안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 직교 기저에서는 정규직교 기저의 정의와 그 중요성에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 비직교 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있는 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)을 소개시켜드리겠습니다. 이를 통해, 임의의 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있기 때문에 임의의 유한차원의 내적공간은 정규직교 기저를 가짐이 자동으로 증명됩니다. 가장 간단한 경우로 2개의 벡터를 가지는 유한차원의 내적공간 V의 선형독립 부분집합 {w1,w2}를 생각해보도록 하겠습니다. 저희는 목표는 이 부분집합 {w1,w2}로부터 동일한 내적공간 V을 생성하는 직교집합 (orthogonal set)을 만드는 것 입..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 노름과 직교성에서는 벡터의 크기를 의미하는 노름과 벡터 사이의 관계 또는 벡터공간의 성질을 의미하는 직교성에 대해 이야기하였습니다. 오늘은 선형대수 전반에 걸쳐 끊임없이 나오는 주제 중 하나인 정규직교 기저 (orthonormal basis)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 정의1. 정규직교 기저 (orthonormal basis) V를 체 F 상의 내적 공간이라고 하자. 만약 V의 순서 기저 β가 정규직교라면 β는 내적공간 V의 정규직교 기저 (orthonormal basis)라고 한다. Let V be an inner product space over a field F. A sub..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 내적과 내적공간에서는 내적 및 내적공간의 정의와 관련된 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 내적의 특별한 연산인 노름 (Norm)과 벡터 간의 중요한 관계성 중 하나인 직교성 (Orthogonality)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 노름 (Norm) V를 내적공간이라고 하자. x∈V에 대해서 벡터 x의 크기 (length) 또는 노름 (norm)은 ‖x‖=√⟨x,x⟩으로 정의된다. Let V be an inner product space. For x∈V, we define the norm or length of x by $\lVert x \rVert..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리에서는 불변 부분공간과 순환 부분공간이라는 개념을 기반으로 케일리-해밀턴 정리 (Cayley-Hamilton Theorem)을 증명해보았습니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 내적 (inner product)이라는 개념에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 내적 (inner product) V를 F 상에서 정의된 벡터공간이라고 하자. 벡터공간 V에서의 내적 (innter product)는 벡터공간 V의 임의의 두 벡터 x와 y 쌍을 F 상의 스칼라로 변환하는 함수이며 $$로 표기한다. 벡터공간 $V$ 내의 임의의 세 벡터 $x, y, z$와 스칼라 $c \in \mathbf{F..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 대각화 2에서는 중복되는 고유값을 가지는 경우에 대각화 가능성에 대해서 이야기하였습니다. 오늘은 선형대수학에서 중요한 정리 중 하나인 케일리-해밀턴 정리 (Cayley-Hamilton Theorem)에 대해서 이야기해보도록 하겠습니다. 정의1. T 불변 부분공간 (T-invariant subspace) T를 벡터공간 V 상에서의 선형 연산자라고 하자. V의 부분공간 W가 T(W)⊆W 즉, 모든 v∈W에 대해서 T(v)∈W를 만족하면 부분공간 W를 T 불변 부분공간이라고 한다. Let T be a linear operator on a vector space V. A subspace W..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 대각화 1에서는 대각화 가능성이 되기 위한 조건에 대해서 알아보았습니다. 만약, n 차원의 벡터공간 상에서 정의된 선형변환 T의 서로 다른 고유값이 n개라면 선형변환 T는 대각화 가능하죠. 그렇다면 선형변환 T의 고유값 중 몇 개가 중복되는 경우에는 항상 대각화가 불가능할까요? 그렇지 않습니다. 오늘은 중복되는 고유값을 가지는 경우에 대각화 가능성에 대해서 설명해보도록 하겠습니다. 정의1. 중복도 (Algebraic Multiplicity) λ가 선형변환 또는 행렬의 고유값, 그리고 f(t)는 특성 다항방정식이라고 하자. λ의 중복도는 f(t)의 인수 중 (t−λ)k를 만족하는 인수 중 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 고유값과 고유벡터 2에서는 선형변환의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 개념을 활용하여 행렬에 대각화를 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정리1 T를 벡터공간 V에서의 선형변환 그리고 λ1,…,λk를 T의 서로 다른 고유값이라고 하자. 만약, v1,…,vk가 각각 λ1,…,λk에 대응되는 T의 고유벡터라고 하면 {v1,…,vk}는 선형독립이다. 증명 정리1은 저희가 고유값을 결정하고 그에 대응되는 고유벡터를 구하기만 하면 고유벡터들의 집합은 무조건..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 고유값과 고유벡터 1에 이어서 설명을 계속해보도록 하겠습니다. 오늘은 주로 고유값 및 고유벡터의 존재성과 성질에 대해서 알아보도록 하죠. 정리1 행렬 A∈Mn×n(F)가 주어졌을 때 다음이 성립한다. (a). 행렬 A의 특성방정식의 가장 높은 차수의 계수는 (−1)n이다. (b). 행렬 A는 최대 n개의 고유값을 가진다. 설명 정리1은 간단하게 생각해보면 당연한 이야기를 하고 있습니다. (a)의 경우에는 저희가 어떤 행렬의 행렬식을 계산할 때 여인수 전개를 적용하기 때문에 얻을 수 있습니다. (b)의 경우에는 일반적으로 n×n 행렬의 특성방정식은 항상 n차 방정식이죠. 하지만, ..
