안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터에서는 벡터의 정의와 벡터합과 차를 계산하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터를 표현하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지난 포스팅에서 벡터를 정의하기 위해서는 시작점과 끝점이 필요하다고 말씀드렸습니다. 따라서 이 두 가지만 정해준다면 크기와 방향성을 지정할 수 있습니다. 하지만 대부분은 시작점을 원점 $O$로 고정하게 됩니다. 끝점만 $(a_{1}, a_{2})$와 같이 좌표의 형태로 지정해줍니다. 이 말은 원점 $O$에서 시작해서 $(a_{1}, a_{2})$에서 끝나는 벡터를 의미하죠. 이를 표현하면 아래와 같습니다. $$\mathbf{u} = $$ 이를 3차원으로 표현할 수도 있습니다. $$\mathbf{u} = $$ 벡터의 표현방법을 익..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 좌표계에서는 3차원 좌표계를 이루는 구성요소들(원점, 축, 평면)과 3차원의 두 점 사이의 거리를 구하는 공식과 구를 대수적으로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이어서 벡터(vector)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 간단히 말해서 벡터란 크기(magnitude)와 방향성(direction)을 동시에 표현할 수 있는 단위입니다. 따라서, 벡터에서는 방향성이 중요한 요소이기 때문에 이를 표현하기 위해 위와 같이 화살표 기호로 표기합니다. 그리고 일반적으로 방향성이 존재하지 않고 크기만 존재하는 경우에는 스칼라(scalar)라고 하며 $u$나 $v$로 표기합니다. 만약, 방향성이 포함된 벡터라면 $\mathbf{u}$나 $\mathbf{v}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 복잡한 함수의 테일러 급수에서는 $\sin(x), \cos(x)$를 맥클로린 급수로 표현하는 방법과 이항급수(bionomial series)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 새로운 주제로 넘어가서 3차원에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 이를 위해서 3차원 좌표계를 어떤 식으로 정의하는 지부터 알아보도록 하죠. 기본적으로 3차원 좌표계는 위와 같이 이루어져 있습니다. 일단, 원점(origin point) $O$가 있습니다. 2차원 좌표계에서와 마찬가지로 기준점의 역할을 하게 됩니다. 그리고 원점을 기준으로 뻗어나가는 3개의 좌표 축(coordinate axis) $x, y, z$를 볼 수 있습니다. 이 역시 2차원 좌표계와 마찬가지입니다. 다만, 다른 점은 지금..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 테일러 급수와 맥클로린 급수에서는 테일러 급수와 맥클로린 급수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 또한, 간단한 함수인 $f(x) = e^{x}$의 맥클로린 급수 표현도 구해보았습니다. 오늘은 보다 복잡한 형태의 함수들의 테일러 급수 또는 맥클로린 급수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 삼각함수로 시작해보도록 하겠습니다. 함수 $f(x) = \sin(x)$의 맥클로린 급수를 구해보도록 하죠. 맥클로린 급수의 계수는 아래와 같습니다. $$c_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ 따라서, $f(x) = \sin(x)$를 여러 번 미분해보아야 합니다. $$\begin{align*} &f^{'}(0) = 1 \\ &f^{''}(x) = 0 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 멱급수 표현에서는 복잡한 형태의 함수를 단순한 다항식의 무한합으로 근사하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 원래는 기하급수 형태로 변환할 수 있는 $\frac{1}{1 - x}$ 꼴만 멱급수로 표현할 수 있었지만 미적분을 통해 더 다양한 함수들도 멱급수로 표현할 수 있게 되었습니다. 오늘은 특별한 형태의 멱급수인 테일러 급수(Taylor Series)와 맥클로린 급수(Maclaurin Series)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 다시 한번 임의의 함수가 멱급수로 표현된다고 가정하고 수렴반경이 $\left|x - a\right| < R$이라고 할 때, 아래와 같이 표현할 수 있습니다. $$f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 멱급수에서는 멱급수(power series)와 수렴반경(radius of convergence)의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 어떤 함수를 멱급수의 형태로 표현하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 일단, 함수를 멱급수로 표현한다는 의미부터 생각해보겠습니다. 예를 들어 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$라는 함수를 생각해보도록 하겠습니다. 이 함수의 경우에는 다르게 표현할 수도 있습니다. 왜냐하면 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ 역시 기하급수의 성질에 의해서 $\left|x\right| < 1$에서는 $\frac{1}{1 - x}$로 표현될 수 있습니다. $$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서는 비판정법(ratio test)와 근판정법(root test)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 멱급수(power series)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 멱급수(power series) $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots$의 형태를 가진 무한급수를 멱급수라고 한다. 설명 멱급수의 가장 간단한 예시는 모든 $n$에 대해서 $c_{n} = 1$일 때 입니다. 그러면 저희는 아래의 식을 얻을 수 있죠. $$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots$$ 이는 기하급수입니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴에서는 두 가지 종류의 수렴 종류에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 판정하는 방법에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 각각 비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)입니다. 정리1. 비판정법(ratio test)무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자. 1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L 2). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L > 1$ 이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + ..
