미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴에서는 두 가지 종류의 수렴 종류에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 판정하는 방법에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 각각 비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)입니다. 

 

 정리1. 비판정법(ratio test)

무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자. 

 

1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L < 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

2). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L > 1$ 이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \infty$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

3). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L = 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 수렴성을 판별할 수 없기 때문에 다른 판정법을 고려한다. 

 

예제1. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}$의 수렴성을 판정하라.

$a_{n} = (-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(-1)^{n + 1}\frac{(n + 1)^{3}}{3^{n + 1}}}{(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}}\right| \\ &= \frac{(n + 1)^{3}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{n^{3}} \\ &= \frac{1}{3} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{3} \\ &= \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3} \rightarrow \frac{1}{3} < 1\end{align*}$$

 

따라서, 비판정법에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}$은 절대수렴한다. 이때, 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴의 정리1에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}$은 수렴한다. 

 

예제2. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$의 수렴성을 판정하라.

$a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}}\right| \\ &= \frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n^{n}}{n!} \\ &= \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \\ &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e > 1\end{align*}$$

 

따라서, 비판정법에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$은 발산한다.

 

 정리2. 근판정법(root test)

무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자. 

 

1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L < 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

2). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L > 1$ 이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = \infty$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

3). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L = 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 수렴성을 판별할 수 없기 때문에 다른 판정법을 고려한다. 

 

예제3. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$의 수렴성을 판정하라.

$a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \sqrt{\left|a_{n}\right|} &= \frac{2n + 3}{3n + 2} \\ &= \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{2}{n}} \rightarrow \frac{2}{3} < 1 \end{align*}$$

 

따라서, 근판정법에 의해 무한급수 $a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$은 절대수렴한다. 이때, 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴의 정리1에 의해 무한급수 $a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$은 수렴한다. 

 

연습문제1. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$

(b). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-10)^{n}}{n!}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{2^{n}}{n^{4}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{4}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{(n + 1)^{2}}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{(n + 1)^{2}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{2} < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-10)^{n}}{n!}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{(-10)^{n}}{n!} = (-1)^{n}\frac{10^{n}}{n!}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{10^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{10^{n}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10}{n + 1} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0 < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{2^{n}}{n^{4}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \frac{2^{n}}{n^{4}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)^{4}} \cdot \frac{n^{4}}{2^{n}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} 2 \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{4} = 2 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 2 > 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ 조건수렴 (Condition Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n + 1} \frac{1}{\sqrt[4]{n}}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$이기 때문에 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1. $p$-급수 판정법에 의해 $\sum |a_{n}|$은 발산한다. 이때, $b_{n} = \frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$라고 하면 $a_{n} = (-1)^{n + 1} b_{n}$이라고 할 수 있다. 여기서, $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $b_{n} > b_{n + 1}$이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1. 교대급수 판정법에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum a_{n}$은 조건수렴이다. 

 

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{4}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n^{4}}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \frac{1}{n^{4}}$이기 때문에 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1. $p$-급수 판정법에 의해 $\sum |a_{n}|$은 수렴한다. 따라서, $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

연습문제2. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} n \left( \frac{2}{3} \right)^{n}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{100^{n}}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(1.1)^{n}}{n^{4}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{3}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} n \left( \frac{2}{3} \right)^{n}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = n \left( \frac{2}{3} \right)^{n}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| (n + 1) \left( \frac{2}{3} \right)^{n + 1} \cdot \frac{1}{n} \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{2}{3} < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{100^{n}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{n!}{100^{n}}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{(n + 1)!}{100^{n + 1}} \cdot \frac{100^{n}}{n!} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n + 1}{100} \cdot \frac{2}{3} = \infty \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \infty > 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(1.1)^{n}}{n^{4}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{(1.1)^{n}}{n^{4}} $이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{(1.1)^{n + 1}}{(n + 1)^{4}} \cdot \frac{n^{4}}{(1.1)^{n}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} 1.1 \left( \frac{n}{n + 1} \right) = 1.1 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 1.1> 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$ 조건수렴 (Condition Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}} $이라고 하자. 그러면, $|a_{n}| = \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}} > \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 2n^{3}}} > \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{n}} = b_{n}$이라고 하면 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1. $p$-급수 판정법에 의해 $b_{n}$이 발산하므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2의 정리1. 비교 판정법 (The Comparison Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$은 발산한다.

 

여기서 $c_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} c_{n} = 0$이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $c_{n} > c_{n + 1}$을 만족하므로 미적분학 - 교대급수의 정리1. 교대급수 판정법 (The Alternative Series Test)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum a_{n}$은 조건수렴이다. 

 

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{3}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{3}} $이라고 하자. 이때, $f(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$라고 하면 $\int_{1}^{\infty} f(x) = 1$이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 정리1. 적분 판정법 (Integration Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$이 수렴하므로 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

연습문제3. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin (4n)}{4^{n}}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n + 1)4^{2n + 1}}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1} \frac{n^{2}2^{n}}{n!}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\arctan (n)}{n^{2}}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{3 - \cos (n)}{n^{\frac{2}{3}} - 2}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin (4n)}{4^{n}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{\sin (4n)}{4^{n}}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \left| \frac{\sin (4n)}{4^{n}} \right| \le \frac{1}{4^{n}} = b_{n}$이 되고 $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{1}{4}$인 기하급수이므로 미적분학 - 급수의 기하급수의 성질에 따라 $\sum b_{n}$이 수렴한다. 따라서, 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2의 정리1. 비교 판정법 (The Comparison Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$은 수렴한다. 그러므로 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n + 1)4^{2n + 1}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{10^{n}}{(n + 1)4^{2n + 1}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{10^{n + 1}}{(n + 2)4^{2n + 3}} \cdot \frac{(n + 1)4^{2n + 1}}{10^{n}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10}{16} \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{5}{8} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{5}{8} < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1} \frac{n^{2}2^{n}}{n!}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n + 1} \frac{n^{2}2^{n}}{n!}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{(n + 1)^{2} 2^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{n^{2} 2^{n}} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n + 1} \left( \frac{n + 1}{n} \right)^{2} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0 < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\arctan (n)}{n^{2}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{\arctan (n)}{n^{2}}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \left| \frac{\arctan (n)}{n^{2}} \right| \le \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} = b_{n}$ 이라고 하면 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1. $p$-급수 판정법에 의해 $\sum b_{n}$이 수렴하므로  미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2의 정리1. 비교 판정법 (The Comparison Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$은 수렴한다.  그러므로 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

  

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{3 - \cos (n)}{n^{\frac{2}{3}} - 2}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{3 - \cos (n)}{n^{\frac{2}{3}} - 2}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \left| \frac{3 - \cos(n)}{n^{\frac{2}{3}} - 2} \right| \ge \frac{4}{n^{\frac{2}{3}}} = b_{n}$ 이라고 하면 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1. $p$-급수 판정법에 의해 $\sum b_{n}$이 발산하므로  미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2의 정리1. 비교 판정법 (The Comparison Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$은 발산한다.  그러므로 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

연습문제4. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln n}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{3})}{n!}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} \right)^{n}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln n}$ 조건수렴 (Condition Convergence)

 

$a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\ln n}$이라고 하자. 그러면 $|a_{n}| = \frac{1}{\ln n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 정리1. 적분 판정법 (The Integration Test)에 의해 $\sum |a_{n}|$은 발산한다. 여기서 $b_{n} = \frac{1}{\ln n}$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1. 교대급수 판정법 (The Alternative Series Test)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum a_{n}$은 조건수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n} = \frac{1}{e} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{e} < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{3})}{n!}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{\cos (\frac{n \pi}{3})}{n!}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{\cos(\frac{(n + 1)\pi}{3})}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{\cos (\frac{n\pi}{3})} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos (\frac{(n + 1)\pi}{3})}{\cos (\frac{n \pi}{3})} \cdot \frac{1}{n + 1} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0 < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{(-2)^{n})}{n^{n}} = (-1)^{n} \frac{2^{n}}{n^{n}} = (-1)^{n} \left( \frac{2}{n} \right)^{n}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2}{n}\ right)^{n}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = 0 < 1$이므로 정리2. 근판정법 (root test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} \right)^{n}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \left( \frac{n^{2}}{2n^{2} + 1} \right)^{n}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^{2}}{2n^{2} + 1}\ right)^{n}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2n^{2} + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \frac{1}{2} < 1$이므로 정리2. 근판정법 (root test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

연습문제5. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \frac{-2n}{n + 1} \right)^{5n}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{2}}$

(c). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n}{(\ln n)^{n}}$

(d). $1 - \frac{1 \cdot 3}{3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5!} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{7!} + \cdots + (-1)^{n - 1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)}{(2n - 1)!} + \cdots$

(e). $\frac{2}{5} + \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10}{5 \cdot 8 \cdot 10} + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14}{5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 14} + \cdots$

 

(a). $\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \frac{-2n}{n + 1} \right)^{5n}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \left( \frac{-2n}{n + 1} \right)^{5n} = (-1)^{n} \left( \frac{2n}{n + 1} \right)^{5n}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2n}{n + 1} \right)^{5n}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{2n}{n + 1} \right)^{5} = 32 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = 32 > 1$이므로 정리2. 근판정법 (root test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{2}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{2}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^{2}}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = e > 1$이므로 정리2. 근판정법 (root test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(c). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n}{(\ln n)^{n}}$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = \frac{n}{(\ln n)^{n}}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \frac{n}{(\ln n)^{n}} } \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{\frac{1}{n}}}{\ln n} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = 0 < 1$이므로 정리2. 근판정법 (root test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(d). $1 - \frac{1 \cdot 3}{3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5!} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{7!} + \cdots + (-1)^{n - 1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)}{(2n - 1)!} + \cdots$ 절대수렴 (Absolute Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)}{(2n - 1)!}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1)}{(2n + 1)!} \cdot \frac{(2n - 1)!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n - 1)!}{(2n)!} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n} = 0 \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0 < 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다. 

 

(e). $\frac{2}{5} + \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10}{5 \cdot 8 \cdot 10} + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14}{5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 14} + \cdots$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{2 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (4n - 2)}{5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n + 2)}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (4n - 2) \cdot (4n + 2)}{5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n + 2) \cdot (3n + 5)} \cdot \frac{5 \cdot 8 \cdot \cdots \cdot (3n + 2)}{2 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (4n - 2)} \right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n + 2}{3n + 5} = \frac{4}{3} \end{align*}$$

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{4}{3} > 1$이므로 정리1. 비판정법 (ratio test)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.