안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식의 성질에서는 행렬식을 구하는데 유용한 다양한 성질과 행렬식을 이용한 연립선형방정식의 해를 구하는 방법 (크라메르 공식)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 행렬식을 새로운 개념을 도입하여 설명해보도록 하겠습니다. 정리1. $n$-선형 함수 ($n$-linear function) 함수 $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$가 각 행에 대해서 다른 $n - 1$개의 행을 고정시켰을 때 선형이면 함수 $\delta$를 $n$-선형 함수 ($n$-linear function)이라고 한다. 즉, $n$-선형 함수인 $\delta$는 모든 $r = 1, 2, \dots, n$에 대해서 다음 식이 성립..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산에서는 주어진 행렬에 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식이 어떻게 변화하는 지 살펴보았습니다. 오늘은 행렬식과 관련된 다양한 성질들에 대해서 더 탐구해보도록 하겠습니다. 오늘 소개해드릴 정리들 중에서는 굉장히 중요하고 자주 사용되는 정리들도 있기 때문에 꼭 숙지하시면 좋을 거 같습니다. 정리1 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$가 상삼각행렬이라고 하면 $\text{det} (A) = \Pi_{i = 1}^{n} a_{ii}$로 주대각성분의 곱과 동일하다. 증명 정리1은 지난 포스팅에서 기본행렬연산을 통해 행렬을 간단하게 만드는 과정에서 상삼각행렬로만 만들 수 있다면 주대각성분만 곱하면 행렬식을 얻을 수 있기 때문에..
안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 적분의 응용과 관련된 문제들 (넓이, 부피, 평균)과 관련된 연습문제들을 풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 문제를 푸시다가 막히거나 모르는 부분이 생기시면 각 주제에 맞는 포스팅을 참조해서 풀어보시길 권장드립니다. 6. 적분 응용 1 (Applications of Integrations 1) 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이 (Keyword : 적분과 넓이) 미적분학 - 입체 부피 구하기 (Keyword : 적분과 부피) 미적분학 - 원통 껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 (Keyword : 적분과 회전체의 부피, 원통껍질법) 미적분학 - 함수의 평균 (Keyword : 적분과 함수의 평균) 종합연습문제1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역의 넓이를 구하여라. (a). ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식 2에서는 여인수 전개를 이용해서 일반적인 행렬의 행렬식을 구하는 방법과 행렬식과 관련된 몇 가지 정리에 대해서 알아보았습니다. 특히, 저희는 임의의 행에 대해 여인수 전개를 수행하더라도 동일한 행렬식을 구할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 행렬에 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식이 어떻게 변화하는 지 확인해보고 보다 쉽게 행렬식을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하u겠습니다. 기본행렬연산은 기본적으로 행렬의 계수 (rank)를 변화시키지 않은 연산이기 때문에 행렬식 역시 변화하지 않을 것이라고 생각하시는 분들이 많습니다만 아쉽게도 기본행렬연산의 타입별로 행렬식이 달라지기 때문에 잘 알아두셔야합니다. 여기서 바로 얻을 수 있는 결과는 2번 타입의 기..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식 1에서는 $2 \times 2$ 크기의 행렬에 대한 행렬식의 정의와 제한적으로 행렬식이 선형함수임을 증명하였습니다. 오늘은 행렬식을 일반화하여 $n \times n$ 크기의 행렬에서 행렬식을 정의하는 방법과 관련된 다양한 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1 $n \le 2$에 대해서 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$이 주어졌을 때 $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬 $\tilde{A}_{ij}$는 행렬 $A$에서 $i$번째 행과 $j$번째 열을 삭제함으로서 얻을 수 있다. Given $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$, for $n \ge 2$, denote the ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 연립선형방정식 2에서는 주어진 연립방정식을 행렬화했을 때 기약행 사다리꼴 행렬로 변환하는 가우스 소거법을 적용한 뒤 일반해를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 새로운 주제로 돌아와서 행렬식 (determinant)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 제가 고등학교에 있을때까지만 해도 $2 \times 2$ 크기의 행렬에서는 배웠었지만 최근에는 교과과정에서 삭제된 것 같더군요!! 하지만 대학교에서 선형대수학을 배우시게 되면 필수적으로 알아야하는 중요한 연산이기 때문에 한번 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 행렬식 (Determinant) 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2 \tim..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 연립선형방정식 1에서는 연립방정식을 행렬의 형태로 변환하고 동차/비동차 연립방정식이 해가 가질 수 있는 조건에 대해서 알아보았습니다. 여기서 핵심은 비동차 연립방정식의 해집합은 비동차 연립방정식을 이용해서 구할 수 있다는 점이죠. 오늘은 실질적으로 해집합을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 동등성 (Equivalent) 두 연립선형방정식이 동일한 해집합을 가지면 동등하다 (equivalent)고 한다. Two systems of linear equations are equivalent if they have the same solution set. 설명 오늘 알아볼 내용 중에서는 연립선형방정식을 행렬의 형태로 변환한 뒤 적절한 변환을 거쳐서 해..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 역행렬에서는 행렬 $A$의 역행렬을 첨가행렬을 도입함으로써 기본행렬변환을 적용하여 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 궁극적으로 하고 싶었던 연립선형방정식의 해를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 해당 포스팅은 이론적인 배경과 실제로 계산하는 과정으로 나뉘어 2개의 포스팅으로 나누어 연재될 예정이니 많은 관심 부탁드립니다! 일단, 본격적으로 시작하기에 앞서 연립선형방정식이 무엇인지 알아봐야겠죠? $$\begin{array}{} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vd..
