선형대수학 - 직교 기저

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 노름과 직교성에서는 벡터의 크기를 의미하는 노름과 벡터 사이의 관계 또는 벡터공간의 성질을 의미하는 직교성에 대해 이야기하였습니다. 오늘은 선형대수 전반에 걸쳐 끊임없이 나오는 주제 중 하나인 정규직교 기저 (orthonormal basis)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 정규직교 기저 (orthonormal basis)

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 내적 공간이라고 하자. 만약 $V$의 순서 기저 $\beta$가 정규직교라면 $\beta$는 내적공간 $V$의 정규직교 기저 (orthonormal basis)라고 한다. 

 

Let $V$ be an inner product space over a field $\mathbf{F}$. A subset of $V$ is an orthonormal basis for $V$ if it is an ordered basis that is orthonormal.

 

설명

지금까지 저희는 벡터공간 $V$의 기저를 단순히 선형독립성 (linear independence)과 생성 (span)만을 고려하였습니다. 여기서 정규직교 기저는 1가지 조건만 더 추가한 것으로 선형독립성 + 생성 + 정규직교성을 만족하는 벡터공간 $V$의 부분집합을 의미합니다. 다만, 정규직교성을 정의하기 위해서는 내적을 정의해야하기 때문에 벡터공간에서 내적공간으로 옮겨서 생각해야합니다. 

 

여기서, 저희는 가장 대표적인 정규직교 기저를 생각해볼 수 있습니다. $n$차원 실수공간 $\mathbb{R}^{n}$의 표준 순서기저가 무엇인지 기억하시나요? 저희는 $\beta = \{e_{1}, \dots, e_{n}\}$으로 두고 $e_{i}$는 $i$번째 인덱스에 해당하는 값만 1이고 나머지 성분은 전부 0인 벡터를 고려하였습니다. 기본적으로 $\beta$는 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이기 때문에 선형독립성 + 생성은 만족합니다. 다만, 정규직교성은 어떨까요? 선형대수학 - 노름과 직교성의 정의2에 따르면 정규직교를 만족하기 위해서는 각 벡터의 노름이 전부 1이고 벡터 간 내적이 0이여야합니다. 일단, 첫번째로 각 벡터들의 크기는 전부 1이기 때문에 정규벡터이기는 하네요. 다음으로 각 벡터 간 내적 역시 $\beta$의 정의에 따라서 $i$번째 인덱스를 제외하고는 전부 0이기 때문에 $i \neq j$일 때 $\langle e_{i}, e_{j} \rangle = 0$입니다. 따라서, $\beta$는 정규직교 기저가 됩니다. 

 

다른 예시로 $\mathbb{R}^{2}$의 순서기저 중 하나인 $\beta = \{ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \}$를 생각해보겠습니다. $\beta$가 $\mathbb{R}^{2}$의 기저임은 쉽게 증명할 수 있기 때문에 생략하고 정규직교성만 확인해보도록 하겠습니다. 

 

1). 각 벡터의 노름 확인

 

$$\begin{align*} &\lVert \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \rVert = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 \\ & \lVert \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \rVert = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1 \end{align*}$$

 

따라서, $\beta$는 정규벡터들로 이루어져있습니다. 

 

2). 벡터 간 내적 확인

 

$$\begin{align*} \langle \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \rangle = \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0 \end{align*}$$

 

이렇게 정규직교 기저의 예시 두가지를 확인해보았습니다. 그렇다면 왜 정규직교가 중요할까요? 다음 정리를 보도록 하겠습니다. 

 

 정리1

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 내적공간 그리고 $S = \{ v_{1}, \dots, v_{k} \}$를 0이 아닌 벡터로 구성된 내적공간 $V$의 직교부분집합이라고 하겠습니다. 그러면 $y \in \text{span} \left( S \right)$이면 $y = \sum_{i = 1}^{k} \frac{\langle y, v_{i} \rangle}{\lVert v_{i} \rVert^{2}} v_{i}$이다. 

 

설명

정리1을 증명한 뒤 이 정리가 가지는 의의를 살펴보도록 하겠습니다. 증명의 핵심은 span과 내적의 정의임을 명시하시길 바랍니다. 

 

Proof)

$y \in \text{span} \left( S \right)$이기 때문에 span의 정의에 의해 스칼라 $a_{i} \in \mathbf{F}$에 대해 $y = \sum_{i = 1}^{k} a_{i}v_{i}$를 만족한다. 이때, $1 \le j \le k$에 대해서 벡터 $v_{j}$와 $y$ 사이의 내적은 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \langle y, v_{j} \rangle &= \langle \sum_{i = 1}^{k} a_{i}v_{i}, v_{j} \rangle \\ &= \sum_{i = 1}^{k} a_{i} \langle v_{i}, v_{j} \rangle \\ &= a_{j} \langle v_{j}, v_{j} \rangle = a_{j} \lVert v_{j} \rVert^{2} \end{align*}$$

 

위 수식 전개에서 집합 $S$가 직교집합임을 상기하면 된다. 따라서, $a_{j} = \frac{\langle y, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}}$를 만족한다. 

 

정리1의 조건을 보시면 저희가 내적공간 $V$에서 직교부분집합을 선택하게 됩니다. 그러면, 집합 $S$의 생성집합의 벡터들은 모두 이미 결정된 계수 $a_{i} = \frac{\langle y, v_{i} \rangle}{\lVert v_{i} \rVert}$를 이용해서 선형결합으로 표현할 수 있다는 것을 의미합니다. 여기에 만약 $S$가 정규직교부분집합이라고 가정하면 $\lVert v_{i} \rVert = 1$이기 때문에 $a_{i} = \langle y, v_{i} \rangle$로 훨씬 간단하게 표현할 수 있습니다. 그런데 저희가 여기서 내적공간 $V$의 정규직교 기저 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{k} \}$를 고려하면 기본적으로 기저의 정의에 의해 $\text{span} \left( \beta \right) = V$를 만족하기 때문에 정리1로부터 내적공간 $V$의 모든 원소들은 아래와 같이 표현할 수 있음이 증명됩니다. 

 

$$x = \sum_{i = 1}^{k} \langle x, v_{i} \rangle v_{i}$$

 

 따름정리1-1

$V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 내적공간 그리고 $S$를 0이 아닌 벡터로 구성된 내적공간 $V$의 직교부분집합이라고 하자. 그러면 $S$는 선형독립이다. 

 

Proof)

$v_{1}, \dots, v_{k} \in S$라고 가정하자. 그리고 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i}v_{i} = 0$이라고도 가정하자. 이는 정리1에 의해 $y = 0$인 경우와 동일하므로 모든 $j$에 대해서 $a_{j} = \frac{\langle 0, v_{j} \rangle}{\lVert v_{j} \rVert^{2}} = 0$을 만족한다. 따라서, $S$는 선형독립이다. 

 

심지어 따름정리1-1에 의해 내적공간 $V$에서 직교부분집합만 잘 선택하면 선형독립인 것까지 보장됩니다. 이와 같이 직교성은 생각보다 강력한 가정으로 다양한 후속 정리들을 얻을 수 있습니다. 

 

이번에 실제 예시를 통해 정리1을 적용해보도록 하겠습니다. 내적공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 0이 아닌 벡터로 이루어진 직기저합기저 $\{ (1, 1, 0), (1, -1, 1), (-1, 1, 2) \}$를 생각해보겠습니다. 하지만, 이 집합은 정규집합이 아니기 때문에 다음과 같이 정규화된 정규직교기저을 얻을 수 있습니다. 

 

$$\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{3}} (1, -1, 1), \frac{1}{\sqrt{6}} (-1, 1, 2) \}$$

 

정규직교기저이기 때문에 저희는 임의의 벡터 $x \in \mathbb{R}^{3}$를 정리1을 이용해서 표현할 수 있습니다. $x = (2, 1, 3)$이라고 하면 정규직교기저 $\{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}$를 이용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} a_{1} &= \langle x, v_{1} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (2 + 1 + 0) = \frac{3}{\sqrt{2}} \\ a_{2} &= \langle x, v_{2} \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (2 - 1 + 3) = \frac{4}{\sqrt{3}} \\ a_{3} &= \langle x, v_{3} \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}} (-2 + 1 + 6) = \frac{5}{\sqrt{6}} \end{align*}$$

 

실제로 3개의 계수 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$와 정규직교기저 $v_{1}, v_{2}, v_{3}$의 선형결합을 통해 아래와 같이 벡터 $x$를 얻을 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} (2, 1, 3) &= a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + a_{3} v_{3} \\ &= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0) + \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} (1, -1, 1) + \frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} (-1, 1, 2) \end{align*}$$

 

지금까지 저희는 정규직교 기저의 정의와 함께 그 중요성에 대해서 알아보았습니다. 이제 저희가 확인해봐야할 것은 "존재성"입니다. 과연, 유한 차원 내적공간 $V$는 항상 정규직교 기저를 가지고 있을까요? 만약, 존재한다면 어떻게 찾을 수 있을까요? 다음 포스팅에서는 유한 차원 내적공간의 직교가 아닌 기저를 통해 정규직교 기저로 만들 수 있는 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)에 대해서 소개하고 예시로 적용해보도록 하겠습니다.

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)