선형대수학 - 행렬식의 성질

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산에서는 주어진 행렬에 기본행렬연산을 적용했을 때 행렬식이 어떻게 변화하는 지 살펴보았습니다. 오늘은 행렬식과 관련된 다양한 성질들에 대해서 더 탐구해보도록 하겠습니다. 오늘 소개해드릴 정리들 중에서는 굉장히 중요하고 자주 사용되는 정리들도 있기 때문에 꼭 숙지하시면 좋을 거 같습니다. 

 

 정리1

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$가 상삼각행렬이라고 하면 $\text{det} (A) = \Pi_{i = 1}^{n} a_{ii}$로 주대각성분의 곱과 동일하다. 

 

증명

정리1은 지난 포스팅에서 기본행렬연산을 통해 행렬을 간단하게 만드는 과정에서 상삼각행렬로만 만들 수 있다면 주대각성분만 곱하면 행렬식을 얻을 수 있기 때문에 행렬식을 구하는 데 있어 중요한 정리 중 하나 입니다. 증명은 행렬식의 정의와 상삼각행렬의 특성을 잘 활용하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 또한 정리1은 이후에 정리3에 의해 모든 삼각행렬에 대해서 증명될 수 있습니다. 

 

행렬 $A$를 $n \times n$ 크기의 상삼각행렬이라고 하자. 그러면 행렬식의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} (A) &= a_{n1}C_{n1} + a_{n2}C_{n2} + \cdots + a_{nn}C_{nn} \\ &= a_{nn} (-1)^{n + n} \text{det} (\tilde{A}_{nn}) \\ &= a_{nn} \left( a_{(n-1)1}C_{(n-1)1} + a_{(n-1)2}C_{(n-1)2} + \cdots + a_{(n-1)(n-1)}C_{(n-1)(n-1)} \right) \\ &= \cdots = \Pi_{i = 1}^{n} a_{ii} \end{align*}$$

 

 정리2

임의의 두 행렬 $A, B \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$에 대해서 $\text{det} (AB) = \text{det} (A) \text{det} (B)$이다. 

 

증명

정리2는 이전에 제 전공시험에서도 나온 문제라서 아직도 기억하고 있습니다. 증명과정은 가장 기본적인 기본행렬부터 시작하게 됩니다. 그러기 위해서는 기본행렬의 행렬식이 무엇인지 알아야겠죠? 하지만 이는 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산의 정리에서 그 결과를 알 수 있습니다. 일단, 항등행렬 $I_{n}$의 행렬식을 알아야하는 데 이는 당연하게도 $\text{det} (I_{n}) = 1$입니다. 그런데 기본행렬의 정의에 따르면 항등행렬을 각 타입에 맞는 기본행렬연산을 통해 얻은 결과가 되기 때문에 바로 다음 3개의 결과를 알 수 있습니다. 

 

Remark1. 기본행렬의 행렬식

1번 타입 : 기본행렬 $E$가 항등행렬 $I_{n}$의 임의의 두 행을 교환한 행렬이라고 하면 $\text{det} (E) = -1$이다. 

2번 타입 : 기본행렬 $E$가 항등행렬 $I_{n}$의 어떤 행에 스칼라 $k$배를 적용한 행렬이라고 하면 $\text{det} (E) = k$이다. 

3번 타입 : 기본행렬 $E$가 항등행렬 $I_{n}$의 어떤 행에 스칼라배를 적용하고 다른 행에 더해서 얻은 행렬이라고 하면 $\text{det} (E) = 1$이다. 

 

자, 이제 정리2를 증명할 준비가 되었습니다. 증명은 행렬 $A$를 기준으로 3가지 케이스 ($A$가 기본행렬, $\text{rank} (A) < n$, $\text{rank} (A) = n$)으로 나누어 순서대로 진행합니다. 

 

CASE1. 행렬 $A$가 기본행렬인 경우

 

1번 타입 : 행렬 $A$가 항등행렬 $I_{n}$의 임의의 두 행을 교환한 행렬이라면 Remark1에 의해 $\text{det} (A) = -1$이다. 이때, 선형대수학 - 기본행렬연산과 기본행렬의 정리1과 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산의 정리1에 의해 $\text{det} (AB) = -\text{det} (B) = \text{det} (A)\text{det} (B)$이다. 

 

2번 타입 : 행렬 $A$가 항등행렬 $I_{n}$의 어떤 행에 스칼라 $k$배를 적용한 행렬이라면 Remark1에 의해 $\text{det} (A) = k$이다. 그러면 두 행렬의 곱은 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$AB = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} \\ \vdots \\ k\mathbf{b}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{n} \end{bmatrix} = B^{'}$$

 

따라서, $\text{det} (AB) = \text{det} (B^{'}) = k\text{det} (B) = \text{det} (A) \text{det} (B)$이다. 

 

3번 타입 : 행렬 $A$가 항등행렬 $I_{n}$의 어떤 행에 스칼라배를 적용하고 다른 행에 더해서 얻은 행렬이라고 하면 Remark1에 의해 $\text{det} (A) = 1$이다. 그러면 두 행렬의 곱은 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$AB = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{i} + k\mathbf{b}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{n} \end{bmatrix} = B^{'}$$

 

따라서, $\text{det} (AB) = \text{det} (B^{'}) = \text{det} (B) = \text{det} (A) \text{det} (B)$이다. 

 

결과적으로 각 타입에 대해서 행렬 $A$가 기본행렬이라면 정리2를 만족한다. 

 

CASE2. $\text{rank}(A) < n$

행렬 $A$의 계수 $\text{rank} (A) < n$을 만족한다고 가정하면 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산의 따름정리2-1에 의해 $\text{det} (A) = 0$이다. 따라서 선형대수학 - 행렬의 계수의 정리5에 의해 두 행렬 $A$와 $B$의 곱 $AB$의 계수 $\text{rank} (AB) \le \text{rank} (A) < n$이다. 그러므로 $\text{det} (AB) = 0 = 0 \cdot \text{det} (B) = \text{det} (A) \text{det} (B)$이다. 

 

CASE3. $\text{rank}(A) = n$

행렬 $A$의 계수 $\text{rank} (A) = n$을 만족한다고 가정하면 가역이므로 선형대수학 - 행렬의 계수의 따름정리4-3에 의해 행렬 $A$는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, $A = E_{m} \cdots E_{2}E_{1}$ 이라고 하면 CASE1에 의해 다음이 성립한다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} (AB) &= \text{det} (E_{m} \cdots E_{2}E_{1}B) \\ &= \text{det} (E_{m}) \cdots \text{det} (E_{2}) \text{det} (E_{1}) \text{det} (B) \\ &= \text{det} (E_{m} \cdots E_{2}E_{1}) \text{det} (B) \\ &= \text{det} (A) \text{det} (B) \end{align*}$$

 

 따름정리2-1 

행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$가 가역인 것과 $\text{det} (A) \neq 0$ 인 것과 동치이며 $\text{det} (A^{-1}) = \frac{1}{\text{det} (A)}$이다. 

 

증명

 

1). ($\Rightarrow$) : 행렬 $A$가 가역이라고 하자. 그러면 정리2에 의해 다음과 같이 정리할 수 있다. 

 

$$\text{det} (A) \text{det}(A^{-1}) = \text{det} (AA^{-1}) = \text{det} (I_{n}) = 1$$

 

따라서, $\text{det} (A^{-1}) = \frac{1}{\text{det} (A)}$이다. 

 

2). ($\Leftarrow$) : 행렬 $A$가 가역행렬이 아니라고 하자. 그러면 $\text{rank} (A) < n$이므로 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산의 따름정리2-1에 의해 $\text{det} (A) = 0$이다.이는 귀류법에 의해 모순이 발생하므로 행렬 $A$는 가역행렬이다. 

 

 정리3

임의의 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$에 대해서 $\text{det} (A^{t}) = \text{det} (A)$이다. 

 

증명

정리3은 행렬 $A$의 가역성에 따라 두 가지 경우(가역행렬/비가역행렬)로 나누어 각각 증명해주어야합니다.

 

CASE1. 행렬 $A$가 비가역인 경우

행렬 $A$가 비가역이기 때문에 $\text{rank} (A) < n$이다. 여기서 선형대수학 - 행렬의 계수의 따름정리4-2에 의해 $\text{rank} (A^{t}) = \text{rank} (A) < n$이다. 따라서, 행렬 $A$의 전치행렬인 $A^{t}$ 역시 비가역이므로 $\text{det} (A^{t}) = 0 = \text{det} (A)$이다. 

 

CASE2. 행렬 $A$가 가역인 경우

행렬 $A$가 가역이기 때문에 선형대수학 - 행렬의 계수의 따름정리4-3에 의해 행렬 $A$는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, $A = E_{m} \cdots E_{2}E_{1}$ 이라고 하자. 그러면 기본행렬에 대해서는 $\text{det} (E^{t}) = \text{det} (E)$를 만족하기 때문에 정리2를 이용해서 다음과 같이 증명할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} (A^{t}) &= \text{det} (E_{1}^{t}E_{2}^{t} \cdots E_{m}^{t}) \\ &= \text{det} (E_{1}^{t}) \text{det} (E_{2}^{t}) \cdots \text{det} (E_{m}^{t}) \\ &= \text{det} (E_{1}) \text{det} (E_{2}) \cdots \text{det} (E_{m}) \\ &= \text{det} (E_{m}) \cdots \text{det} (E_{2}) \text{det} (E_{1}) \\ &= \text{det} (E_{m} \cdots E_{2} E_{1}) = \text{det} (A) \end{align*}$$

 

정리3은 행렬식을 구하는데 있어서 굉장히 중요한 결과를 알려주고 있습니다. 선형대수학 - 행렬식 2에서 제가 던졌던 질문 중 하나를 기억하시나요? 왜 하필 행에 대해서만 여인수 전개를 수행해야할까요? 정리3은 열에 대해서 해도 동일하다는 것을 알려주고 있습니다. 따라서, 저희는 행이든 열이든 여인수 전개를 적용하면 동일한 행렬식이 나온다는 것을 알게 되었습니다. 

 

 따름정리3-1

임의의 삼각행렬의 행렬식은 주대각성분의 곱과 동일하다. 

 

 정리4. 크라메르 공식 (Cramer's Rule)

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$를 $n$개 선형방정식과 $n$개의 변수를 가지는 연립선형방정식이라고 하자. 만약, $\text{det} (A) = 0$이면 주어진 연립선형방정식은 유일한 해를 가지고 $k = 1, 2, \dots, n$에 대해 유일한 해는 $x_{k} = \text{det} (M_{k}) / \text{det} (A)$이다. 여기서, $M_{k} \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$는 행렬 $A$의 $k$번째 열을 $\mathbf{b}$로 대체한 행렬이다. 

 

증명

크라메르 공식는 선형방정식의 개수와 미지수의 개수가 동일할 때 주어진 연립선형방정식의 유일해를 구하는 방법 중 하나 입니다. 다른 방법은 선형대수학 - 연립선형방정식 1의 정리3으로 행렬 $A$가 가역이라면 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$로 구할 수 있습니다. 크라메르 공식은 역행렬을 이용해서 푸는 과정보다 조금 복잡하기 때문에 자주 쓰이는 방법은 아니지만 그래도 행렬식을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 수 있다는 점에서 알아볼만한 공식입니다. 

 

$\text{det} (A) \neq 0$이라고 하자. 그러면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$는 따름정리2-1과 선형대수학 - 연립선형방정식 1의 정리3에 의해 유일한 해를 갖는다. 각 $k = 1, 2, \dots, n$에 대해서 $a_{k}$를 행렬 $A$의 $k$번째 열, $X_{k}$를 $n \times n$의 항등행렬 $I_{n}$의 $k$번째 열을 $\mathbf{x}$로 대체한 행렬이라고 하자. 그러면 선형대수학 - 선형변환 합성과 행렬곱의 정리5에 의해 $AX_{k}$는 $n \times n$ 크기의 행렬로 $i$번째 열은 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{cases} &Ae_{j} = a_{i} \text{ if } i \neq k \\ & A\mathbf{x} = \mathbf{b} \text{ if } i = k \end{cases}$$

 

따라서, $AX_{k} = M_{k}$가 된다. 행렬 $X_{k}$의 $k$번째 행에서 여인수 전개를 통해 행렬식을 구하면 $\text{det} (X_{k}) = x_{k} \text{det} (I_{n - 1}) = x_{k}$이다. 따라서, 정리2에 의해 $\text{det} (M_{k}) = \text{det} (AX_{k}) = \text{det} (A) \text{det} (X_{k}) = \text{det} (A) x_{k}$이므로 $x_{k} = \text{det} (M_{k}) / \text{det} (A)$이다. 

 

간단하게 연립방정식 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 다음과 같이 연립방정식이 주어졌다고 가정해보죠.

 

$$\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} &= 2 \\ x_{1} + x_{3} &= 3 \\ x_{1} + x_{2} - x_{3} &= 1 \end{cases}$$

 

위 연립방정식을 행렬꼴 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$로 변형하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$

 

여기서, $\text{det} (A) = 6 \neq 0$이기 때문에 크라메르 공식을 적용해서 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다. 

 

$$x_{1} = \frac{\text{det} (M_{1})}{\text{det} (A)} = \frac{\text{det} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1  \end{bmatrix}}{\text{det} (A)} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$$

 

$$x_{2} = \frac{\text{det} (M_{2})}{\text{det} (A)} = \frac{\text{det} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1  \end{bmatrix}}{\text{det} (A)} = \frac{-6}{6} = -1$$

 

$$x_{3} = \frac{\text{det} (M_{3})}{\text{det} (A)} = \frac{\text{det} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1  \end{bmatrix}}{\text{det} (A)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)