선형대수학 - 행렬식의 새로운 관점

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬식의 성질에서는 행렬식을 구하는데 유용한 다양한 성질과 행렬식을 이용한 연립선형방정식의 해를 구하는 방법 (크라메르 공식)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 행렬식을 새로운 개념을 도입하여 설명해보도록 하겠습니다. 

 

 정리1. $n$-선형 함수 ($n$-linear function)

함수 $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$가 각 행에 대해서 다른 $n - 1$개의 행을 고정시켰을 때 선형이면 함수 $\delta$를 $n$-선형 함수 ($n$-linear function)이라고 한다. 즉, $n$-선형 함수인 $\delta$는 모든 $r = 1, 2, \dots, n$에 대해서 다음 식이 성립한다. 

 

$$\delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + k\delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix}$$

 

여기서, $k$는 상수이고 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$와 각 $\mathbf{a}_{i}$는 $\mathbf{F}^{n}$의 벡터이다. 

 

A function $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$ is called $n$-linear function if it is a linear function of each row of an $n \times n$ matrix when the remaining $n - 1$ rows are held fixed, that is, $\delta$ is $n$-linear function if for every $r = 1, 2, \dots, n$, we have 

 

$$\delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + k\delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix}$$

 

where $k$ is a scalar and $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ and each $\mathbf{a}_{i}$ are vectors in $\mathbf{F}^{n}$.

 

설명

글로만 하면 어려우니 몇 가지 $n$-선형 함수의 예시를 보도록 하죠. 가장 간단한 $n$-선형 함수는 모든 입력되는 모든 행렬을 0으로 바꾸는 영함수입니다. 

 

$$\delta (A) = 0$$

 

정의1에 따라서 $n$-선형 함수가 되죠. 다른 함수는 무엇이 있을까요? $1 \le j \le n$에 대해서 $\delta_{j} : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 $\delta_{j} (A) = A_{1j} \cdots A_{nj} = \Pi_{i = 1}^{n} A_{ij}$이라고 정의하면 $\delta_{j} (A)$는 행렬 $A$의 $j$번째 열의 모든 행의 곱이 됩니다. 이 함수는 $n$-선형 함수일까요? 간단하게 증명해볼 수 있습니다. 먼저, 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$을 하나 선택합니다. 그리고 행렬 $A$의 임의의 두 행 $\mathbf{a}_{i} = (A_{1j}, \dots, A_{nj})$와 $\mathbf{v} = (b_{1}, \dots, b_{n})$을 선택하도록 하죠. 그리고 임의의 스칼라 $k \in \mathbf{F}$에 대해서 저희는 다음과 같이 식을 전개할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{u} + k\mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} &= A_{1j} \cdots A_{(r - 1)j} \left( A_{rj} + kb_{j} \right) A_{(r + 1)j} \cdots A_{nj} \\ &= A_{1j} \cdots A_{(r - 1)j}A_{rj}A_{(r + 1)j} \cdots A_{nj} + k\left( A_{1j} \cdots A_{(r - 1)j}b_{j}A_{(r + 1)j} \cdots A_{nj} \right) \\ &= \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + k\delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r - 1} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix}\end{align*}$$

 

따라서, 각 $j$에 대해서 $\delta_{j} (A) = \Pi_{i = 1}^{n} A_{ij}$는 $n$-선형 함수입니다. 

 

이번에는 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에 대해서 $\delta (A) = tr (A)$라고 정의해보도록 하겠습니다. 즉, $\delta (A)$는 행렬 $A$의 대각합을 구하는 함수입니다. 아쉽게도 대각합이 $n$-선형함수가 아닌 것은 반례를 이용해서 쉽게 증명할 수 있습니다. 항등행렬 $I_{n}$을 생각해보죠. 저희는 $I_{n}$의 첫번째 행에 2를 곱해서 얻은 행렬을 $A$라고 하겠습니다. 그러면 $\delta (A) = n + 1 \neq 2n = 2\delta (I_{n})$가 되므로 대각합은 $n$-선형함수가 아닙니다. 

 

 정의2. 교대성 (Alternating)

$n$-선형함수 $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$가 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에 대해서 행렬 $A$의 인접한 두 행이 동일할 때 $\delta (A) = 0$이면 $\delta$는 교대성을 가진다.

 

An $n$-linear function $\delta : M_{n \times n}(\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$ is called alternating if for each $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$, we have $\delta (A) = 0$ whenever two adjacent rows of $A$ are identical.

 

설명

정의2는 정의1에 추가되는 조건으로 받아들이시면 됩니다. 정의 자체도 단순히 두 인접한 행이 동일한 경우 $n$-선형함수가 동일하다는 뜻이기 때문에 쉽게 받아드릴 수 있을 겁니다. 저희는 두 정의과 몇 가지 조건을 만족하는 $n$-선형함수는 행렬식이 유일하다는 것을 증명할 것 입니다. 그 전에 몇 가지 정리를 증명해보도록 하죠. 

 

 정리1

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$가 교대 $n$-선형 함수라고 하자. 그러면 다음 두 명제가 성립한다. 

 

(a). 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$가 주어졌을 때 행렬 $B$가 행렬 $A$로부터 임의의 두 행을 교환하여 얻었다고 하면 $\delta (B) = -\delta (A)$이다. 

 

(b). 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$가 동일한 두 행을 가지면 $\delta (A) = 0$이다. 

 

증명

정리1이 어디서 많이 본 것 같지 않나요? 아마 명제 (a)는 선형대수학 - 행렬식과 기본행렬연산의 정리1 그리고 명제 (b)는 선형대수학 - 행렬식 2의 따름정리2-1에서 비슷한 느낌을 받으셨다면 정말 잘하셨습니다. 정리1의 $\delta$를 행렬식으로 바꾼다고 해도 큰 문제가 없죠. 저희는 점점 교대 $n$-선형 함수가 행렬식에 가까워지고 있다는 느낌을 받고 있습니다. 다음으로 넘어가기 전에 두 명제를 증명하도록 하겠습니다. 

 

(a). 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$가 주어졌을 때 행렬 $B$가 행렬 $A$로부터 $r < s$를 만족하는 $r$번째 행과 $s$번째 행을 교환하여 얻었다고 가정하자. 

 

CASE1. $s$번째 행이 $r$번째 행의 바로 다음 번 행인 경우, 즉 $s = r + 1$

 

이때, $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$가 교대 $n$-선형 함수이므로 정의1과 정의2에 의해 다음을 얻는다. 

 

$$\begin{align*} 0 &= \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{r + 1} \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} \\ &= \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \mathbf{a}_{r} + \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} \\ &= \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \mathbf{a}_{r} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \mathbf{a}_{r + 1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} \\ &= 0 + \delta (A) + \delta (B) + 0 \end{align*}$$

 

따라서, $\delta (B) = -\delta (A)$이다. 

 

CASE2. $s$번째 행이 $r$번째 행의 다음 번 행 이후인 경우, 즉 $s > r + 1$

 

행렬 $A$의 각 행을 $\mathbf{a}_{1}, \dots \mathbf{a}_{n}$이라고 하자. 여기서, $r$번째 행인 $\mathbf{a}_{r}$부터 시작하여 바로 다음 $r + 1$번째 행 $\mathbf{a}_{r + 1}$을 서로 교체한다. 이 과정을 각 행이 다음 배열을 가질 때 까지 반복한다. 

 

$$\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{r - 1}, \mathbf{a}_{r + 1}, \dots, \mathbf{a}_{s}, \mathbf{a}_{r}, \mathbf{a}_{s + 1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$$

 

즉, 위 과정을 기존에 $r$번째 행렬이였던 $\mathbf{a}_{r}$이 $s$번째 행렬의 다음 행이 될 때까지 반복한다. 그러면 이 과정은 총 $s - r$번 이루어지게 된다. 이제, 역으로 $\mathbf{a}_{s}$가 기존의 $\mathbf{a}_{r}$의 자리로 돌아가 다음 배열을 가질 때 까지 반복한다. 

 

$$\mathbf{a}_{1}, \dots, \mathbf{a}_{r - 1}, \mathbf{a}_{s}, \mathbf{a}_{r + 1}, \dots, \mathbf{a}_{s - 1}, \mathbf{a}_{r}, \mathbf{a}_{s + 1}, \dots, \mathbf{a}_{n}$$

 

그러면 이 과정은 $s - r - 1$번 이루어졌으므로 CASE1에 의해 총 $(s - r) + (s - r + 1)$번 교체가 일어난 것을 확인하여 $\delta (B) = (-1)^{(s - r) + (s - r + 1)} \delta (A) = -\delta (A)$임을 알 수 있다. 

 

(b). $r < s$에 대해서 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$의 $r$번째 행 $\mathbf{a}_{r}$과 $s$번째 행 $\mathbf{a}_{s}$가 동일한 행이라고 하자. 

 

CASE1. $s$번째 행이 $r$번째 행의 바로 다음 번 행인 경우, 즉 $s = r + 1$

 

정리1의 가정에 의해 $A$는 교대 $n$-선형 함수이고 정의2에 의해 인접한 두 행이 동일한 행이므로 $\delta (A) = 0$이다. 

 

CASE2. $s$번째 행이 $r$번째 행의 다음 번 행 이후인 경우, 즉 $s > r + 1$

 

행렬 $B$를 행렬 $A$에서 $r + 1$번째 행과 $s$번째 행을 교환하여 얻은 행렬이라고 하면 행렬 $B$의 $r$번째 행인 $\mathbf{a}_{r}$과 $(r + 1)$번째 행인 $\mathbf{a}_{s}$가 동일한 행이므로 $\delta (B) = 0$이다. 이때, 명제 (a)에 의해 두 행이 교환될 때 교대 $n$-선형 함수의 부호만 변하므로 $\delta (A) = -\delta (B) = 0$이다.

 

 따름정리1-1

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 교대 $n$-선형 함수라고 하자. 행렬 $B$가 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에서 어떤 행에 스칼라 곱을 하여 다른 행에 더해서 얻은 행렬이라고 하면 $\delta (B) = \delta (A)$이다. 

 

 따름정리1-2

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 교대 $n$-선형 함수라고 하자. 행렬 $M \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$의 계수 $\text{rank} (M) < n$이면 $\delta (M) = 0$이다. 

 

 따름정리1-3

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 교대 $n$-선형 함수라고 하자. 그리고 $E_{1}, E_{2}, E_{3} \in M_{n \times n}(\mathbf{F})$를 타입1, 타입2, 타입3의 기본행렬이라고 하면 $\delta (E_{1}) = -\delta (I), \delta (E_{2}) = k\delta (I), \delta (E_{3}) = \delta (I)$이다. 

 

 정리2

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 $\delta (I) = 1$를 만족하는 교대 $n$-선형 함수라고 하면 임의의 두 행렬 $A, B \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에 대해서 $\delta (AB) = \delta (A) \delta (B)$가 성립한다.

 

정리1과 마찬가지로 따름정리1-1, 1-2, 1-3, 그리고 정리2까지 모두 행렬식으로 바꾸어서 말해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 여기서 한가지 예상할 수 있는 것은 $\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 $\delta (I) = 1$를 만족하는 교대 $n$-선형 함수는 $\text{det} (\cdot)$라는 것 입니다. 다음 정리는 저희가 원했던 결과를 알려주고 있습니다. 

 

 정리3

$\delta : M_{n \times n} (\mathbf{F}) \rightarrow \mathbf{F}$를 $\delta (I) = 1$를 만족하는 교대 $n$-선형 함수라고 하면 임의의 행렬 $A \in M_{n \times n} (\mathbf{F})$에 대해서 $\delta (A) = \text{det} (A)$이다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)