선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식 2에서는 여인수 전개를 이용해서 일반적인 행렬의 행렬식을 구하는 방법과 행렬식과 관련된 몇 가지 정리에 대해서 알아보았습니다. 특히, 저희는 임의의 행에 대해 여인수 전개를 수행하더라도 동일한 행렬식을 구할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 행렬에 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식이 어떻게 변화하는 지 확인해보고 보다 쉽게 행렬식을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하u겠습니다. 기본행렬연산은 기본적으로 행렬의 계수 (rank)를 변화시키지 않은 연산이기 때문에 행렬식 역시 변화하지 않을 것이라고 생각하시는 분들이 많습니다만 아쉽게도 기본행렬연산의 타입별로 행렬식이 달라지기 때문에 잘 알아두셔야합니다. 

 

여기서 바로 얻을 수 있는 결과는 2번 타입의 기본행렬연산의 경우에는 선형대수학 - 행렬식 2의 정리1에 의해 제한적인 선형성으로 인해 $\text{det} (B) = k\text{det} (A)$가 됩니다. 

 

 정리1

행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$와 행렬 $A$에서 임의의 두 행을 교체한 행렬 $B$가 주어졌을 때 두 행렬의 행렬식은 $\text{det} (A) = -\text{det} (B)$를 만족한다. 

 

증명

정리1은 1번 타입의 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식의 변화를 보여주고 있습니다. 즉, 두 행을 교체하게 되면 기존 행렬식에 음수가 붙는다는 것을 알 수 있죠! 

 

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$의 각 행이 $\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$이라고 하자. 그리고 행렬 $B$를 행렬 $A$의 행 중 $\mathbf{a}_{r}$과 $\mathbf{a}_{s}$를 교체해서 얻은 행렬이라고 하자. 이때, $r < s$이다. 따라서, 행렬 $A$와 $B$를 다음과 같이 적을 수 있다. 

 

$$A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n}  \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix}$$

 

이제 행렬 $A$의 $r$번째 행과 $s$번째 행을 모두 $a_{r} + a_{s}$로 변경하면 선형대수학 - 행렬식 2의 정리1에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} 0 &= \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) = \text{det} \left(\begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix}\right) + \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n}  \end{bmatrix} \right) \\ &= \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) + \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) + \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) + \text{det} \left( \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{s} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \right) &= 0 + \text{det} (A) + \text{det} (B) + 0 \end{align*}$$

 

따라서, $\text{det} (A) = -\text{det} (B)$이다. 

 

 정리2

행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$와 행렬 $A$에서 어떤 행을 다른 행에 더해서 얻은 행렬 $B$가 주어졌을 때 두 행렬의 행렬식은 $\text{det} (A) = \text{det} (B)$이다. 

 

증명

정리2는 3번 타입의 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식의 변화를 보여주고 있습니다. 즉, 행끼리 더하더라도 행렬식은 변하지 않는 다는 것이죠!

 

행렬 $B$를 행렬 $A$의 $r$번째 행을 $s$번째 행에 $k$배 만큼 더해서 얻은 행렬이라고 하자. 이때, $r \neq s$이다. 그리고 행렬 $A$의 각 행을 $\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$ 그리고 행렬 $B$의 각 행을 $\mathbf{b}_{1}, \dots, \mathbf{b}_{n}$이라고 하자. 그러면 $i = \neq s$인 $1 \le i \le n$에 대해서 $\mathbf{b}_{i} = \mathbf{a}_{i}$를 만족하고 $i = s$인 경우에는 $\mathbf{b}_{s} = \mathbf{a}_{s} + k\mathbf{a}_{r}$을 만족한다. 이제 행렬 $C$를 행렬 $A$의 $s$번째 행을 $\mathbf{a}_{r}$로 바꾼 행렬이라고 하자. 그러면 선형대수학 - 행렬식 2의 정리1에 의해 다음이 성립한다. 

 

$$\text{det} (B) = \text{det} (A) + k\text{det} (C) = \text{det} (A)$$

 

여기서, 행렬 $C$의 $r$번째 행과 $s$번째 행이 $\mathbf{a}_{r}$로 동일하기 때문에 선형대수학 - 행렬식 2의 따름정리2.1에 의해 $\text{det} (C) = 0$이므로 $\text{det} (A) = \text{det} (B)$이다. 

 

 따름정리2.1

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$에 대해서 $\text{rank} (A) < n$이면 $\text{det} = 0$이다. 

 

증명

따름정리2.1을 통해 행렬의 가역성, 계수, 행렬식을 하나로 묶어서 설명할 수 있게 되었습니다. 만약, $n \times n$ 크기의 행렬이 가역이라면 행렬의 계수는 $n$이고 행렬식이 0이 아니게 됩니다. 반대로 행렬식이 비가역이면 행렬의 계수는 $n$보다 작으며 행렬식은 0이 되죠. 

 

$\text{rank}(A) < n$이라고 하자. 그러면 행렬 $A$의 행 $\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$들은 서로 선형종속이다. 따라서, 행렬 $A$의 어떤 행에 대해서는 다른 행렬들의 선형결합으로 표현할 수 있다. 편의를 위해 이를 만족하는 행렬 $\mathbf{a}_{r}$이라고 두면 스칼라 계수 $c_{i}$가 존재하여 다음을 만족한다. 

 

$$\mathbf{a}_{r} = c_{1}\mathbf{a}_{1} + \cdots + c_{r - 1}\mathbf{a}_{r - 1} + c_{r + 1} \mathbf{a}_{r + 1} + \cdots + c_{n}\mathbf{a}_{n}$$

 

여기서 행렬 $B$를 행렬 $A$에서 $i \neq r$인 모든 $i$번째 행들에 $-c_{i}$를 곱하여 $r$번째 행에 더해서 얻은 행렬이라고 하면 행렬 $B$의 $r$번째 행은 모두 0인 성분을 가진다. 여기서 정리2에 의해 3번 타입에 의한 기본행연산을 적용한 뒤 얻은 행렬의 행렬식은 변하지 않으므로 $\text{det} (A) = \text{det} (B) = 0$이다. 

 

따라서 정리하면 다음과 같습니다. 

 

Remark1 : 행렬식과 기본행렬연산 사이의 관계성

1번 타입 : 행렬 $B$가 행렬 $A$에서 임의의 두 행을 교환한 행렬이라고 하면 $\text{det} (B) = -\text{det} (A)$이다. 

2번 타입 : 행렬 $B$가 행렬 $A$에서 어떤 행에 $k$배 하여 얻은 행렬이라고 하면 $\text{det} (B) = k\text{det} (A)$이다. 

3번 타입 : 행렬 $B$가 행렬 $A$에서 어떤 행에 스칼라배 하여 다른 행에 더해서 얻은 행렬이라고 하면 $\text{det} (B) = \text{det} (A)$이다. 

 

이제 실제로 기본행렬연산을 이용해서 행렬을 간단하게 만든 뒤 행렬식을 구해보도록 하죠. 

 

$$\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 \\ -3 & -5 & 2 \\ -4 & 4 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{cases} \mathbf{r}_{2} = \mathbf{r}_{2} + 3\mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{3} = \mathbf{r}_{3} + 4\mathbf{r}_{1} \end{cases}} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 0 & 4 & -7 \\ 0 & 16 & -18 \end{bmatrix} \xrightarrow{\mathbf{r}_{3} = \mathbf{r}_{3} - \mathbf{r}_{2}} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix} = B\end{align*}$$

 

여기서 저희는 3번 타입의 기본행렬 연산만 사용했기 때문에 $\text{det} (A) = \text{det} (B)$입니다. 이제 행렬 $B$의 3번째 행에 대해서 여인수 전개를 취하면 첫번째 행에 취하는 것보다 더 쉽게 구할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} (A) &= \text{det} (B) = (-1)^{3 + 1} \cdot 0 \cdot \text{det} (\tilde{B}_{31}) + (-1)^{3 + 2} \cdot 0 \cdot \text{det} (\tilde{B}_{32}) + (-1)^{3 + 3} \cdot 10 \cdot \text{det} (\tilde{B}_{33}) \\ &= 10 \cdot (1 \cdot 4 - 3 \cdot 0) = 40 \end{align*}$$

 

따라서, $\text{det} (A) = 40$임을 이렇게 쉽게 알 수 있습니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)