선형대수학 - 대각화 1

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 고유값과 고유벡터 2에서는 선형변환의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 개념을 활용하여 행렬에 대각화를 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정리1

$T$를 벡터공간 $V$에서의 선형변환 그리고 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 만약, $v_{1}, \dots, v_{k}$가 각각 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$에 대응되는 $T$의 고유벡터라고 하면 $\{v_{1}, \dots, v_{k}\}$는 선형독립이다. 

 

증명

정리1은 저희가 고유값을 결정하고 그에 대응되는 고유벡터를 구하기만 하면 고유벡터들의 집합은 무조건 선형독립이 된다는 것을 보여주고 있습니다. 정리1의 증명은 $k$에 대해 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있습니다. 

 

1). $k = 1$이라고 하자. 이때, $v_{1}$은 고유벡터이기 때문에 정의에 의해 $v_{1}$은 영벡터가 아니다. 따라서, $\{v_{1}\}$은 선형독립이다. 

 

2). 정리1이 $k - 1$개의 서로 다른 고유값을 가지는 경우에 성립한다고 가정하자. 여기서, $k - 1 \ge 1$을 만족한다. 

 

3). $k$개의 서로 다른 고유값 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$와 그에 대응되는 고유벡터 $v_{1}, \dots, v_{k}$가 있다고 가정하자. 정리1을 증명하기 위해서는 $\{v_{1}, \dots, v_{k}\}$가 선형독립임을 증명해야한다. 이를 위해 다음 식이 성립하는 스칼라 $a_{1}, \dots, a_{k}$를 고려한다. 

 

$$a_{1}v_{1} + \cdots + a_{k}v_{k} = 0$$

 

이제, 양변에 $T - \lambda_{k}I$를 적용하면 다음 식을 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} (T - \lambda_{k}I)(a_{1}v_{1} + \cdots + a_{k}v_{k}) &= a_{1}(T - \lambda_{k}I)(v_{1}) + \cdots + a_{k}(T - \lambda_{k}I)(v_{k}) \\ &= a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k})v_{1} + \cdots + a_{k - 1}(\lambda_{k - 1} - \lambda_{k})v_{k - 1} + a_{k}(\lambda_{k} - \lambda_{k})v_{k} \\ &= a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k})v_{1} + \cdots + a_{k - 1} (\lambda_{k - 1} - \lambda_{k}) v_{k} = 0\end{align*}$$

 

수학적 귀납법의 가정에 의해 $\{v_{1}, \dots, v_{k - 1}\}$은 선형독립이다. 따라서, $a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = \cdots = a_{k - 1}(\lambda_{k - 1} - \lambda_{k}) = 0$이다. 여기서, $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$는 서로 다른 고유값이기 때문에 $i = 1, \dots, k - 1$에 대해서 $\lambda_{i} - \lambda_{k} \neq 0$이다.그러므로 $a_{1} = \cdots = a_{k} = 0$이여야만 $\{v_{1}, \dots, v_{k - 1}\}$이 선형독립일 수 있다. 이 결과는 $a_{1}v_{1} + \cdots + a_{k}v_{k} = a_{k}v_{k} = 0$임을 증명하는 것으로 줄어들며 $v_{k}$가 고유벡터이므로 여전히 정의에 의해 영벡터일 수 없으므로 그에 대응되는 계수인 $a_{k} = 0$이여야한다. 따라서, 모든 계수 스칼라 $a_{1} = \cdots = a_{k} = 0$을 만족하므로 $\{v_{1}, \dots, v_{k}\}$는 선형독립이다. 

 

 따름정리1-1

$T$를 $n$차원을 가지는 벡터공간 $V$ 상의 선형변환이라고 하자. 만약, $T$가 $n$개의 서로 다른 고유값을 가지면 $T$는 대각화가능하다. 

 

증명

드디어 대각화 가능성 (diagonalizability)에 대한 내용이 나오게 되었습니다. 쉽게 말해 선형변환이 대각화가 가능하기 위해서는 정의된 벡터공간의 차원과 서로 다른 고유값의 개수가 같으면 되는 것이죠. 증명은 정리1을 사용하면 쉽게 확인할 수 있습니다. 

 

$T$가 $n$개의 서로 다른 고유값 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}$를 가진다고 가정하자. 각 $i = 1, \dots, n$에 대해 $v_{i}$를 고유값 $\lambda_{i}$에 대응되는 고유벡터라고 하자. 정리1에 의해 $\{v_{1}, \dots, v_{n}\}$은 선형독립이며 가정에 의해 $\text{dim}(V) = n$이기 때문에 $\{v_{1}, \dots, v_{n}\}$은 벡터공간 $V$의 기저이다. 따라서, 선형대수학 - 고유값과 고유벡터 1의 정리1에 의해 $T$는 대각화 가능하다. 

 

간단하게 예를 들어서 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in M_{2 \times 2} (\mathbb{R})$을 생각해보면 $\text{det} (A - \lambda I) = (1 - \lambda)^{2} - 1 = \lambda(\lambda - 2) = 0$이라고 할 때 $\lambda_{1} = 0$이고 $\lambda_{2} = 2$임을 알 수 있습니다. 이때, $\text{dim}(\mathbb{R}) = 2$이고 서로 다른 고유값의 개수가 2개 이므로 따름정리1-1에 의해 행렬 $A$는 대각화가능합니다. 

 

 정의1. 분해 (split over)

다항식 $f(t) \in P(\mathbf{F})$이 체 $\mathbf{F}$에서 분해가능하다는 것은 $f(t) = c(t - a_{1}) \cdots (t - a_{n})$를 만족하는 스칼라 $c, a_{1}, \dots, a_{n}$가 체 $\mathbf{F}$ 상에서 존재한다는 의미이다. 

 

A polynomial $f(t) \in P(\mathbf{F})$ splits over $\mathbf{F}$ if there are scalars $c, a_{1}, \dots, a_{n}$ in $\mathbf{F}$ such that $f(t) = c(t - a_{1}) \cdots (t - a_{n})$. 

 

설명

정의1은 쉽게 설명하면 다항식이 분해가능하다는 것은 다항식의 모든 인수가 1차식으로 인수분해 가능하다는 것을 의미합니다. 

 

 정리2

대각화가능한 모든 선형변환의 특성 다항식은 분해가능하다. 

 

증명

$n$차원 벡터공간 상에서 정의된 대각화가능한 선형변환 $T$와 $[T]_{\beta} = D$를 만족하는 벡터공간 $V$의 순서기저 $\beta$가 있다고 가정하자. 여기서, 대각행려 $D$를 다음과 같이 두자. 

 

$$D = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix}$$

 

그리고 $f(t)$가 선형변환 $T$의 특성 다항식이라고 하자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} f(t) &= \text{det} (D - \lambda I) \\ &= \text{det} \begin{pmatrix} \lambda_{1} - t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} - t & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} - t \end{pmatrix} \\ &= (\lambda_{1} - t) \cdots (\lambda_{n} - t) \\ &= (-1)^{n} (t - \lambda_{1}) \cdots (t - \lambda_{n}) \end{align*}$$

 

따라서, $f(t)$는 분해가능하다. 

 

Remark1

선형변환 $T$의 특성 다항방정식이 분해가능하더라도 선형변환 $T$는 대각화가능하지 않을 수도 있다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)