안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 접평면과 선형근사에서는 일변수 함수의 선형근사의 개념을 다변수 함수로 확장하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 미분가능성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 미분가능성(Differentiability) 함수 $z = f(x, y)$가 있다고 했을 때 $\Delta z = f_{x}(a, b)\Delta x + f_{y}(a, b)\Delta y + \epsilon_{1} \Delta x + \epsilon_{2} \Delta y$으로 표현된다면 함수 $f$는 점 $(a, b)$에서 미분가능하다. 설명 다변수 함수의 미분가능성에 대해서 설명하기 위해 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. 일단, 함수 $z = f(x, y)$가 연속이라고 가정하..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 편미분에서는 편미분의 정의와 다변수 함수가 연속이라면 변수의 순서를 바꾸어 편미분하여도 동일한 결과를 준다는 클레로 정리(Clairaut's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학 - 선형근사에서도 보았던 개념을 다변수 함수에 그대로 적용해보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 1. 접평면(Tangent plane) 먼저, 접평면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 이와 동일한 개념으로 2차원에서는 접선(Tangent line)이 있습니다. 3차원으로 차원으로 올라가면서 선이 평면으로 바뀐 거 밖에 없으니 쉽게 이해하실 수 있습니다. 일단 곡면 $S$가 $z = f(x, y)$로 표현된다고 가정하겠습니다. 이때, 함수 $f$는 연속인 일계 도함수를 가지..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 극한과 연속에서는 다변수 함수에서의 극한과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해서 단변수 함수와의 차이점과 공통점 역시 꼭 알아두셨으면 좋겠습니다. 오늘은 다변수 함수의 편미분(partial derivative)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 편미분에 대해서 설명하기 위해서 일상생활에서 쓸 수 있는 표를 하나 준비하였습니다. 열 지표(heat index)는 온도(Temperature)와 습도(Humidity)에 큰 영향을 받는다고 알려져 있습니다. 따라서, 정확한 함수는 모르지만 $I = f(T, H)$라고 쓸 수 있겠죠? 이제부터 저희는 위 표의 열 중 진한 노란색 부분을 신경쓰도록 하겠습니다. 해당 열은 습도 $H = 70$임을 의미합..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수에서는 다변수 함수의 정의와 정의역, 치역에 대해서 알아보았습니다. 또한 이와 관련된 그래프(graph)와 등고선(level curve)에 대해서 알아보았습니다. 미적분학 - 함수의 극한과 미적분학 - 연속 함수에서는 단변수 함수의 극한과 연속성에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수에서 극한(limit)과 연속성(continuity)이 어떻게 정의되는 지 알아보도록 하겠습니다. 1. 다변수 함수의 극한 본격적으로 시작하기 전에 두 함수를 보도록 하겠습니다. $$f(x, y) = \frac{\sin(x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}, g(x) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$$ 왼쪽과 오른쪽 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 법선벡터와 종법선벡터에서는 곡선을 통해 얻을 수 있는 두 가지 종류의 벡터(법선벡터 / 종법선벡터)의 정의와 단위 기울기 벡터, 법선벡터, 종법선벡터를 얻을 수 있는 두 가지 종류의 평면(법평면 / 접촉평면)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 단변수 함수 $f(x)$의 형태만 보았지만 오늘부터는 여러 개의 변수를 가지는 다변수 함수(multi-variable function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 다변수 함수(multi-variable function) 다변수 함수는 어떤 집합 $D$에 대해서 실수쌍 $(x, y) \in D$을 고유한 규칙으로 값 $f(x, y)$를 배정하는 규칙이다. 이때, 집합 $D$는 함수 $f$의 정의역(d..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 곡률에서는 곡률을 구하는 방법과 이와 관련된 몇 가지 정리에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이어서 곡선의 법선벡터(normal vector)와 종법선벡터(binormal vector)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 벡터의 미분과 적분에서 보았던 단위 기울기 벡터(unit tangent vector)와 함께 보도록 하겠습니다. 기본적으로 법선벡터는 단위 기울기 벡터와 수직을 이루는 벡터를 의미합니다. 그리고 저희는 단위 기울기 벡터 $\mathbf{T}$와 단위 기울의 벡터의 미분인 $\mathbf{T}^{'}$가 서로 직교(orthogonal)한다는 사실을 알고 있기 때문에 법선벡터 $\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 공간곡선의 길이에서는 벡터함수를 매개변수 방정식으로 생각한 뒤 곡선의 길이를 구하는 공식을 유도해보았습니다. 결과적으로 $a \le t \le b$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$의 곡선의 길이는 $L = \int_{a}^{b} \mathbf{r}^{'}(t) \; dt$입니다. 오늘은 곡률(curvature)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 곡률(curvature) 곡선의 곡률은 $\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$로 정의되고 이때, $\mathbf{T}$는 단위 기울기 벡터이다. 설명 기본적으로 구간 $I$에서 공간곡선 $\mathbf{r}$이 부드럽다(smooth)는 것은 구간 $I..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분에서는 미적분을 벡터함수에서 어떻게 하는 지에 대해서 알아보았습니다. 결과적으로 벡터함수의 각 성분함수들에 대해서 미분과 적분을 해주면 되는 간단한 일이였습니다. 오늘은 이어서 벡터함수로 표현되는 공간곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 한편, 미적분학 - 매개변수와 미적분학 2에서 저희는 매개변수로 표현되는 함수의 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 예를 들어, 어떤 곡선 $C$가 $(x, y)$로 표현될 때, $a \le t \le b$에서 $x = f(t)$이고 $y = g(t)$라고 하면 곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{..
