선형대수학 - 행렬식 1

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 연립선형방정식 2에서는 주어진 연립방정식을 행렬화했을 때 기약행 사다리꼴 행렬로 변환하는 가우스 소거법을 적용한 뒤 일반해를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 새로운 주제로 돌아와서 행렬식 (determinant)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 제가 고등학교에 있을때까지만 해도 $2 \times 2$ 크기의 행렬에서는 배웠었지만 최근에는 교과과정에서 삭제된 것 같더군요!! 하지만 대학교에서 선형대수학을 배우시게 되면 필수적으로 알아야하는 중요한 연산이기 때문에 한번 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 행렬식 (Determinant)

행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$가 주어졌을 때 우리는 행렬 $A$의 행렬식 (determinant) $\text{det}(A) = |A| = ad - bc$로 정의한다. 

 

If $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$, then we define the determinant of $A$, denoted by $\text{det}(A)$ or $|A|$, to be the scalar $ad - bc$

 

설명

간단하게 예제로 보도록 하겠습니다. 아래와 같이 두 행렬 $A$와 $B$를 정의하도록 하겠습니다. 

 

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$$

 

그러면 행렬식의 정의에 의해 $\text{det}(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$ 그리고 $\text{det}(B) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 6 = 0$입니다. $2 \times 2$ 행렬에서 행렬식을 구하는 것은 아주 간단한 일입니다. 여기서 알아둬야한 행렬식의 중요한 특성 2가지가 존재합니다. 

 

Remark1

$\text{det}(A + B) \neq \text{det}(A) + \text{det}(B)$이다. 

 

당장 위에서 보았던 예시만 봐도 알 수 있습니다. 

 

$$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 9 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det}(A + B) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 9 = -4$$

 

따라서 $\text{det}(A) + \text{det}(B) = -2 + 0 =-2 \neq -4 = \text{det}(A + B)$이 됩니다. 이를 통해 한가지 알 수 있는 결과는 행렬식은 선형변환이 아니라는 것 입니다!! 하지만, 제한적인 상황에서는 행렬식이 선형변환임을 다음 정리를 통해 알 수 있습니다. 

 

 정리1 

함수 $\text{det} : M_{2 \times 2}(\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$는 $2 \times 2$ 행렬의 각 행에 대해서 다른 행이 고정되어 있을 때 선형변환이다. 즉, $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbf{F}^{2}$ 그리고 $k$가 스칼라라고 할 때 다음이 성립한다. 

 

$$\text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} = \text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} + k\text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix}$$

$$\text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{w} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \end{bmatrix} = \text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{w} \\ \mathbf{u} \end{bmatrix} + k\text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{w} \\ \mathbf{v} \end{bmatrix}$$

 

증명

아직 저희는 특별히 행렬식에 대한 것을 배운 것이 없기 때문에 행렬식의 정의만을 이용해서 증명해야합니다. 

 

$(a_{1}, a_{2}) = \mathbf{u}, (b_{1}, b_{2}) = \mathbf{v}$ 그리고 $(c_{1}, c_{2}) = \mathbf{w}$라고 하자. 그러면 행렬식의 정의에 의해 다음과 같이 식을 풀 수 잇다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} + k\text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} &= \text{det} \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix} + k\text{det} \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix} \\ &= a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1} + k (b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}) \\ &= (a_{1} + kb_{1})c_{2} - (a_{2} + kb_{2})c_{1} \\ &= \text{det} \begin{bmatrix} a_{1} + kb_{1} & a_{2} + kb_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix} \\ &= \text{det} \begin{bmatrix} \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix}\end{align*}$$

 

따라서 첫번째 명제가 증명된다. 두번째 명제 역시 첫번째 명제와 마찬가지로 증명할 수 있으므로 생략한다. 

 

 정리2

행렬 $A \in M_{2 \times 2}(\mathbf{F})$라고 하자. 그러면 행렬 $A$의 행렬식이 0이 아닌 것과 행렬 $A$가 가역행렬인 것은 동치이며 행렬 $A$가 가역행렬이면 역행렬 $A^{-1}$이 다음과 같다. 

 

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{bmatrix}$$

 

증명

정리2는 동치명제이기 때문에 양방향 증명이 필수입니다. 정리2는 저희에게 아주 중요한 사실을 알려주고 있습니다. 바로 행렬식과 가역성의 관계와 역행렬의 형태이죠. 이를 바탕으로 저희는 어떤 행렬이 가역행렬인지 판별할 때 행렬의 계수를 구해도 되지만 행렬식을 구해도 알 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 

 

1). ($\Rightarrow$) : $\det{A} \neq 0$이라고 하자. 그러면 우리는 행렬 $M = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$라고 정의할 수 잇다. 이때, $AM = MA = I$이므로 $M = A^{-1}$이다. 

 

2). ($\Leftarrow$) : 행렬 $A$가 가역행렬이라고 하면 $\text{rank}(A) = 2$이다. 따라서, $A_{11} \neq 0$이거나 $A_{21} \neq 0$이다. 먼저, $A_{11} \neq 0$이라고 가정하면 기본행연산을 통해 다음과 같이 변환한다. 

 

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \xrightarrow{r_{2} = r_{2} - \frac{A_{21}}{A_{11}}}r_{1} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} - \frac{A_{12}A_{21}}{A_{11}} \end{bmatrix}$$

 

여기서, 기본행렬연산은 행렬의 계수를 보존하기 때문에 $A_{22} - \frac{A_{12}A_{21}}{A_{11}} \neq 0$이여야하므로 $\text{det}(A) = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} \neq 0$이다. $A_{21} \neq 0$이면 두 행의 위치를 바꾼 뒤 같은 기본행연산을 적용하면 된다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)