선형대수학 - 대각화 2

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 대각화 1에서는 대각화 가능성이 되기 위한 조건에 대해서 알아보았습니다. 만약, $n$ 차원의 벡터공간 상에서 정의된 선형변환 $T$의 서로 다른 고유값이 $n$개라면 선형변환 $T$는 대각화 가능하죠. 그렇다면 선형변환 $T$의 고유값 중 몇 개가 중복되는 경우에는 항상 대각화가 불가능할까요? 그렇지 않습니다. 오늘은 중복되는 고유값을 가지는 경우에 대각화 가능성에 대해서 설명해보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 중복도 (Algebraic Multiplicity)

$\lambda$가 선형변환 또는 행렬의 고유값, 그리고 $f(t)$는 특성 다항방정식이라고 하자. $\lambda$의 중복도는 $f(t)$의 인수 중 $(t - \lambda)^{k}$를 만족하는 인수 중 가장 큰 $k$이다. 

 

Let $\lambda$ be an eigenvalue of a linear operator or matrix with characteristic polynomial $f(t)$. The algebraic multiplicity of $\lambda$ is the largest positive integer $k$ for which $(t - \lambda)^{k}$ is a factor of $f(t)$.

 

 정의2. 고유공간 (Eigenspace)

$T$를 벡터공간 $V$의 선형변환, 그리고 $\lambda$를 $T$의 고유값이라고 하자. 그리고 $E_{\lambda} = \{\mathbf{x} \in V | T(\mathbf{x}) = \lambda \mathbf{x}\} = N(T - \lambda I_{V})$라고 정의하자. 집합 $E_{\lambda}$를 $T$의 고유값 $\lambda$에 대응되는 고유공간 (Eigenspace)라고 한다. 이와 유사하게 정방행렬 $A$의 고유공간은 $L_{A}$의 고유공간으로 정의한다. 

 

Let $T$ be a linear operator on a vector space $V$ and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$. Define $E_{\lambda} = \{\mathbf{x} \in V | T(\mathbf{x}) = \lambda \mathbf{x}\} = N(T - \lambda I_{V})$. The set $E_{\lambda}$ is called eigenspace of $T$ corresponding to the eigenvalue of $\lambda$. Analogously, we define the eigenspace of a square matrix $A$ to be eigenspace of $L_{A}$.

 

 정리1

$T$를 유한차원의 벡터공간 $V$ 상에서 정의된 선형변환이라고 하자. 그리고 $\lambda$를 중복도 $m$을 가지는 $T$의 고유값이라고 하자. 그러면 $1 \le \text{dim}(E_{\lambda}) \le m$이다. 

 

증명

기본적으로 중복도가 2보다 큰 고유값의 경우에 대각화 가능성을 보이기 위해서는 고유공간을 함께 보아야합니다. 정리1은 이를 묶어주는 역할을 하기 때문에 이후 증명에서 중요한 역할을 하죠. 

 

먼저, 고유공간 $E_{\lambda}$의 순서기저 $\{v_{1}, \dots, v_{p}\}$를 선택하면 이를 벡터공간 $V$의 순서기저 $\{v_{1}, \dots, v_{p}, v_{p + 1}, \dots, v_{n}\}$를 얻을 수 있다. 그리고 $A = [T]_{\beta}$라고 하자. 여기서, $1 \le i \le p$에 대해서 $v_{i}$를 $\lambda$에 대응되는 선형변환 $T$의 고유벡터라고 하자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$A = \begin{pmatrix} \lambda I_{p} & B \\ O & C \end{pmatrix}$$

 

그러면, 선형변환 $T$의 특성 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} f(t) &= \text{det} (A - tI_{n}) \\ &= \text{det} \begin{pmatrix} (\lambda - t) I_{p} & B \\ O & (C - t)I_{n - p} \end{pmatrix} \\ &= \text{det} ((\lambda - t)I_{p}) \text{det} ((C - t)I_{n - p}) \\ &= (\lambda - t)^{p} g(t) \end{align*}$$

 

여기서, $g(t)$는 다항식이다. 그러므로 $(\lambda - t)^{p}$는 $f(t)$의 인수이기 때문에 $\lambda$의 중복도는 최소 $p$이므로 $\text{dim}(E_{\lambda}) = p \le m$이다. 

 

몇 가지 예시를 통해 대각화 가능성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

1). 선형변환 $T$를 벡터공간 $P_{2}(\mathbb{R})$에서 $T(f(x)) = f^{'}(x)$로 정의된 선형변환이라고 하겠습니다. 그러면 벡터공간 $P_{2}(\mathbb{R})$의 표준기저 $\beta$에 대한 선형변환 $T$의 행렬표현은 다음과 같죠. 

 

$$[T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

 

결과적으로 선형변환 $T$의 특성 다항식은 $\text{dim} ([T]_{\beta} - tI) = -t^{3}$입니다. 따라서, 선형변환 $T$는 중복도가 3인 고유값을 0 하나만 가지게 되죠. 여기서 고유값이 0이기 때문에 $T(f(x)) = 0$을 푸는 것은 $E_{\lambda} = N(T)$가 $P_{2}(\mathbb{R})$의 상수함수로 이루어진 부분공간임을 증명하는 것과 동일하죠. 따라서, $\{1\}$은 $E_{\lambda}$의 기저가 되므로 $\text{dim}(E_{\lambda}) = 1$입니다. 결과적으로 $T$의 고유벡터로 이루어진 $P_{2}(\mathbb{R})$의 기저가 존재하지 않으므로 $T$는 대각화 가능하지 않습니다. 

 

2). 선형변환 $T$를 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 다음과 같이 정의하도록 하겠습니다. 

 

$$T \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a_{1} + a_{3} \\ 2a_{1} + 3a_{2} + 2a_{3} \\ a_{1} + 4a_{3} \end{pmatrix}$$

 

그리고 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$의 표준기저 $\beta$에 대한 선형변환 $T$의 행렬표현은 다음과 같죠. 

 

$$[T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

 

따라서, 선형변환 $T$의 특성 다항식은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \text{det} ([T]_{\beta} - tI) &= \text{det} \begin{pmatrix} 4 - t & 0 & 1 \\ 2 & 3 - t & 2 \\ 1 & 0 & 4 - t \end{pmatrix} = -(t - 5)(t - 3)^{2} \end{align*}$$

 

따라서, 선형변환 $T$의 고유값은 중복도 1을 가지는 $\lambda_{1} = 5$와 중복도 2를 가지는 $\lambda_{2} = 3$입니다. 이제, 각 고유값에 대한 고유공간을 구하도록 하겠습니다. 먼저, $\lambda_{1}$에 대한 고유공간부터 보도록 하겠습니다. 

 

$$E_{\lambda_{1}} = N(T - \lambda_{1} I) = \{\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3} | \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\}$$

 

즉, $\lambda_{1}$의 고유공간은 다음 연립 선형방정식의 해공간이라고 할 수 있죠. 

 

$$\begin{cases} -x_{1} + x_{3} &= 0 \\ 2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} &= 0 \\ x_{1} - x_{3} &= 0 \end{cases}$$

 

결과적으로 $\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\}$이 고유공간 $E_{\lambda_{1}}$의 기저이므로 $\text{dim} (E_{\lambda_{1}}) = 1$임을 알 수 있습니다. 유사하게, $\lambda_{2}$에 대한 고유공간부터 보도록 하겠습니다.

 

$$E_{\lambda_{2}} = N(T - \lambda_{2} I) = \{\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3} | \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\}$$

 

즉, $\lambda_{2}$의 고유공간은 다음 연립 선형방정식의 해공간이라고 할 수 있죠. 

 

$$\begin{cases} x_{1} + x_{3} &= 0 \\ 2x_{1} + 2x_{3} &= 0 \\ x_{1} + x_{3} &= 0 \end{cases}$$

 

여기서, $x_{2}$은 알수없는 값이므로 임의의 실수 $s$라고 두도록 하겠습니다. 그러면 결과적으로 다음과 같이 해를 쓸 수 있죠. 

 

$$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

 

여기서, $s, t \in \mathbb{R}$입니다. 따라서, 주어진 연립 선형방정식의 해공간은 $\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \}$입니다. 이 결과는 $E_{\lambda_{2}}$의 기저이며 $\text{dim} (E_{\lambda_{2}}) = 2$입니다. 이 경우에는 고유값 $\lambda_{2}$의 중복도 2와 그에 대응되는 고유공간 $E_{\lambda_{2}}$의 차원이 2로 동일한 것을 볼 수 있죠. 이제 $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$에 대응되는 고유벡터들을 하나로 합치면 선형변환 $T$의 고유벡터를 얻을 수 있습니다. 

 

$$\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}$$

 

이 집합은 선형독립이며 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$의 기저입니다. 따라서, $T$는 대각화 가능합니다. 

 

 정리2

$T$를 벡터공간 $V$ 상에서 정의된 선형변환이라고 하자. 그리고 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 선형변환 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 각 $i = 1, \dots, k$에 대해서 $S_{i}$를 고유공간 $E_{\lambda_{i}}$의 유한차원의 선형독립 부분집합이라고 하자. 그러면 $S = S \cup \cdots \cup S_{k}$는 $V$의 선형독립 부분집합이다. 

 

증명

정리2는 벡터공간 $V$의 선형독립 부분집합을 구성하는 방법을 제시하고 있습니다. 방법은 아주 단순하죠. 고유값에 대응되는 고유공간에서 선형독립인 부분집합들을 선택하여 합집합을 하게 되면 그 결과는 항상 $V$의 선형독립 부분집합이 되는 것입니다. 정리2를 증명하기 위해서는 보조정리를 먼저 증명해야합니다. 

 

 보조정리2-1

$T$를 선형변환 그리고 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 그러면 각 $i = 1, \dots, k$에 대해서 $v_{i} \in E_{\lambda_{i}}$라고 할 때 $v_{1} + \cdots + v_{k} = 0$이면 모든 $i$에 대해서 $v_{i} = 0$이다. 

 

보조정리2-1 증명

$1 \le m \le k$에 대해서 $1 \le i \le m$에서 $v_{i} \neq 0$이고 $i > m$에서 $v_{i} = 0$이라고 하자. 그러면 $i \le m$에 대해서 $v_{i}$는 $\lambda_{i}$에 대응되는 $T$의 고유벡터이고 $v_{1} + \cdots + v_{m} = 0$이다. 하지만 이는 선형대수학 - 대각화 1의 정리1에 의해 모순이므로 모든 $i$에 대해서 $v_{i} = 0$이다. 

 

이제 본격적으로 정리2를 증명해보도록 하겠습니다. 

 

각 $i$에 대해서 $S_{i} = \{v_{i1}, \dots, v_{in_{i}}\}$라고 하자. 그러면 $S = \{v_{ij} | 1 \le j \le n_{i} \text{ and } 1 \le i \le k \}$이다. 이제 $\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} a_{ij}v_{ij} = 0$를 만족하는 스칼라 $\{a_{ij}\}$가 있다고 가정하자. 각 $i$에 대해서 $w_{i} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} a_{ij}v_{ij}$라고 정의하자. 그러면 $w_{i} \in E_{\lambda_{i}}$이고 $w_{1} + \cdots + w_{k}$이다. 여기서 보조정리2-1에 의해 모든 $i$에 대해서 $w_{i} = 0$이다. 하지만, 각 $S_{i}$은 선형독립이므로 모든 $j$에 대해서 $a_{ij} = 0$이다. 따라서, $S$는 선형독립이다. 

 

 정리3

$T$를 유한차원 벡터공간 $V$에서 정의되며 특성 다항식이 분리가능한 선형변환이라고 하자. 그리고 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하면 다음 명제가 성립한다. 

 

(a). 선형변환 $T$가 대각화가능한것은 모든 $i$에 대해서 $\lambda_{i}$의 중복도가 $\text{dim} (E_{\lambda_{i}})$와 일치하는 것과 동치이다. 

(b). 선형변환 $T$가 대각화가능하고 $\beta_{i}$가 고유공간 $E_{\lambda_{i}}$에 대한 순서기저이면 $\beta = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k}$는 선형변환 $T$의 고유벡터로 이루어진 벡터공간 $V$의 순서기저이다. 

 

설명

앞으로 저희는 정리3(a)를 통해 선형변환 및 행렬에 대한 대각화 가능성을 판단할 수 있으며 정리3(b)를 통해 벡터공간의 순서기저를 고유벡터로 구성하여 만들 수 있게 되었습니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)