안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 차집합과 집합론의 규칙에서는 차집합의 정의와 분배법칙, 그리고 드모르간의 법칙을 증명해보았습니다. 지금까지 저희가 보았던 집합 연산 (합집합, 교집합, 차집합)에서는 2개의 집합 사이의 연산이였습니다. 하지만 오늘은 $n$개의 집합 사이의 연산들로 확장해보도록 하겠습니다. 일단, 시작하기 전에 집합의 모임(Collections of Sets)에 대한 이야기를 해보도록 하죠. 종종 저희는 집합에 대한 이야기를 할 때 집합 그 자체를 포함시키는 집합이 존재하는 지에 대한 의문을 품고는 합니다. 이와 같이 집합 $A$를 포함하는 새로운 집합 $\mathcal{A}$가 있다고 할 때 저희는 이 집합을 모임이라고 합니다. 집합의 모임이라고 하더라도 다양하게 정의할 수 있겠죠...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표에서의 이중적분에서는 극좌표에서 이중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 기존의 이중적분과 동일하게 적분하려는 영역을 아주 작게 등분하는 것으로 시작하였습니다. 다만, 직교좌표계에서는 $x$축과 $y$-축을 기준으로 등분했지만, 극좌표계에서는 $r$과 $\thea$를 기준으로 등분하였습니다. 이때, $r = \sqrt{x^{2}+ y^{2}}$이고 $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$로 정의가 되었습니다. 오늘은 이어서 3개의 변수를 가진 함수 $w = f(x, y, z)$가 있을 때 적분하는 방법인 삼중적분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 삼중적분의 기본적인 원리는 이중적분과 동일합니다. 이중적분에..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일반적인 영역에 대한 이중적분 정의에서는 직사각형 영역이 아닌 임의의 모양을 가진 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 임의의 모양을 덮는 직사각형 영역에서 적분을 하는 것이였습니다. 오늘은 다시 좌표계를 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸어서 이중적분을 해보도록 하겠습니다. 이를 위해서는 극좌표계부터 알아야겠죠? 미적분학 - 극좌표계에서는 직교좌표에서 극좌표계로 또는 극좌표계에서 직교좌표계로 변환하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 정리하면 아래와 같죠. 직교좌표계 $\rightarrow$ 극좌표계 : $(r, \theta) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, \arctan(\frac{y}{x}))$ 극좌표계 $\righta..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 대우, 역, 그리고 부정에서는 명제의 대우, 역 그리고 부정을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 이때, 명제의 참/거짓을 증명하기 어려울 때 사용하는 방법이 대우명제를 통한 간접증명임도 설명하였습니다. 오늘은 차집합과 집합론과 관련된 몇 가지 규칙들을 설명드리도록 하겠습니다. 정의1. 차집합(Difference of two sets) 임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 차집합은 $A - B = \{x | x \in A \text{ and } x \notin B\}$이다. 설명 지금까지 저희는 두 개의 집합에 대한 3가지 연산(합집합, 교집합, 차집합)에 대해서 알아보았습니다. 그리고 각 연산 결과를 벤다이어그램으로 그려보면 위와 같은 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 반복적분에서는 실질적으로 다변수 함수의 적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 직사각형 영역에 대한 이중적분을 해보았습니다. 오늘은 영역을 직사각형에 국한하지 않고 보다 일반적인 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저희의 목표는 위의 왼쪽 그림과 같은 임의의 모양을 가진 영역 $D$ 상에서 이중적분을 하는 것이 목표입니다. 하지만, 기본적으로 저희는 현재 직사각형 영역에 대한 이중적분밖에 하지 못하기 때문에 이를 활용해야합니다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 영역 $D$를 둘러싸는 새로운 직사각형 영역 $R$을 생각해보겠습니다. 그리고 기존의 함수를 $f$라고 했을 때 영역 $D$에서는 값을 그대로 같지만 영역 $D$ ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 교집합, 공집합, "If ... Then"의 의미에서는 교집합의 정의를 시작으로 이로인해 발생되는 모순을 해결하기 위한 공집합의 도입을 순서대로 보았습니다. 하지만, 공집합을 도입하더라도 없어지지 않는 모순을 제거하는 공허참(Vacuously True)에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로 공허참이란 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 가정 $P$가 거짓이면 결론의 참/거짓에 관계없이 전체명제를 참으로 하자라는 것 입니다. 오늘은 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 새로운 명제를 만드는 대우(contraposition), 역(converse), 그리고 부정(Negation)에 대해서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - "or" 의 의미에서는 영어 단어 "or"이 가지는 모호성으로 인해 발생하는 문제가 수학에서도 발생하지 않도록 하기 위해 "or"의 의미를 명확하게 정의하였습니다. 정리하면 임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $P \text{ or } Q$라는 것은 명제 $P$이거나 명제 $Q$이거나 $P$와 $Q$를 모두(both) 만족하는 것입니다. 그리고 두 집합 $A$와 $B$의 합집합 $A \cup B$의 정의에 대해서도 알아보았습니다. 오늘도 집합론을 본격적으로 공부하기에 앞서 간단한 몇 가지 정의들(교집합, 공집합)을 알아보고 가정-결론으로 구성되는 "If ... Then" 구조문의 의미를 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 교집합(intersection) 임의의 두 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 이중적분에서는 다변수 함수에서 다중적분이 정의되는 원리에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로는 기존의 단변수 함수에서의 적분과 큰 차이는 없이 동일하게 구간을 등구간으로 자르는 것으로 시작하는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 이중적분을 실질적으로 어떻게 계산하는 지에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 함수 $f$가 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 적분가능하다고 하겠습니다. 저희가 미적분학 - 편미분에서 보았듯이 특정 변수에 대해서 미분을 할 수 있습니다. 이와 유사하게 특정 변수에 대한 적분 역시 가능하죠. 저희는 이를 편적분(partia..
