미적분학 - 적분 응용 1 연습문제

안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 적분의 응용과 관련된 문제들 (넓이, 부피, 평균)과 관련된 연습문제들을 풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 문제를 푸시다가 막히거나 모르는 부분이 생기시면 각 주제에 맞는 포스팅을 참조해서 풀어보시길 권장드립니다. 

 

6. 적분 응용 1 (Applications of Integrations 1)

• 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이 (Keyword : 적분과 넓이)
• 미적분학 - 입체 부피 구하기 (Keyword : 적분과 부피)
• 미적분학 - 원통 껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 (Keyword : 적분과 회전체의 부피, 원통껍질법)
• 미적분학 - 함수의 평균 (Keyword : 적분과 함수의 평균)

 

종합연습문제1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역의 넓이를 구하여라.

 

(a). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

(b). $y = \frac{1}{x}, y = x^{2}, y = 0, x = e$

(c). $y = 1 - 2x^{2}, y = |x|$

(d). $y = \sqrt{x}, y = x^{2}, x = 2$

(e). $y = \sin(\frac{\pi x}{2}), y = x^{2} - 2x$

 

(a). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 직사각형의 높이는 $(4x - x^{2}) - x^{2} = 4x - 2x^{2}$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le 2$에서 영역의 넓이를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} (4x - 2x^{2}) \; dx \\ &= \left[ 2x^{2} - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= \left( 2 \cdot 2^{2} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} \right) = \frac{8}{3} \end{align*}$$ 

 

(b). $y = \frac{1}{x}, y = x^{2}, y = 0, x = e$

 

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다.  주의할 점은 $x = 1$을 기준으로 두 개의 영역에 대한 넓이를 따로 구해야한다. 따라서, 구간 $0 \le x \le 1$에서 직사각형의 높이는 $x^{2}$이고 구간 $1 \le x \le e$에서 직사각형의 높이는 $\frac{1}{x}$이다. 따라서, 전체 구간 $0 \le x \le e$에서 영역의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= A_{1} + A_{2} \\ &= \int_{0}^{1} x^{2} \; dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} \\ &= \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \end{align*}$$ 

 

(c). $y = 1 - 2x^{2}, y = |x|$

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서,  점 $x$에서 직사각형의 높이는 $(1 - 2x^{2}) - x = 1 - x - 2x^{2}$이다. 이제, 구간 $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$에서 영역의 넓이를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= 2\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( 1 - x - 2x^{2} \right) \; dx \\ &= 2\left[ x - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ &= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \right) = \frac{7}{12} \end{align*}$$ 

 

(d). $y = \sqrt{x}, y = x^{2}, x = 2$

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다.  주의할 점은 $x = 1$을 기준으로 두 개의 영역에 대한 넓이를 따로 구해야한다. 따라서, 구간 $0 \le x \le 1$에서 직사각형의 높이는 $\sqrt{x} - x^{2}$이고 구간 $1 \le x \le 2$에서 직사각형의 높이는 $x^{2} - \sqrt{x}$이다. 따라서, 전체 구간 $0 \le x \le 2$에서 영역의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= A_{1} + A_{2} \\ &= \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^{2} \right) \; dx + \int_{1}^{2} \left( x^{2} - \sqrt{x} \right) \; dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{1}{3}x^{3} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left[ \left( \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} \right) \right] = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{3} \end{align*}$$ 

 

(e). $y = \sin(\frac{\pi x}{2}), y = x^{2} - 2x$

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서,  점 $x$에서 직사각형의 높이는 $\sin (\frac{\pi x}{2}) - x^{2} + 2x$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le 2$에서 영역의 넓이를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} \left( \sin(\frac{\pi x}{2}) - x^{2} + 2x \right) \; dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - \frac{2}{\pi} \cos(\frac{\pi x}{2}) \right]_{0}^{2} \\ &= \left( -\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2^{2} - \frac{2}{\pi} \cos(\pi) \right) + \frac{2}{\pi} \cos(0) = 4 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{\pi} \right)\end{align*}$$ 

 

종합연습문제2. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 주어진 축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하시오.

 

(a). $y = 2x, y = x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(b). $x = 1 + y^{2}, y = x - 3$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

(c). $x = 0, x = 9 - y^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = -1$을 기준으로 회전

(d). $y = x^{2} + 1, y = 9 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $y = -1$을 기준으로 회전

 

(a). $y = 2x, y = x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2x$인 원에서 반지름이 $x^{2}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $4x^{2} \pi - x^{4} \pi = \left( 4x^{2} - x^{4} \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le x \le 2$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{2} \pi (4x^{2} - x^{4}) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{4}{3}x^{3} - \frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \left( \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5} \right) = \frac{64\pi}{15} \end{align*}$$

 

(b). $x = 1 + y^{2}, y = x - 3$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $y + 3$인 원에서 반지름이 $1 + y^{2}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(y + 3)^{2} \pi - (1 + y^{2})^{2} \pi = \left( -y^{4} - y^{2} + 6y + 8 \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-1 \le y \le 2$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-1}^{2} \pi (-y^{4} - y^{2} + 6y + 8) \; dy \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{5}y^{5} - \frac{1}{3}y^{3} + 3y^{2} + 8y \right]_{-1}^{2} \\ &= \pi \left[ \left( -\frac{1}{5} \cdot 2^{5} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{1}{5} \cdot (-1)^{5} - \frac{1}{3} \cdot (-1)^{3} + 3 \cdot (-1)^{2} + 8 \cdot (-1) \right)\right] = \frac{117\pi}{5} \end{align*}$$

 

(c). $x = 0, x = 9 - y^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = -1$을 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $x = -1$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $9 - y^{2}$인 원에서 반지름이 $1$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(9 - y^{2})^{2} \pi - \pi = \left( y^{4} - 18y^{2} + 80 \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-3 \le y \le 3$에서 주어진 영역을 $x = -1$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-3}^{3} \pi (y^{4} - 18y^{2} + 80) \; dy \\ &= 2\int_{0}^{3} \pi (y^{4} - 18y^{2} + 80) \; dy \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}y^{5} - 6y^{3} + 80y \right]_{0}^{3} \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{5} \cdot 3^{5} - 6 \cdot 3^{3} + 80 \cdot 3  \right) = \frac{1266\pi}{5} \end{align*}$$

 

(d). $y = x^{2} + 1, y = 9 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $y = -1$을 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y = -1$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $(9 - x^{2}) + 1 = 10 - x^{2}$인 원에서 반지름이 $(x^{2} + 1) + 1 = x^{2} + 2$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(10 - x^{2})^{2} \pi - (x^{2} + 2)^{2} \pi = \left( -24x^{2}  + 96 \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-2 \le x \le 2$에서 주어진 영역을 $y = -1$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-2}^{2} \pi (-24x^{2} + 96) \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2} \pi (-24x^{2} + 96) \; dx \\ &= 2\pi \left[ -8x^{3} + 96x \right]_{0}^{2} \\ &= 2\pi \left( -8 \cdot 2^{3} + 96 \cdot 2 \right) = 256\pi \end{align*}$$

 

종합연습문제3. $y = x$와 $y = x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 주어진 각 축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하여라.

 

(a). $x$축 기준으로 회전

(b). $y$축 기준으로 회전

(c). $y = 2$ 기준으로 회전

 

(a). $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $x$인 원에서 반지름이 $x^{2}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left( x^{2}  - x^{4} \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi (x^{2} - x^{4}) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{2}{15}\pi \end{align*}$$

 

(b). $y$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 높이는 $x - x^{2}$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 실린더 방법을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} 2\pi x \left( x - x^{2} \right) \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{1} \left( x^{2} - x^{3} \right) \; dx \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{4}x^{4} \right]_{0}^{1} \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{6} \end{align*}$$

 

(c). $y = 2$ 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y = 2$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2 - x^{2}$인 원에서 반지름이 $2 - x$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(2 - x^{2})^{2} \pi - (2 - x)^{2} \pi = \left( x^{4} - 5x^{2} + 4 \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $y = 2$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi (x^{4} - 5x^{2} + 4) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{5}x^{5} - \frac{5}{3}x^{3} + 4x \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 \right) = \frac{38}{15}\pi \end{align*}$$

 

종합연습문제4.  주어진 적분이 어떤 회전체의 부피를 구하는 지 설명하라.

 

(a). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x \cos(x) \; dx$

(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^{2}(x) \; dx$

(c). $\int_{0}^{\pi} \pi (2 - \sin(x))^{2} \; dx$

 

(a). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x \cos(x) \; dx$

 

$y = \cos(x), x = \frac{\pi}{2}, y = 0$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 의미한다. 

 

 

(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^{2}(x) \; dx$

 

$y = \cos(x), x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}, y = 0$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 의미한다. 

 

 

(c). $\int_{0}^{\pi} \pi (2 - \sin(x))^{2} \; dx$

 

$y = \sin(x), x = 0, x = \pi, y = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 의미한다. 

 

 

종합연습문제5. 구간 $[0, 10]$에서 함수 $f(t) = t\sin(t^{2})$의 평균을 구하여라.

 

$$\begin{align*} A &= \frac{1}{10 - 0} \int_{0}^{10} t\sin(t^{2}) \; dt \end{align*}$$

 

$t^{2} = u$라고 하자. 

 

$$2t dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{2t} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &t = 10 \rightarrow u = 100 \\ &x = 0 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} A &= \frac{1}{10} \int_{0}^{10} t\sin(t^{2}) \; dt \\ &= \frac{1}{10} \int_{0}^{100} \frac{1}{2} \sin(u) \; du \\ &= \frac{1}{20} \left[ -\cos(u) \right]_{0}^{100} \\ &= \frac{1}{20} \left( 1 - \cos(100) \right) \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)