선형대수학 - 그람-슈미트 과정

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 직교 기저에서는 정규직교 기저의 정의와 그 중요성에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 비직교 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있는 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)을 소개시켜드리겠습니다. 이를 통해, 임의의 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있기 때문에 임의의 유한차원의 내적공간은 정규직교 기저를 가짐이 자동으로 증명됩니다. 

 

가장 간단한 경우로 2개의 벡터를 가지는 유한차원의 내적공간 $V$의 선형독립 부분집합 $\{ w_{1}, w_{2} \}$를 생각해보도록 하겠습니다. 저희는 목표는 이 부분집합 $\{ w_{1}, w_{2} \}$로부터 동일한 내적공간 $V$을 생성하는 직교집합 (orthogonal set)을 만드는 것 입니다. 이해를 돕기 위해 아래의 그림을 참고해주시길 바랍니다. 

 

 

위 그림과 같이 두 개의 벡터 $w_{1}$과 $w_{2}$가 주어졌다고 가정하겠습니다. 두 벡터를 이용해서 직교하는 두 벡터 $v_{1}$와 $v_{2}$를 만들기 위해 가장 먼저 할 일은 $v_{1} = w_{1}$라고 두도록 하겠습니다. 그러면 남은 것은 $v_{2}$를 정해야합니다. $v_{2}$의 조건은 두 가지 입니다. 1). $v_{1}$와 수직관계 (orthogonal) 2). $\text{span} \{ v_{1}, v_{2} \} = V$를 만족해야하죠. 그렇다면 1)번 조건을 만족하는 벡터는 당연히 $w_{2}$를 $w_{1}$ 상에 사영 (projection) 시켰을 때 얻을 수 있습니다. 이를 그림으로 그려보면 다음과 같죠. 

 

즉, $v_{2}$을 찾기 위해서는 $w_{2} = v_{2} + cw_{1}$을 만족하는 상수 $c$를 찾아야한다는 것을 의미하죠!! 따라서, $v_{1}$과 $v_{2}$의 수직관계에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} 0 &= \langle v_{2}, w_{1} \rangle \\ &= \langle w_{2} - cw_{1}, w_{1} \rangle \\ &= \langle w_{2}, w_{1} \rangle - c \langle w_{1}, w_{1} \rangle \end{align*}$$

 

이 식을 정리하면 저희는 상수 $c$를 다음과 같이 얻을 수 있습니다. 

 

$$c = \frac{\langle w_{2}, w_{1} \rangle}{\lVert w_{1} \rVert^{2}}$$

 

이를 대입하면 벡터 $v_{2}$를 구할 수 있죠. 

 

$$v_{2} = w_{2} - \frac{\langle w_{2}, w_{1} \rangle}{\lVert w_{1} \rVert^{2}} w_{1}$$

 

이렇게 하면 내적공간 $V$에서 수직관계를 가지는 부분집합을 새로 만들어냈습니다. 하지만, 한 가지 남은 것이 있죠. $\text{span} \{ w_{1}, w_{2} \} = \text{span} \{ v_{1}, v_{2} \}$임을 마지막으로 증명해야합니다. 이는 일반적인 상황에서 증명하도록 하죠. 일단, 여기서는 기본적인 그람-슈미트 과정의 아이디어를 이해하시면 됩니다. 

 

 정리1. 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)

$V$를 내적공간 그리고 $S = \{ w_{1}, \dots, w_{n} \}$을 내적공간 $V$에서 선형독립인 부분집합이라고 하자. 여기서, $v_{1} = w_{1}$ 그리고 $2 \le k \le n$에 대해 남은 $v_{k}$를 다음과 같이 정의한다. 

 

$$v_{k} = w_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{\langle w_{k}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j}$$

 

위 과정을 통해 만든 내적공간 $V$의 새로운 부분집합 $S^{'} = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$은 $\text{span} (S) = \text{span} (S^{'})$를 만족하는 영벡터가 아닌 벡터들로 이루어진 정규직교집합이다.  

 

설명

증명의 핵심은 수학적 귀납법 (mathematical induction)을 부분집합 $S$의 벡터의 개수 $n$에 대해 적용하는 것입니다. 또한, 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1도 함께 활용하니 숙지하시길 바랍니다. 

 

Proof)

부분집합 $S$의 벡터의 개수 $n$에 대해 수학적 귀납법을 적용한다. 먼저 $k = 1, \dots, n$에 대해 $S_{k} = \{ w_{1}, \dots, w_{k} \}$라고 두자. 

 

1). $n = 1$이라고 가정하자. 즉, 벡터의 개수가 1개이므로 $S_{1} = \{ w_{1} \}$이고 새로운 부분집합 $S^{'}_{1}$의 정의에 의해 $v_{1} = w_{1}$이므로 $S^{'} = \{ v_{1} \} = \{ w_{1} \} = S_{1}$이다. 따라서, 자명하게 식이 성립한다. 

 

2). 부분집합 $S^{'}_{k - 1} = \{ v_{1}, \dots, v_{k - 1} \}$을 정리1에서 명시된 대로 만들었을 때 정리1이 성립한다고 가정하자. 

 

3). 우리는 부분집합 $S^{'}_{k} = \{ v_{1}, \dots, v_{k - 1}, v_{k} \}$ 역시 정리1에서 명시된 대로 만들었을 때 정리1이 성립함을 증명해야한다. 이때, $v_{k}$는 부분집합 $S^{'}_{k - 1}$으로부터 만들어졌음을 상기하자. 

 

만약, $v_{k} = 0$이라면 $w_{k}$은 $S^{'}_{k - 1}$ 내의 벡터들의 선형결합으로 표현되기 때문에 $w_{k} \in \text{span} ( S^{'}_{k - 1} ) = \text{span} ( S_{k - 1} )$이 성립한다. 이는 정리1의 가정 ($S_{k}$는 선형독립)에 위배되므로 모순이다. 따라서, 앞으로 $v_{k} \neq 0$이라고 가정한다. 

 

부분집합 $S^{'}_{k}$이 직교집합임을 이용하여 임의의 $1 \le i \le k - 1$에 대해서 $\langle v_{k}, v_{i} \rangle = 0$을 만족한다는 것을 알 수 있다. 이제, 정리1에서 정의한 $v_{k}$와 내적의 성질을 이용해서 식을 다음과 같이 정리한다. 

 

$$\begin{align*} \langle v_{k}, v_{i} \rangle &= \langle w_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{\langle w_{k}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j}, v_{i} \rangle \\ &= \langle w_{k}, v_{i} \rangle - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{\langle w_{k}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} \langle v_{j}, v_{i} \rangle \\ &= \langle w_{k}, v_{i} \rangle - \frac{\langle w_{k}, v_{i}  \rangle}{\lVert v_{i} \rVert^{2}} \lVert v_{i} \rVert^{2} = 0 \end{align*}$$

 

위 수식전개 과정에서 부분집합 $S^{'}_{k}$이 직교집합이므로 $i \neq j$일 때 $\langle v_{j}, v_{i} \rangle = 0$를 이용하면 된다. 따라서, $S^{'}_{k}$는 영벡터가 아닌 벡터로 이루어진 직교집합임이 증명되었다. 

 

이때, 생성집합의 정의에 의해 $\text{span} (S^{'}_{k}) \subset \text{span} (S_{k})$은 자명하다. 반대 포함관계를 증명하기 위해 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1를 적용하면 $S^{'}_{k}$가 직교집합이므로 선형독립 집합이다. 따라서, $\text{dim} (S^{'}_{k}) = \text{dim} (S_{k}) = k$이다. 이는 선형대수학 - 기저와 차원의 정리4에 의해 $\text{span} (S^{'}_{k}) = \text{span} (S_{k})$이므로 정리1이 증명된다. 

 

쉽게 이야기하면 그람-슈미트 과정은 비직교집합이 주어졌을 때 직교집합으로 만들 수 있는 과정으로 이 과정은 기본적으로 재귀적 (recursive)으로 이루어집니다.    

 

이번에는 예시를 통해 그람-슈미트 과정을 이해해보도록 하겠습니다. 

 

1). $\mathbb{R}^{4}$에서 정의된 3개의 벡터 $w_{1} = (1, 0, 1, 0), w_{2} = (1, 1, 1, 1), w_{3} = (0, 1, 2, 1)$이 주어졌을 때 $\{ w_{1}, w_{2}, w_{3} \}$는 선형독립이다. 우리는 그람-슈미트 과정을 적용하여 직교집합 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$를 만들 수 있다. 

 

STEP1. $v_{1} = w_{1}$

 

그람-슈미트 과정에 따라 제일 먼저 $v_{1} = w_{1} = (1, 0, 1, 0)$으로 정의한다. 

 

STEP2. $v_{k} = w_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{\langle w_{k}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j}$

 

두번째 벡터부터는 재귀적으로 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} v_{2} &= w_{2} - \sum_{j = 1}^{1} \frac{\langle w_{2}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= w_{2} - \frac{\langle w_{2}, v_{1} \rangle}{\lVert v_{1}  \rVert^{2}} v_{1} \\ &= (1, 1, 1, 1) - \frac{\langle (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0) \rangle}{\lVert (1, 0, 1, 0) \rVert^{2}} (1, 0, 1, 0) \\ &= (1, 1, 1, 1) - \frac{2}{2} (1, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 1) \end{align*}$$

 

다음으로 세번째 벡터 $v_{3}$를 동일한 과정을 적용하여 구한다. 

 

$$\begin{align*} v_{3} &= w_{3} - \sum_{j = 1}^{2} \frac{\langle w_{3}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= w_{3} - \frac{\langle w_{3}, v_{1} \rangle}{\lVert v_{1}  \rVert^{2}} v_{1} - \frac{\langle w_{3}, v_{2} \rangle}{\lVert v_{2} \rVert^{2}} v_{2} \\ &= (0, 1, 2, 1) - \frac{\langle (0, 1, 2, 1), (1, 0, 1, 0) \rangle}{\lVert (1, 0, 1, 0) \rVert^{2}} (1, 0, 1, 0) - \frac{\langle (0, 1, 2, 1), (0, 1, 0, 1) \rangle}{\lVert (0, 1, 0, 1) \rVert^{2}} (0, 1, 0, 1) \\ &= (0, 1, 2, 1) - \frac{2}{2} (1, 0, 1, 0) - \frac{2}{2} (0, 1, 0, 1) = (-1, 0, 1, 0) \end{align*}$$

 

실제로 3개의 벡터 $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ 사이의 내적으로 계산하면 0이므로 집합 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$는 직교집합이다. 마지막으로 정규직교집합 $\{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}$을 만들기 위해 집합 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$를 정규화한다. 

 

$$\begin{align*} u_{1} &= \frac{v_{1}}{\lVert v_{1} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1, 0) \\ u_{2} &= \frac{v_{2}}{\lVert v_{2} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{2}} (0, 1, 0, 1) \\ u_{3} &= \frac{v_{3}}{\lVert v_{3} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1, 0, 1, 0) \end{align*}$$

 

이는 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1에 의해 정규직교집합 $\{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}$가 선형독립집합임도 얻을 수 있다. 

 

2). 내적공간 $V = P(\mathbb{R})$을 고려하자. 이때, 내적은 임의의 두 다항식 $f$와 $g$에 대해 다음과 같이 정의된다. 

 

$$\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(t) g(t) \; dt $$

 

그리고 내적공간 $V$의 부분공간 $P_{2}(\mathbb{R})$의 표준 순서기저 $\beta = \{ 1, x, x^{2} \}$를 고려했을 때 $P_{2}(\mathbb{R})$의 직교순서기저 $\gamma = \{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$를 그람-슈미트 과정을 통해 구해보자. 

 

STEP1. $v_{1} = w_{1}$

 

그람-슈미트 과정에 따라 제일 먼저 $v_{1} = 1$으로 정의한다. 

 

STEP2. $v_{k} = w_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{\langle w_{k}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j}$

 

두번째 벡터부터는 재귀적으로 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} v_{2} &= x - \sum_{j = 1}^{1} \frac{\langle x, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= x - \frac{\langle x, v_{1} \rangle}{\lVert v_{1}  \rVert^{2}} v_{1} \\ &= x - \frac{\langle x, 1 \rangle}{\lVert 1 \rVert^{2}} \cdot 1 \end{align*}$$

 

내적공간 $V$에서 정의된 내적의 정의에 따라 다음과 같이 구한다. 

 

$$\langle x, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} t \cdot 1 \; dt = \int_{-1}^{1} t \; dt = \left[ \frac{1}{2} t^{2} \right]_{-1}^{1} = 0$$

$$\lVert 1 \rVert = \int_{-1}^{1} 1 \cdot 1 \; dt = \int_{-1}^{1} 1 \; dt = \left[ t \right]_{-1}^{1} = 2$$

 

따라서, $v_{2}$는 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} v_{2} &= x - \sum_{j = 1}^{1} \frac{\langle x, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= x - \frac{\langle x, 1 \rangle}{\lVert 1 \rVert^{2}} \cdot 1 \\ &= x - \frac{0}{2} \cdot 1 = x \end{align*}$$

 

다음으로 세번째 벡터 $v_{3}$를 동일한 과정을 적용하여 구한다.

 

$$\begin{align*} v_{3} &= x^{2} - \sum_{j = 1}^{2} \frac{\langle x^{2}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= x^{2} - \frac{\langle x^{2}, v_{1} \rangle}{\lVert v_{1}  \rVert^{2}} v_{1} - \frac{\langle x^{2}, v_{2} \rangle}{\lVert v_{2} \rVert^{2}} v_{2} \\ &= x^{2} - \frac{\langle x^{2}, 1 \rangle}{\lVert 1 \rVert^{2}} \cdot 1 - \frac{\langle x^{2}, x \rangle}{\lVert x \rVert^{2}} \cdot x \end{align*}$$

 

내적공간 $V$에서 정의된 내적의 정의에 따라 다음과 같이 구한다.

 

$$\langle x^{2}, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} t^{2} \cdot 1 \; dt = \int_{-1}^{1} t^{2} \; dt = \left[ \frac{1}{3} t^{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{2}{3}$$

$$\langle x^{2}, x \rangle = \int_{-1}^{1} t^{2} \cdot t \; dt = \int_{-1}^{1} t^{3} \; dt = \left[ \frac{1}{4} t^{4} \right]_{-1}^{1} = 0$$

$$\lVert x \rVert = \int_{-1}^{1} t \cdot t \; dt = \int_{-1}^{1} t^{2} \; dt = \left[ \frac{1}{3}t^{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{2}{3}$$

 

따라서, $v_{3}$는 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} v_{3} &= x^{2} - \sum_{j = 1}^{2} \frac{\langle x^{2}, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} v_{j} \\ &= x^{2} - \frac{\langle x^{2}, 1 \rangle}{\lVert 1 \rVert^{2}} \cdot 1 - \frac{\langle x^{2}, x \rangle}{\lVert x \rVert^{2}} \cdot x \\ &= x^{2} - \frac{\frac{2}{3}}{2} \cdot 1 - \frac{0}{\frac{2}{3}} \cdot x = x^{2} - \frac{1}{3} \end{align*}$$

 

실제로 3개의 벡터 $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ 사이의 내적으로 계산하면 0이므로 집합 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$는 직교집합이다. 마지막으로 정규직교집합 $\{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}$을 만들기 위해 집합 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$를 정규화한다. 

 

$$\begin{align*} u_{1} &= \frac{v_{1}}{\lVert v_{1} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1} 1 \; dt}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ u_{2} &= \frac{v_{2}}{\lVert v_{2} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1} t^{2} \; dt}} \cdot x = \sqrt{\frac{3}{2}}x \\ u_{3} &= \frac{v_{3}}{\lVert v_{3} \rVert} = \frac{1}{\sqrt{\int_{-1}^{1} (t^{2} - \frac{1}{3})^{2} \; dt }} \cdot (x^{2} - \frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{5}{8}} (3x^{2} - 1) \end{align*}$$

 

이는 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1에 의해 정규직교집합 $\gamma = \{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}$가 선형독립집합임도 얻을 수 있다. 또한 정리1에 의해 $\text{span}(\gamma) = \text{span}(\beta) = P_{2}(\mathbb{R})$이므로 $\gamma$는 $P_{2}(\mathbb{R})$의 정규직교 순서기저임을 알 수 있다. 

 

저희는 위의 예시들과 같이 유한차원을 가지는 내적공간에서 그람-슈미트 과정을 적용해보았습니다. 하지만, 무한차원을 가지는 내적공간에도 적용해볼 수 있습니다. 가장 대표적인 예시로 다항내적공간 $V = P(\mathbb{R})$입니다. $V$의 표준 순서기저 $\{ 1, x, x^{2}, \dots \}$에 대해서 각 벡터에 대해서 그람-슈미트 과정을 적용하는 것이죠. 그러면 어떤 다항식으로 이루어진 정규직교 순서기저를 얻을 수 있을 겁니다. 이를 르장드르 다항식 (Legendre Polynomials)이라고 부르죠. 이때, 위 예시에서 $P_{2}(\mathbb{R})$에서 구했던 3개의 정규직교 순서기저 $\gamma$의 3개의 벡터가 바로 처음 3개의 르장드르 다항식입니다.

 

드디어 정규직교 기저의 존재성에 대해 이야기할 수 있을 거 같습니다.

 

 정리2

$V$를 0이 아닌 유한차원을 가지는 내적공간이라고 하자. 그러면 내적공간 $V$는 정규직교 기저 $\beta$를 가진다. 또한, $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$이고 $x \in V$라면 $x = \sum_{i = 1}^{n} \langle x, v_{i} \rangle v_{i}$이다. 

 

설명

정리2는 저희가 원하던 결과를 알려주고 있습니다. 조건은 0이 아닌 유한차원 + 내적공간이기만 하면 됩니다. 그러면 모든 벡터공간은 정규직교 기저를 가지게 될 뿐만 아니라 벡터공간 $V$에 존재하는 임의의 벡터들이 정규직교 기저의 선형결합으로 표현할 수 있으며 각 계수들은 따로 구할 필요없이 각 벡터와 정규직교 기저 사이의 내적으로 정의가 되버립니다. 단순하지만 강력한 정리이기 때문에 꼭 알아두셨으면 좋겠네요. 

 

증명의 핵심은 정리1 (그람-슈미트 과정)과 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1을 통해 기저의 조건인 생성성과 선형독립성을 보이는 것입니다. 증명 자체는 별로 어렵지 않으므로 쉽게 이해하실 수 있습니다. 

 

Proof)

먼저 $\beta_{0}$를 내적공간 $V$의 순서기저라고 하자. 우리는 정리1 (그람-슈미트 과정)을 통해 $\text{span} (\beta^{'}) = \text{span} (\beta_{0}) = V$를 만족하는 영벡터가 아닌 벡터들로 이루어진 직교집합 $\beta^{'}$을 구할 수 있다. 이제, $\beta^{'}$의 각 벡터들을 정규화하여 $\text{span} (\beta) = V$를 만족하는 정규직교 집합 $\beta$를 얻을 수 있다 (생성집합). 

 

또한, 선형대수학 - 직교 기저의 따름정리1-1에 의해 $\beta$는 직교집합이므로 $\beta$는 선형독립집합이다 (선형독립성).

 

$\beta$가 내적공간 $V$의 생성집합이면서 선형독립집합이므로 $V$의 기저이다.

 

간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. 2차 다향식 $f(x) = 1 +2x + 3x^{2}$을 정리2를 이용해 저희가 찾았던 $P_{2}(\mathbb{R})$ 상에서의 정규직교 기저 $\gamma = \{ u_{1}, u_{2}, u_{3} \}$의 선형결합으로 표현해보도록 하겠습니다. 이때, 내적은 위 예시에서 보았던 것과 동일하게 정의하도록 하겠습니다. 자세한 계산과정 (적분)은 생략하도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \langle f(x), u_{1} \rangle &= \int_{-1}^{1} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \; dx = 2\sqrt{2} \\ \langle f(x), u_{2} \rangle &= \int_{-1}^{1} f(x) \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}x \; dx = \frac{2\sqrt{6}}{3} \\ \langle f(x), u_{3} \rangle &= \int_{-1}^{1} f(x) \cdot \sqrt{\frac{5}{8}}(3x^{2} - 1) \; dx = \frac{2\sqrt{10}}{5} \end{align*}$$

 

따라서 정리2에 의해 $f(x) = 2\sqrt{2} u_{1} + \frac{2\sqrt{6}}{3} u_{2} + \frac{2\sqrt{10}}{5} u_{3}$로 표현할 수 있습니다. 

 

 따름정리2-1

$V$를 정규직교 기저 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$을 가지는 유한차원의 내적공간이라고 하자. 또한 $T$를 내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자 그리고 $A = [T]_{\beta}$라고 두자, 그러면 임의의 $i$와 $j$에 대해 $A_{ij} = \langle T(v_{j}), v_{i} \rangle$이다. 

 

Proof)

정리2에 의해 $T(v_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \langle T(v_{j}), v_{i} \rangle v_{i}$이다. 이는 선형변환의 행렬표현의 정의에 의해 $A_{ij} = \langle T(v_{j}, v_{i}) \rangle$임을 알 수 있다. 

 

오늘은 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)와 예시를 통해 적용해보았습니다. 또한, 0이 아닌 유한차원을 가지는 임의의 내적공간은 정규직교 기저를 가진다는 것까지 알게 되었습니다. 다음 궁금증은 내적공간의 모든 벡터들에 대해 수직관계를 가지는 벡터들을 하나로 모아 벡터공간으로 만들었을 때 얻을 수 있는 성질입니다. 다음 포스팅에서는 이러한 벡터공간을 정의하고 성질을 분석하는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)