안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식 1에서는 $2 \times 2$ 크기의 행렬에 대한 행렬식의 정의와 제한적으로 행렬식이 선형함수임을 증명하였습니다. 오늘은 행렬식을 일반화하여 $n \times n$ 크기의 행렬에서 행렬식을 정의하는 방법과 관련된 다양한 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
정의1
$n \le 2$에 대해서 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$이 주어졌을 때 $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬 $\tilde{A}_{ij}$는 행렬 $A$에서 $i$번째 행과 $j$번째 열을 삭제함으로서 얻을 수 있다.
Given $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$, for $n \ge 2$, denote the $(n - 1) \times (n - 1)$ matrix obtained from $A$ by deleting row $i$ and column $j$ by $\tilde{A}_{ij}$
설명
정의1은 앞으로 행렬식에서 매우 핵심적인 역할을 하고 있습니다. 하지만 쉬운 개념이기 때문에 간단한 예제만 보셔도 바로 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 아래와 같은 행렬 $A$가 주어졌다고 가정하겠습니다.
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$
정의1에 따르면 $\tilde{A}_{11}, \tilde{A}_{13}, \tilde{A}_{32}$ 모두 $2 \times 2$ 크기의 행렬이고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\begin{align*} &A = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ \color{red}{4} & 5 & 6 \\ \color{red}{7} & 8 & 9 \end{bmatrix} \rightarrow \tilde{A}_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \\ &A = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} \\ 4 & 5 & \color{red}{6} \\ 7 & 8 & \color{red}{9} \end{bmatrix} \rightarrow \tilde{A}_{13} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \\ &A = \begin{bmatrix} 1 & \color{red}{2} & 3 \\ 4 & \color{red}{5} & 6 \\ \color{red}{7} & \color{red}{8} & \color{red}{9} \end{bmatrix} \rightarrow \tilde{A}_{32} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \end{align*}$$
정의2. 행렬식 (determinant)과 여인수 (cofactor)
행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$에 대해서 행렬식을 다음과 같이 재귀적으로 정의한다.
1). $n = 1$이면 $A = (A_{11})$이므로 $\text{det}(A) = A_{11}$로 정의한다.
2). $n \le 2$이면 $\text{det}(A) = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \text{det} \left( \tilde{A}_{1j} \right)$로 정의한다.
여기서, $\text{det}(A)$ 또는 $|A|$를 행렬 $A$의 행렬식 (determinant)라고 한다. 그리고 스칼라 $(-1)^{1 + j}\text{det}(\tilde{A}_{ij})$를 $i$번째 행, $j$번째 열의 행렬 $A$의 여인수 (cofactor)라고 한다.
Let $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$.
1). If $n = 1$, then $A = (A_{11})$ we define $\text{det} (A) = A_{11}$.
2). For $n \ge 2$, we defone $\text{det}(A)$ recursively as
$$\text{det} (A) = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \text{det} (\tilde{A}_{1j})$$
The scalar $\text{det} (A)$ is called the determinant of $A$, and is also $|A|$. The scalar $(-1)^{1 + j} \text{det} (\tilde{A}_{ij})$ is called the cofactor of the entry of $A$ in row $i$ and column $j$.
설명
여인수는 $n \times n$ 크기의 행렬에서도 행렬식을 구하기 위해 도입한 개념으로 정의1에서 도입한 행렬의 행렬식으로 구할 수 있습니다. 여기서 중요한 점은 $\tilde{A}_{1j}$는 $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬이기 때문에 $n - 1 > 1$이라면 동일한 방식으로 행렬식을 구해야하죠. 이와 같이 동일한 정의를 사용하여 종료조건($n = 1$)에 도달할 때 까지 반복하여 계산하는 과정을 재귀연산이라고 합니다.
다시 돌아와서 저희가 여인수를 다음과 같이 써보도록 하겠습니다.
$$C_{ij} = (-1)^{i + j}\text{det}\left( \tilde{A}_{ij} \right)$$
그러면 행렬식의 정의를 다음과 같이 풀어서 쓸 수 있습니다.
$$\begin{align*} \text{det}(A) &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \text{det} \left( \tilde{A}_{1j} \right) \\ &= A_{11} (-1)^{1 + 1} \text{det} \left( \tilde{A}_{11} \right) + A_{12} (-1)^{1 + 2} \text{det} \left( \text{A}_{12} \right) + \cdots + A_{1n} (-1)^{1 + n} \text{det} \left( \tilde{A}_{1n} \right) \\ &= A_{11}C_{11} + A_{12}C_{12} + \cdots + A_{1n}C_{1n}\end{align*}$$
이와 같이 여인수 $C_{ij}$를 이용해서 식을 전개한 결과를 여인수 전개 (cofactor expansion)이라고 합니다. 특히, 위 같은 경우에는 행렬의 첫번째 행을 기준으로 전개되기 때문에 행렬 $A$의 첫번째 행에 대한 여인수 전개라고 말할 수 있습니다. 그렇다면, 지난 포스팅에서 정의했던 $2 \times 2$ 크기의 행렬의 행렬식을 여인수 전개로 표현해보도록 하겠습니다. 행렬 $A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$가 주어졌다고 가정하면 정의2에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\begin{align*} \text{det}(A) &= A_{11}C_{11} + A_{12}C_{12} \\ &= A_{11}(-1)^{1 + 1}\text{det} \left( \tilde{A}_{11} \right) + A_{12} (-1)^{1 + 2} \text{det} \left( \tilde{A}_{12} \right) \\ &= A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} \end{align*}$$
여기서, $\tilde{A}_{11} = \begin{bmatrix} A_{22} \end{bmatrix}$ 이고 $\tilde{A}_{12} = \begin{bmatrix} A_{21} \end{bmatrix}$ 임을 아신다면 정의2의 1)번 조건에 의해 종료조건에 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 간단한 예제를 통해 행렬식을 계산해보도록 하겠습니다.
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 \\ -3 & -5 & 2 \\ -4 & 4 & -6 \end{bmatrix} \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R})$$
이제 첫번째 행에 대한 여인수 전개를 적용하면 행렬식을 구할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \text{det} (A) &= A_{11}C_{11} + A_{12}C_{12} + A_{13}C_{13} \\ &= 1 \cdot (-1)^{1 + 1} \text{det} \left( \tilde{A}_{11} \right) + 3 \cdot (-1)^{1 + 2} \text{det} \left( \tilde{A}_{12} \right) - 3 \cdot (-1)^{1 + 3} \text{det} \left( \tilde{A}_{13} \right) \\ &= 1 \cdot (-1)^{2} \text{det} \left( \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 4 & -6 \end{bmatrix} \right) + 3 \cdot (-1)^{3} \text{det} \left( \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \right) -3 \cdot (-1)^{4} \text{det} \left( \begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -4 & 4 \end{bmatrix} \right) \\ &= 1 \cdot [(-5) \cdot (-6) - 2 \cdot 4] - 3 \cdot [(-3) \cdot (-6) - 2 \cdot (-4)] - 3 [(-3) \cdot 4 - (-5) \cdot (-4)] \\ &= 1 \cdot 22 - 3 \cdot 26 -3 \cdot (-32) = 40 \end{align*}$$
겉으로 보시면 복잡해보이지만 실질적으로는 여인수 전개에 의해 행렬식을 재귀적으로 계산한 결과에 지나지 않습니다. 여기서 중요한 사실 한 가지를 얻을 수 있습니다. 행렬의 첫번째 행이 전부 0이면 여인수 전개 시 모든 $j$에 대해서 $A_{1j} = 0$이기 때문에 볼 것도 없이 $\text{det} (A) = 0$이 나온다는 사실이죠.
아마도 궁금하신 분들이 있으실겁니다. 왜 하필 첫번째 행에서만 여인수 전개를 적용해야하는 지? 행이 아닌 열에 적용하면 안되는지? 이제 포스팅의 남은 부분에서는 정의2를 보다 확장하는 정리들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
정리1
$n \times n$ 크기의 행렬 $A$의 행렬식 $\text{det} (A)$는 각 행에 대해 다른 행이 고정되어 있으면 선형함수이다. 즉, $1 \le r \le n$에 대해서 다음이 성립한다.
$$\text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) = \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) + k\text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right)$$
여기서 $k$는 스칼라이고 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{a}_{i}$는 각각 $\mathbf{F}^{n}$에 속하는 행벡터이다.
증명
정리1은 선형대수학 - 행렬식 1의 정리1과 굉장히 유사한 정리입니다. 실제로 이는 일반화된 정리라고 생각하시면 됩니다. 증명과정은 수학적 귀납법으로 진행됩니다.
1). $n = 1$이라고 하자. 그러면 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{F}$ 모두 스칼라이므로 정의2에 의해 $\text{det}(\mathbf{u} + k\mathbf{v}) = \mathbf{u} + k\mathbf{v} = \text{det} (\mathbf{u}) + k\text{det} (\mathbf{v})$가 성립하므로 $n = 1$일 때는 정리1이 성립한다.
2). $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬 $A$의 행렬식이 정리1을 만족한다고 가정하자. 즉, $n \ge 2$에 대해서 행렬 $A$의 행렬식 $\text{det} (A)$는 각 행에 대해 다른 행이 고정되어 있으면 선형함수이다.
3). 행렬 $A$가 $n \times n$ 크기로 각 행벡터가 $\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$으로 이루어져있다고 가정하자. 그리고 $1 \le r \le n$에 대해서 행렬 $A$의 $r$번째 행벡터가 어떤 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{F}^{n}$과 스칼라 $k \in \mathbf{F}$에 대해서 $\mathbf{a}_{r} = \mathbf{u} + k\mathbf{v}$를 만족한다고 가정하자.
그리고 두 벡터 $\mathbf{u} = \left( b_{1}, \dots, b_{n} \right)$과 $\mathbf{v} = \left( c_{1}, \dots, c_{n} \right)$로 명시되고 두 행렬 $B$와 $C$를 행렬 $A$의 $r$번째 행벡터 $\mathbf{a}_{r}$을 각각 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$로 바꾸어서 얻었다고 하자. 즉, 행렬 $A, B, C$를 적으면 다음과 같다.
$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} $$
따라서 최종적으로 세 행렬 $A, B, C$에 대해서 $\text{det} (A) = \text{det} (B) + k\text{det} (C)$임을 증명하면 된다. 이때, $1 \le j \le n$에 대해서 $\tilde{A}_{1j}, \tilde{B}_{1j}, \tilde{C}_{1j}$는 각각 $r - 1$개의 행을 가진다. 그리고 정의1에 의해 $\tilde{A}_{1j}$의 $r - 1$번째 행은 다음과 같다.
$$(b_{1} + kc_{1}, \dots, b_{j - 1} + kc_{j - 1}, b_{j + 1} + kc_{j + 1}, \dots, b_{n} + kc_{n})$$
그런데 이 벡터는 $\tilde{B}_{1j}$의 $r - 1$번째 행과 $\tilde{C}_{1j}$의 $k$배한 $r - 1$번째 행의 합과 동일하다. 여기서 $\tilde{B}_{1j}$와 $\tilde{C}_{1j}$는 각각 $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 의해 다음이 성립한다.
$$\text{det} (\tilde{A}_{1j}) = \text{det} (\tilde{B}_{1j}) + k\text{det} (\tilde{C}_{1j})$$
이때, 행렬 $B$와 $C$의 정의에 의해 $A_{1j} = B_{1j} = C_{1j}$이므로 정의2를 적용하여 수학적 귀납법에 의해 정리1을 다음과 같이 증명할 수 있다.
$$\begin{align*} \text{det}(A) &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j}A_{1j}\text{det} (\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \left( \text{det} (\tilde{B}_{1j}) + k\text{det} (\tilde{C}_{1j}) \right) \\ &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \text{det} (\tilde{B}_{1j}) + \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} \left( k\text{det} (\tilde{C}_{1j}) \right) \\ &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} B_{1j} \text{det} (\tilde{B}_{1J}) + k \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} C_{1j} \text{det} (\tilde{C}_{1j}) \\ &= \text{det} (B) + k\text{det} (C) \end{align*}$$
다음으로 저희는 임의의 행에서 여인수 전개가 가능함을 증명할 것 입니다. 이를 위해서는 아래의 보조정리를 먼저 증명해야하죠.
보조정리2.1
$n \ge 2$에 대해서 $B \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$가 주어졌을 때 행렬 $B$의 $i$번째 행이 $1 \le k \le n$ 중 어떤 $k$에 대해 $e_{k}$와 동일하면 $\text{det}(B) = (-1)^{i + k}\text{det} (\tilde{B}_{ik})$이다.
증명
보조정리2.1은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있습니다.
1). $n = 2$이라고 하자. 그리고 행렬 $B \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$가 주어졌다고 할 때, 다음과 같이 경우를 나누어 증명할 수 있다.
- $i = 1$ 이고 $k = 1$인 경우 행렬 $B$의 첫번째 행이 $e_{1} = (1, 0)$과 동일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} (B) = B_{22} = (-1)^{1 + 1}\text{det} (\tilde{B}_{11})$$
- $i = 1$ 이고 $k = 2$인 경우 행렬 $B$의 첫번째 행이 $e_{2} = (0, 1)$과 동일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} (B) = -B_{21} = (-1)^{1 + 2}\text{det} (\tilde{B}_{12})$$
- $i = 2$ 이고 $k = 1$인 경우 행렬 $B$의 두번째 행이 $e_{1} = (1, 0)$과 동일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} (B) = -B_{12} = (-1)^{2 + 1}\text{det} (\tilde{B}_{21})$$
- $i = 2$ 이고 $k = 2$인 경우 행렬 $B$의 두번째 행이 $e_{2} = (0, 1)$과 동일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} (B) = B_{11} = (-1)^{2 + 2}\text{det} (\tilde{B}_{22})$$
따라서, $n = 2$일 때 $\text{det} (B) = (-1)^{i + k} \text{det} (\tilde{B}_{ik})$가 성립한다.
2). $n \ge 3$에 대해서 보조정리2-1이 성립한다고 가정하자. 즉, $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬 $B$의 $i$번째 행이 $1 \le k \le n$ 중 어떤 $k$에 대해 $e_{k}$와 동일하면 $\text{det}(B) = (-1)^{i + k}\text{det} (\tilde{B}_{ik})$이다.
3). 행렬 $B$가 $n \times n$ 크기의 행렬이면서 행렬 $B$의 $i$번째 행이 $1 \le k \le n$ 중 어떤 $k$에 대해 $e_{k}$와 동일하다고 가정하자. 먼저, $i = 1$이라고 가정하면 행렬식의 여인수 전개에 의해 다음과 같이 쉽게 증명할 수 있다.
$$\begin{align*} \text{det} (B) &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{1 + j} B_{1j}\text{det}(\tilde{B}_{1j}) \\ &= (-1)^{1 + k} B_{1k}\text{det}(\tilde{B}_{1k}) \\ &= (-1)^{1 + k} \text{det} (\tilde{B}_{1k}) \end{align*}$$
이제 $i = 1$을 제외한 나머지 값 $1 < i \le n$에 대해서 증명해야한다. 이를 위해 새로운 행렬 $C$를 행렬 $B$에서 첫번째 행과 $i$번째 행, 그리고 $j$번째 열과 $k$번째 열이 삭제된 행렬으로 정의하고 이때 $j$는 $k$와 다른 $1 \le j \le n$ 중 하나의 열이라고 가정하자. 그러면 행렬 $B$에서 첫번째 행과 $j$번째 열이 제거된 $\tilde{B}_{1j}$의 $(i - 1)$번째 행은 다음 중 하나를 만족하는 $\mathbf{F}^{n - 1}$ 벡터이다.
$$\begin{cases} e_{k - 1} &\text{ if } j < k \\ 0 &\text{ if } j = k \\ e_{k} &\text{ if } j > k \end{cases}$$
이와 같은 결과가 나오는 이유는 간단하다. 행렬 $B$의 $i$번째 행이 $e_{k}$와 동일하다고 가정하였기 때문에 만약, $j = k$번째 행을 제거하였다면 $e_{k}$에서 1인 성분을 제거한 것과 동일하기 때문에 $\tilde{B}_{1j}$의 $i$번째 행은 전부 0이 된다. 다른 경우로 $j < k$의 경우에는 1인 성분이 제거가 되지는 않지만 $e_{k}$에서 1인 성분의 인덱스가 한칸 땡겨지기 때문에 $e_{k - 1}$가 동일해지며 $j > k$의 경우에는 1인 성분도 제거가 되지 않지만 1인 성분의 인덱스에 영향을 끼치지 않으므로 $e_{k}$가 된다. 여기서 한 개의 행이 전부 0이면 행렬식이 0이라는 사실과 2)에 의해 $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬에 대해서 보조정리2.1을 적용할 수 있기 때문에 $\text{det} (\tilde{B}_{1j})$를 다음과 같이 경우에 따라서 계산할 수 있다.
$$\text{det} (\tilde{B}_{1j}) = \begin{cases} (-1)^{(i - 1) + (k - 1)}\text{det} (C_{ij}) &\text{ if } j < k \\ 0 &\text{ if } j = k \\ (-1)^{(i - 1) + k} \text{det} (C_{ij}) &\text{ if } j > k \end{cases}$$
이제 $B$의 행렬식을 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \text{det} (B) &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{j + 1} B_{1j}\text{det} (\tilde{B}_{1j}) \\ &= \sum_{j < k} (-1)^{1 + j} B_{1j} \text{det}(\tilde{B}_{1j}) + \sum_{j > k} (-1)^{1 + j} B_{1j} \text{det} (\tilde{B}_{1j}) \\ &= \sum_{j < k} (-1)^{1 + j} B_{1j} \left[ (-1)^{(i - 1) + (k - 1)}\text{det}(C_{ij}) \right] + \sum_{j > k} (-1)^{1 + j} B_{1j} \left[ (-1)^{(i - 1) + k} \text{det} (C_{ij}) \right] \\ &= (-1)^{i + k} \left[ \sum_{j < k} (-1)^{1 + j} B_{1j} \text{det} (C_{ij}) + \sum_{j > k} (-1)^{1 + (j - 1)} B_{1j} \text{det}(C_{ij}) \right] \\ &= (-1)^{i + k} \text{det} (\tilde{B}_{ik}) \end{align*}$$
따라서 보조정리2.1은 $n \times n$ 크기의 행렬 $B$에 대해서 증명되므로 수학적 귀납법에 의해 모든 $n$에 대해 참이다.
정리2
정방행렬의 행렬식은 임의의 행에서 여인수 전개가 가능하다. 즉, $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$가 주어졌을 떄 임의의 $1 \le i \le n$에 대해서 $\text{det} (A) = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} A_{ij} \text{det} (\tilde{A}_{ij})$이다.
증명
이제 저희는 정리2에 의해 임의의 행에 대해 여인수 전개를 적용함으로써 행렬식을 구할 수 있습니다. 굳이 첫번째 행에 제한받을 필요도 없으며 이를 통해 계산하기 쉬운 행을 선택하여 행렬식을 보다 쉽게 계산할 수 있게 되었습니다.
$i = 1$에 대해서는 행렬식의 증의에 의해 성립하기 때문에 $i = 1$을 제외하고 $1 < i \le n$로 고정하고 생각한다. 여기서 행렬 $A$의 $i$번째 행은 $\sum_{j = 1}^{n} Ae_{j}$와 같이 쓸 수 있다. $1 \le j \le n$에 대해서 $B_{j}$를 행렬 $A$의 $i$번째 행은 $e_{j}$로 바꾼 것으로 정의한다. 그러면 정리1과 보조정리2-1에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\text{det} (A) = \sum_{j = 1}^{n} A_{ij} \text{det}(B_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} A_{ij} \text{det} (\tilde{A}_{ij})$$
따름정리2.1
행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에서 두 개의 동일한 행이 있다면 $\text{det} (A) = 0$이다.
증명
따름정리2.1도 수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.
1). $n = 2$이고 행렬 $A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$의 두 행이 서로 동일하다고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ a & b \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} (A) = ab - ab = 0$$
따라서, $n = 2$일 때 따름정리2.1이 성립한다.
2). $n \ge 3$에 대해서 따름정리2.1이 성립한다고 가정하자. 즉, 즉, $(n - 1) \times (n - 1)$ 크기의 행렬 $A$에 두 개의 동일한 행이 있다면 $\text{det} (A) = 0$이다.
3). 이제 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$에 대해서 서로다른 $r$번째 행과 $s$번째 행이 동일하다고 가정하자. 여기서 정리2에 의해 행렬 $A$의 행렬식을 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\text{det} (A) = \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} A_{ij} \text{det} (\tilde{A}_{ij})$$
여기서 행렬 $\tilde{A}_{ij} \in M_{(n - 1) \times (n - 1)}(\mathbf{F})$이므로 가정에 의해 $\text{det} (\tilde{A}_{ij}) = 0$이다. 따라서, $\text{det} (A) = 0$이다. 이는 $n \times n$ 크기의 행렬에서 증명되었으므로 수학적 귀납법에 의해 모든 크기의 행렬에 대해서 따름정리2.1이 성립한다.
참고문헌
Linear Algebra (Stephan. H)
'수학 > 선형대수학' 카테고리의 다른 글
| 선형대수학 - 행렬식의 성질 (0) | 2023.01.22 |
|---|---|
| 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산 (0) | 2023.01.19 |
| 선형대수학 - 행렬식 1 (1) | 2023.01.11 |
| 선형대수학 - 연립선형방정식 2 (0) | 2023.01.03 |
| 선형대수학 - 연립선형방정식 1 (0) | 2022.12.21 |
