점을 찾아라.
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다.
$$y^{'} = 2\frac{\ln |x + 4|}{x + 4}$$
이때, $2\frac{\ln |x + 4|}{x + 4} = 0$이라고 하면 $x = -3$에서 유일하게 기울기가 0이므로 $(-3, 0)$에서 접선의 기울기가 0이다.
종합연습문제15. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan(x)} - \sqrt{1 + \sin(x)}}{x^{3}}$을 구하여라.
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan(x)} - \sqrt{1 + \sin(x)}}{x^{3}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1 + \tan(x)} - \sqrt{1 + \sin(x)})(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})}{x^{3}(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + \tan(x)) - (1 + \sin(x))}{x^{3}(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x) - \sin(x)}{x^{3}(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \sin(x)}{x^{3}(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)(1 - \cos(x))}{x^{3}\cos(x)(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))}{x^{3}\cos(x)(1 + \cos(x))(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)(1 - \cos^{2}(x))}{x^{3}\cos(x)(1 + \cos(x))(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{3}(x)}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\cos(x)(1 + \cos(x))(\sqrt{1 + \tan(x)} + \sqrt{1 + \sin(x)})} = \frac{1}{4} \end{align*}$$
심화문제1. 아래의 그림에서 삼각형 $ABC$를 정삼각형으로 만드는 포물선 $y = 1 - x^{2}$ 상의 점 $P$와 $Q$를 구하여라.
점 $P$와 $Q$ 모두 포물선 $y = 1 - x^{2}$ 상의 점이므로 $P(a, 1 - a^{2})$ 그리고 $Q(b, 1 - b^{2})$이라고 하자. 이때, 점 $P$와 $Q$에서의 접선의 방정식이 점 $A(0, c)$에서 만난다고 하자. 먼저, 접선의 방정식을 구하도록 한다.
$$\begin{align*} &m_{P} = -2a \rightarrow y = -2a(x - a) + (1 - a^{2}) = -2ax + a^{2} + 1 \\ &m_{Q} = -2b \rightarrow y = -2b(x - b) + (1 - b^{2}) = -2bx + b^{2} + 1 \end{align*}$$
이때, 문제의 조건에 의해 $a^{2} + 1 = c = b^{2} + 1$이므로 $a = b$ 또는 $a = -b$라고 할 수 있다. 하지만, 두 점 $P$와 $Q$는 서로 다른 점을 가지므로 $a = -b$이다. 따라서, 각 점에서의 접선의 방정식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{align*} &y = -2ax + a^{2} + 1 \\ &y = 2ax + a^{2} + 1 \end{align*}$$
이때, 삼각형 $ABC$와 $APQ$는 서로 닮음이므로 각 $ABC = APQ = \frac{\pi}{3}$이 된다. 따라서, 점 $P$에서의 기울기는 $\tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} = -2a$가 되어야하므로 $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 그러므로 $P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4})$와 $Q(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4})$이다.
심화문제2. 함수 $f$가 점 $x = a > 0$에서 미분가능하다고 할 때, $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$를 $f^{'}(a)$로 표현하라.
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot \frac{x - a}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{a}) \\ &= 2\sqrt{a}f^{'}(a)\end{align*}$$
심화문제3. $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{e^{\sin(x)} - 1}{x - \pi}$를 구하여라.
함수 $f(x) = e^{\sin(x)}$라고 하면 주어진 극한을 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{e^{\sin(x)} - 1}{x - \pi} &= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{f(x) - f(\pi)}{x - \pi} \\ &= f^{'}(\pi) \end{align*}$$
따라서, 주어진 극한은 $f^{'}(\pi) = \cos(\pi)e^{\sin(\pi)} = -1$이다.
심화문제4. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3 + x)^{2} - \sin(9)}{x}$를 구하여라.
함수 $f(x) = \sin(3 + x)^{2}라고 하면 주어진 극한을 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3 + x)^{2} - \sin(9)}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \\ &= f^{'}(0) \end{align*}$$
따라서, 주어진 극한은 $f^{'}(0) = 2(3 + 0)\cos(3 + 0)^{2} = 6\cos(9)$이다.
심화문제5. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(a + 2x) - 2\sin(a + x) + \sin(a)}{x^{2}}$를 구하여라.
함수 $f(x) = \sin(a + x)라고 하면 주어진 극한을 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(a + 2x) - 2\sin(a + x) + \sin(a)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(2x) - 2f(x) + f(a)}{x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(2x) - f(0) + f(0) - 2f(x) + f(0)}{x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(2x) - f(0)}{2x - 0} \cdot \left( -2 \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \right) \cdot 2x \cdot x \cdot \frac{1}{x^{2}} \\ &= -4f^{'}(0)f^{'}(0) = -4[f^{'}(0)]^{2} \end{align*}$$
따라서, 주어진 극한은 $f^{'}(0) = -4\cos^{2}(a)$이다.
심화문제6. 포물선 $y = ax^{2} + bx + c$의 임의의 두 점 $p$와 $q$에서의 접선의 교차점의 $x$좌표가 항상 두 점의 중간점임을 증명하라.
주어진 포물선의 도함수는 $y^{'} = 2ax + b$이므로 각 점에서의 접선의 방정식은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &m_{p} = 2ap + b \rightarrow y = (2ap + b)(x - p) + (ap^{2} + bp + c) \\ &m_{q} = 2aq + b \rightarrow y = (2aq + b)(x - q) + (aq^{2} + bq + c) \end{cases}$$
따라서, 두 접선이 만나는 교차점은 아래와 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} &(2ap + b)(x - p) + (ap^{2} + bp + c) = (2aq + b)(x - q) + (aq^{2} + bq + c) \\ \Rightarrow& 2apx - ap^{2} = 2aqx - aq^{2} \\ \Rightarrow& 2a(p - q)x = a(p^{2} - q^{2}) = a(p - q)(p + q) \\ \Rightarrow& x = \frac{p + q}{2} \end{align*}$$
심화문제7. 아래의 등식을 증명하라.
$$\frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin^{2}(x)}{1 + \cot(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{1 + \tan(x)} \right] = -\cos(2x)$$
먼저, 주어진 함수을 통분했을 때를 가정하고 간단하게 정리한다.
1). 분자
$$\begin{align*} \sin^{2}(x)(1 + \tan(x)) + \cos^{2}(x)(1 + \cot(x)) &= \sin^{2}(1 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}) + \cos^{2}(x)(1 + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}) \\ &= \sin^{2}(x) + \frac{\sin^{3}}{\cos(x)} + \cos^{2}(x) + \frac{\cos^{3}(x)}{\sin(x)} \\ &= \frac{\sin^{3}(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos^{3}(x)}{\sin(x)} + (\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)) \\ &= \frac{\sin^{3}(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos^{3}(x)}{\sin(x)} + 1 \end{align*}$$
2). 분모
$$\begin{align*} (1 + \cot(x))(1 + \tan(x)) &= 1 +\cot(x) + \tan(x) + \cot(x)\tan(x) \\ &= \tan(x) + \cot(x) + 2 \\ &= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + 2 \end{align*}$$
따라서, 주어진 함수를 정리하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{\sin^{2}(x)}{1 + \cot(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{1 + \tan(x)} &= \frac{\sin^{2}(x)(1 + \tan(x)) + \cos^{2}(1 + \cot(x))}{(1 + \cot(x))(1 + \tan(x))} \\ &= \frac{\frac{\sin^{3}(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos^{3}(x)}{\sin(x)} + 1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + 2} \\ &= \frac{\left( \frac{\sin^{3}(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos^{3}(x)}{\sin(x)} + 1 \right) \cdot \sin(x)\cos(x)}{\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + 1 \right) \cdot \sin(x)\cos(x)} \\ &= \frac{\sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) + \sin(x)\cos(x)}{\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) + 2\sin(x)\cos(x)} \\ &= \frac{(\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x))^{2} - 2\sin^{2}(x)\cos^{2}(x) + \sin(x)\cos(x) + 1}{1 + 2\sin(2x)} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2}(2\sin(x)\cos(x))^{2} + \frac{1}{2}(2\sin(x)\cos(x))}{1 + \sin(2x)} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^{2}(x) + \frac{1}{2}\sin(2x)}{1 + \sin(2x)} \end{align*}$$
이제 주어진 미분을 아래와 같이 진행할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin^{2}(x)}{1 + \cot(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{1 + \tan(x)} \right] &= \frac{d}{dx} \left[ \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^{2}(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x)}{1 + \sin(2x)} \right] \end{align*}$$
정리된 식은 유리함수이기 때문에 몫 미분법을 사용했을 때 분자를 정리해보도록 한다.
$$\begin{align*} &(-2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(2x))(1 + \sin(2x)) - (1 - \frac{1}{2}\sin^{2}(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x)) \cdot 2\cos(2x) \\ &= (-2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(2x))(1 + \sin(2x)) - (2 - \sin^{2}(2x) + \sin(2x))\cos(2x) \\ &= -2\sin(2x)\cos(2x) - 2\sin^{2}(2x)\cos(2x)+ \cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) \\ &-( 2\cos(2x) - \sin^{2}(2x)\cos(2x) + \cos(2x)\sin(2x) ) \\ &= -2\sin(2x)\cos(2x) - \sin^{2}(2x)\cos(2x) - \cos(2x) \\ &= -\cos(2x)(\sin^{2}(2x) + 2\sin(2x) + 1) \\ &= -\cos(2x)\left( \sin(2x) + 1 \right)^{2} \end{align*}$$
따라서, 아래와 같이 전체미분이 진행된다.
$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin^{2}(x)}{1 + \cot(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{1 + \tan(x)} \right] &= \frac{d}{dx} \left[ \frac{1 - \frac{1}{2}\sin^{2}(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x)}{1 + \sin(2x)} \right] \\ &= \frac{-\cos(2x)\left( \sin(2x) + 1 \right)^{2}}{(1 + \sin(2x))^{2}} = -\cos(2x)\end{align*}$$
심화문제8. 아래의 등식을 증명하라.
$$\arcsin(\tanh(x)) = \arctan(\sinh(x))$$
$f(x) = \arcsin(\tanh(x)) - \arctan(\sinh(x))$라고 하자. 이때, 이 함수의 도함수는 아래와 같다.
$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{1}{\cosh^{2}\sqrt{1 - \tanh^{2}(x)}} - \frac{\cosh(x)}{1 + \sinh^{2}(x)} \\ &= \frac{1}{\cosh(x)\sqrt{\cosh^{2}(x) - \sinh^{2}(x)}} - \frac{\cosh(x)}{\cosh^{2}(x)} \\ &= \frac{1}{\cosh(x)} - \frac{1}{\cosh(x)} = 0 \end{align*}$$
따라서, 함수 $f$는 상수함수이므로 $f(x) = c$라고 할 수 있다. 그러므로 임의의 점을 대입했을 때 나오는 값이 $c$이다.
$$c = f(0) = \arcsin(\tanh(0)) - \arctan(\sinh(0)) = 0$$
$f(x) = \arcsin(\tanh(x)) - \arctan(\sinh(x)) = 0$이므로 $\arcsin(\tanh(x)) = \arctan(\sinh(x))$이다.
심화문제9. $\frac{d^{n}}{dx^{n}} \left[ \sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) \right] = 4^{n - 1}\cos(4x + \frac{n\pi}{2})$임을 증명하라.
1). $n = 1$일 때
$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ \sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) \right] &= 4\cos(x)\sin^{3}(x) - 4\sin(x)\cos^{3}(x) \\ &= 4\sin(x)\cos(x)(\sin^{2}(x) - \cos^{2}(x)) \\ &= 4\sin(x)\cos(x)(-2\cos(2x)) \\ &= -\sin(4x) = \cos(4x + \frac{\pi}{2}) \end{align*}$$
2). $n = k$일 때, 아래의 수식이 성립한다고 가정하자.
$$\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left[ \sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) \right] = 4^{k - 1} \cos(4x + \frac{k\pi}{2})$$
3). $n = k + 1$일 때
$$\begin{align*} \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left[ \sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) \right] &= \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left[ \sin^{4}(x) + \cos^{4}(x) \right]\right] \\ &= \frac{d}{dx} \left[ 4^{k - 1}\cos(4x + \frac{k\pi}{2}) \right] \\ &= -4^{k}\sin(4x + \frac{k\pi}{2}) = 4^{k}\cos(4x + \frac{(k + 1)\pi}{2}) \end{align*}$$
따라서, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해서 위 수식은 성립한다.
심화문제10. $\frac{d^{n}}{dx^{n}} \left[ e^{ax}\sin(bx) \right] = r^{n}e^{ax}\sin(bx + n\theta)$임을 증명하라. 이때, $r^{2} = a^{2} + b^{2}$이고 $\theta = \arctan(b / a)$이다.
1). $n = 1$일 때
$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ e^{ax}\sin(bx) \right] &= ae^{ax}\sin(bx) + be^{ax}\cos(bx) \\ &= \sqrt{a^{2} + b^{2}} e^{ax} \left( \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin(bx) + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos(bx) \right) \\ &= \sqrt{a^{2} + b^{2}} e^{ax} \sin(bx + \theta) \end{align*}$$
여기서, $\theta = \arctan(b / a)$이다.
2). $n = k$일 때, 아래의 수식이 성립한다고 가정하자.
$$\frac{d^{k}}{dx^{k}} \left[ e^{ax}\sin(bx) \right] = r^{k}e^{ax}\sin(bx + k\theta)$$
3). $n = k + 1$일 때
$$\begin{align*} \frac{d^{k + 1}}{dx^{k + 1}} \left[ e^{ax}\sin(bx) \right] &= \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left[ e^{ax}\sin(bx) \right] \right] \\ &= \frac{d}{dx} \left[ r^{k}e^{ax}\sin(bx + k\theta) \right] \\ &= r^{k} ae^{ax}\cos(bx _ k\theta) + r^{k} be^{ax}\cos(bx + k\theta) \\ &= r^{k} \sqrt{a^{2} + b^{2}} e^{ax} \left( \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin(bx + k\theta) + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos(bx + k\theta) \right) \\ &= r^{k + 1}e^{ax}\sin(bx + (k + 1)\theta) \end{align*}$$
따라서, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해서 위 수식은 성립한다.
심화문제11. 아래의 등식을 만족할 때 $y^{'} = \frac{1}{a + \cos(x)}$임을 증명하라.
$$y = \frac{x}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}}\arctan \left( \frac{\sin(x)}{a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x)} \right)$$
$$\begin{align*} y^{'} &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{1}{1 + \left[ \sin(x) / (a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x)) \right]^{2}} \cdot \left[ \frac{\sin(x)}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} + \cos(x) \right]^{'} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{1}{1 + [\sin(x) / (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + \cos(x)]^{2}} \cdot \frac{\cos(x) \cdot (a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x)) + \sin(x) \cdot \sin(x)}{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{1}{1 + \left[ \sin(x) / (a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x)) \right]^{2}} \cdot \frac{\cos(x) \cdot (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + 1}{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2}}{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2} + \sin^{2}(x)} \cdot \frac{(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1}{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1}{\left[ a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x) \right]^{2} + \sin^{2}(x)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} \left( 1 - \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1} + \cos(x)) + 2}{(a + \sqrt{a^{2}} - 1)^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{\left[ (a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1 \right] - \left[ 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 2 \right]}{(a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{(a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} - 1}{(a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{a^{2} + 2a\sqrt{a^{2} - 1} + (a^{2} - 1) - 1}{(a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2} - 1}} \cdot \frac{2\left[ (a^{2} - 1) + a\sqrt{a^{2} - 1} \right]}{(a +\sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})}{(a + \sqrt{a^{2} - 1})^{2} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})}{\left[ a^{2} + 2a\sqrt{a^{2} - 1} + (a^{2} - 1) \right] + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x) + 1} \\ &= \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})}{2a^{2} + 2a\sqrt{a^{2} - 1} + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x)} \\ &= \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})}{2a(a + \sqrt{a^{2} - 1}) + 2(a + \sqrt{a^{2} - 1})\cos(x)} \\ &= \frac{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})}{2(a + \sqrt{a^{2} - 1})(a + \cos(x))} = \frac{1}{a + \cos(x)} \end{align*}$$
심화문제12. 곡선 $y = x^{4} - 2x^{2} - x$ 상에서 동일한 접선을 가지는 두 점을 구하여라.
두 점 $P(x_{1}, y_{1})$과 $Q(x_{2}, y_{2})$에서 동일한 접선을 가진다고 가정하자. 이때, $y^{'} = 4x^{3} - 4x - 1$이므로 두 점에서의 접선은 각각 아래와 같다.
$$\begin{cases} &P(x_{1}, y_{1}) \rightarrow m_{P} = 4x_{1}^{3} - 4x_{1} - 1 \rightarrow y = (4x_{1}^{3} - 4x_{1} - 1)(x - x_{1}) + y_{1} \\ &Q(x_{2}, y_{2}) \rightarrow m_{Q} = 4x_{2}^{3} - 4x_{2} - 1 \rightarrow y = (4x_{2}^{3} - 4x_{2} - 1)(x - x_{2}) + y_{2} \end{cases}$$
이때, 두 점에서의 접선이 동일하기 때문에 기울기는 같아야한다.
$$\begin{align*} &m_{P} = m_{Q} \\ &4x_{1}^{3} - 4x_{1} - 1 = 4x_{2}^{3} - 4x_{2} - 1 \\ \Rightarrow& 4(x_{1}^{3} - x_{2}^{3}) - 4(x_{1} - x_{2}) \\ \Rightarrow& 4(x_{1} - x_{2})(x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) - 4(x_{1} - x_{2}) = 0 \\ \Rightarrow& 4(x_{1} - x_{2})(x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 1) = 0 \end{align*}$$
따라서, $x_{1} = x_{2}$이거나 $x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 1$이다. 하지만, 문제의 조건에 의해 점 $P$와 $Q$는 서로 다른 점이므로 $x_{1} \neq x_{2}$이며 이는 $x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 1$임을 의미한다.
또한, 두 접선은 서로 동일하므로 동일한 $y$절편을 가지게 된다.
$$\begin{align*} &y_{1} - x_{1}(4x_{1}^{3} - 4x_{1} - 1) = y_{2} - x_{2}(4x_{2}^{3} - 4x_{2} - 1) \\ \Rightarrow& y_{1} - y_{2} = x_{1}(4x_{1}^{3} - 4x_{1} - 1) - x_{2}(4x_{2}^{3} - 4x_{2} - 1) \\ \Rightarrow& (x_{1}^{4} - 2x_{1}^{2} - 1) - (x_{2}^{4} - 2x_{2}^{2} - 1) = (4x_{1}^{4} - 4x_{1}^{2} - x_{1}) - (4x_{2}^{4} - 4x_{2}^{2} - x_{2}) \\ \Rightarrow& 3x_{1}^{4} - 2x_{1}^{2} = 3x_{2}^{4} - 2x_{2}^{2} \\ \Rightarrow& 3(x_{1}^{4} - x_{2}^{4}) - 2(x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) = 0 \\ \Rightarrow& 3(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})(x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) = (x_{1}^{2} - x_{2}^{2})(3x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2) = 0 \\ \Rightarrow& (x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})(3x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2) = 0 \\ \Rightarrow& (x_{1} + x_{2})(3x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} - 2) = 0\end{align*}$$
따라서, $x_{2} = -x_{1}$이거나 $3x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} = 2$임을 알 수 있다.
1). $x_{2} = -x_{1}$라고 하자.
$$\begin{align*} x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} &= x_{1}^{2} - x_{1}^{2} + x_{1}^{2} \\ &= x_{1}^{2} = 1 \end{align*}$$
그러므로 $x_{1} = 1$ 또는 $x_{1} = -1$이다. 따라서, $(1, -2), (-1, -2)$ 가 서로 동일한 접선을 가지는 두 점이다.
2). $3x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} - 2 = 0$라고 하자.
$$\begin{align*} &x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{2}{3} \rightarrow x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}x_{2} + \frac{2}{3} = 1 \\ \Rightarrow& x_{1}x_{2} = \frac{1}{3}\end{align*}$$
이때, 완전제곱식을 이용하면 아래와 같이 $x_{1}$과 $x_{2}$를 결정할 수 있다.
$$\begin{cases} &(x_{1} + x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} = \frac{4}{3} \rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &(x_{1} - x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2x_{1}x_{2} = 0 \rightarrow x_{1} - x_{2} = 0 \end{cases}$$
이 경우에는 $x_{1} = x_{2}$이므로 문제에 조건에 모순이다.
심화문제13. 방정식 $e^{2x} = k\sqrt{x}$가 정확하게 하나의 근만 가지는 $k$를 구하여라.
$f(x) = e^{2x}$ 그리고 $g(x) = k\sqrt{x}$라고 할 때 정확히 하나의 점에서만 만나기 위해서는 해당 점에서 두 곡선 $f$와 $g$의 접선의 기울기가 동일해야한다. 점 $P(a, b)$에서 두 곡선이 만난다고 가정하자.
$$\begin{cases} &f^{'}(x) = 2e^{2x} \rightarrow f^{'}(a) = 2e^{2a} \\ & g^{'}(x) = \frac{k}{2\sqrt{x}} \rightarrow g^{'}(a) = \frac{k}{2\sqrt{a}} \end{cases}$$
따라서, 아래의 두 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} &4\sqrt{a}e^{2a} = k \\ &e^{2a} = k\sqrt{a} \end{cases}$$
이 방정식을 풀면 $a = \frac{1}{4}$를 얻을 수 있으므로 $k = 2e^{\frac{1}{2}}$이다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
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