안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)를 통해 무한급수의 수렴성을 판별하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 다만, 주의할 점은 적분 판정법의 수렴 결과가 실제 무한급수 값과는 다르기 때문에 근삿값을 구하는 방법은 다르다는 것입니다. 오늘은 무한급수의 수렴성을 판정하는 새로운 방법으로 비교 판정법(Comparison Test)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다.
정리1. 비교 판정법(Comparison Test)
무한급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이라고 하자.
1). $\sum b_{n}$이 수렴하고 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
2). $\sum b_{n}$이 발산하고 $a_{n} \ge b_{n}$이면 $\sum a_{n}$은 발산한다.
설명
기본적으로 비교 판정법은 2개의 수열을 이용해서 둘 중 하나의 수열이 수렴하거나 발산한다는 정보와 대소관계를 통해 다른 수열의 수렴성을 판정할 수 있는 기법입니다. 간단한 예시를 보도록 하죠.
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1}$$
위와 같은 무한급수가 있다고 할 때 수렴성을 판정해봅시다. 음... 하지만, 지금까지 저희가 보았던, $p$-급수나 기하급수 형태를 보이지 않기 때문에 쉽게 알아낼수 없을 거 같습니다. 그래도 그나마 기하급수와 유사해보이네요. 그렇기 때문에 $a_{n} = \frac{1}{2^{n} + 1}, b_{n} = \frac{1}{2^{n}}$이라고 하겠습니다. 그러면 모든 $n$에 대해서 $2^{n} + 1 > 2^{n}$임은 자명하기 때문에 $a_{n} < b_{n}$입니다. 또한, 지난 포스팅의 미적분학 - 급수에서 보신 기하급수의 성질로 인해서 $\sum b_{n}$은 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다는 것을 알 수 있죠.
이를 정리하면, 판정하고자 하는 수열이 복잡할 때 저희가 기본적으로 잘 알고 있는 수열의 형태($p$-급수, 기하급수)로 바꾼 수열을 $b_{n}$이라고 하고 두 수열 사이의 대소관계와 함께 $\sum b_{n}$의 수렴성을 판별해주면 쉽게 알아낼 수 있습니다.
예제1. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5}{2n^{2} + 4n + 3}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = \frac{5}{2n^{2} + 4n + 3}$이라고 하자. 이때, 모든 $n$에 대해서 $2n^{2} + 4n + 3 > 2n^{2}$임을 이용해서 $b_{n} = \frac{5}{2n^{2}}$이라고 하자. 위의 대소관계에 의해서 $a_{n} < b_{n}$임을 알 수 있으며 $\sum b_{n}$은 $p$-급수의 형태이고 $p > 1$이기 때문에 수렴한다. 그러므로 정리1에 의해서 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
예제2. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = \frac{\ln(n)}{n}$이라고 하자. 이때, 자연로그의 성질에 의해 $n \ge 3$에 대해서 $\ln(n) > 1$임을 이용해서 $b_{n} = \frac{1}{n}$이라고 하자. 위의 대소관계에 의해서 $a_{n} > b_{n}$임을 알 수 있으며 $\sum b_{n}$은 $p$-급수의 형태이고 $p = 1$이기 때문에 발산한다. 그러므로 정리1에 의해서 $\sum_{n = 3}^{\infty} a_{n}$은 발산한다. 하지만, 처음 두항을 합쳐도 발산하기 때문에 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 발산한다.
정리2. 극한 비교 판정법(The Limit Comparison Test)
무한급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이라고 하자.
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$$
이때, $c > 0$로 수렴하면 두 급수 모두 수렴하거나 발산한다.
예제3. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2n^{2} + 3n}{\sqrt{5 + n^{5}}}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = \frac{2n^{2} + 3n}{\sqrt{5 + n^{5}}}$이라고 하자. 이때, $b_{n} = \frac{2n^{2}}{\sqrt{n^{5}}} = \frac{2}{\sqrt{n}}$이라고 할 때, 정리2를 적용한다.
$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^{2} + 3n}{2} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{5 + n^{5}}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^{\frac{5}{2}} + 3n^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{5 + n^{5}}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{2\sqrt{\frac{5}{n^{2}} + 1}} \\ &= \frac{2 + 0}{2\sqrt{0 + 1}} = 1 \end{align*}$$
이때, $\sum b_{n}$이 $p$-급수의 형태이고 $p = \frac{1}{2} \le 1$이기 때문에 발산한다. 그러므로 정리2에 의해서 $\sum b_{n}$이 발산하므로 $\sum a_{n}$도 발산한다.
연습문제1. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2n^{3} + 1}$
(b). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{4} - 1}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n\sqrt{n}}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n^{2}\sqrt{n}}$
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{9^{n}}{3 + 10^{n}}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2n^{3} + 1}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n}{2n^{3} + 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n}{2n^{3} + 1} < \frac{n}{2n^{3}} = \frac{1}{2n^{2}} < \frac{1}{n^{3}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(b). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{4} - 1}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{4} - 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{4} - 1} > \frac{n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{n} = b_{n}$$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 1보다 큰 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$ 은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n\sqrt{n}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{n + 1}{n\sqrt{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n + 1}{n\sqrt{n}} > \frac{n}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} = b_{n}$$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n^{2}\sqrt{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n - 1}{n^{2}\sqrt{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n - 1}{n^{2}\sqrt{n}} < \frac{n}{n^{2}\sqrt{n}} = \frac{1}{n\sqrt{n}} = b_{n}$$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$ 은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{9^{n}}{3 + 10^{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{9^{n}}{3 + 10^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{9^{n}}{3 + 10^{n}} < \frac{9^{n}}{10^{n}} = \left( \frac{9}{10} \right)^{n} = b_{n}$$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{9}{10}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
연습문제2. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 + 3^{n}}{2^{n}}$
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2} + 1}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 1}{3n^{4} + 1}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n4^{n}}$
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + \sin(n)}{10^{n}}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 + 3^{n}}{2^{n}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{4 + 3^{n}}{2^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{4 + 3^{n}}{2^{n}} > \frac{3^{n}}{2^{n}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{3}{2}$인 기하급수로 공비가 1보다 크므로 발산한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2} + 1}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2} + 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2} + 1} \le \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 1}{3n^{4} + 1}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{3n^{4} + 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{3n^{4} + 1} < \frac{n^{2}}{3n^{4} + 1} < \frac{n^{2}}{3n^{4}} = \frac{1}{3n^{2}} < \frac{1}{n^{2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n - 1}{n4^{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n - 1}{n4^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n - 1}{n4^{n}} < \frac{n}{n4^{n}} = \frac{1}{4^{n}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{1}{4}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + \sin(n)}{10^{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{1 + \sin (n)}{10^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1 + \sin(n)}{10^{n}} \le \frac{2}{10^{n}} = 2 \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{1}{10}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
연습문제3. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{1.2}}$
(b). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n - 1}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^{n}}{n\sqrt{n}}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 1}}$
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{1.2}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{\arctan(n)}{n^{1.2}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{\arctan(n)}{n^{1.2}} < \frac{\frac{\pi}{2}}{n^{1.2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(b). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n - 1}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n - 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n - 1} > \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 1보다 큰 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^{n}}{n\sqrt{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{2 + (-1)^{n}}{n\sqrt{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{2 + (-1)^{n}}{n\sqrt{n}} < \frac{3}{n\sqrt{n}} = \frac{3}{n^{\frac{3}{2}}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 1}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 1}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n^{3}}} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} \ge \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2n^{2}}} = \frac{1}{n\sqrt{2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
연습문제4. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n + 3}$
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 4^{n}}{1 + 3^{n}}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 4^{n}}{n + 6^{n}}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 2}}{2n^{2} + n + 1}$
(e). $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{n + 2}{(n + 1)^{3}}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n + 3}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{1}{2n + 3}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1}{2n + 3} > \frac{1}{2n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 4^{n}}{1 + 3^{n}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{1 + 4^{n}}{1 + 3^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1 + 4^{n}}{1 + 3^{n}} > \frac{4^{n}}{1 + 3^{n}} > \frac{4^{n}}{3^{n} + 3^{n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4^{n}}{3^{n}} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{4}{3}$인 기하급수로 공비가 1보다 크므로 발산한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 4^{n}}{n + 6^{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n + 4^{n}}{n + 6^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n + 4^{n}}{n + 6^{n}} < \frac{n + 4^{n}}{6^{n}} < \frac{4^{n - 1} + 4^{n}}{6^{n}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4^{n-1}}{6^{n-1}} = \frac{5}{6} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n - 1} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{2}{3}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 2}}{2n^{2} + n + 1}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{\sqrt{n + 2}}{2n^{2} + n + 1}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{\sqrt{n + 2}}{2n^{2} + n + 1} < \frac{\sqrt{n + 2n}}{2n^{2} + n + 1} = \frac{\sqrt{3n}}{2n^{2} + n + 1} < \frac{\sqrt{3}\sqrt{n}}{2n^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(e). $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{n + 2}{(n + 1)^{3}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n + 2}{(n + 1)^{3}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n + 2}{(n + 1)^{3}} < \frac{\sqrt{n + 2n}}{(n + 1)^{3}} = \frac{3n}{(n + 1)^{3}} < \frac{3n}{n^{3}} = \frac{3}{n^{2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
연습문제5. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5 + 2n}{(1 + n^{2})^{2}}$
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 5n}{n^{3} + n + 1}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 5}{\sqrt[3]{n^{7} + n^{2}}}$
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} e^{-n}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5 + 2n}{(1 + n^{2})^{2}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{5 + 2n}{(1 + n^{2})^{2}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{5 + 2n}{(1 + n^{2})^{2}} < \frac{5 + 2n}{(2n^{2})^{2}} = \frac{5 + 2n}{4n^{4}} < \frac{5n + 2n}{4n^{4}} = \frac{7n}{4n^{4}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{n^{3}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} - 5n}{n^{3} + n + 1}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{n^{2} - 5n}{n^{3} + n + 1}$ 그리고 $b_{n} = \frac{1}{n}$이라고 하자.
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} - 5n}{n^{3} + n + 1} = 1 > 0$$
이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산하므로 정리2 (극한비교판정법)에 따라서 $\sum b_{n}$은 발산한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1 + n + n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}} > \frac{n^{2}}{\sqrt{1 + n^{2} + n^{6}}} > \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{6}}} = \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 5}{\sqrt[3]{n^{7} + n^{2}}}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{n + 5}{\sqrt[3]{n^{7} + n^{2}}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n + 5}{\sqrt[3]{n^{7} + n^{2}}} < \frac{n + 5n}{\sqrt[3]{n^{7} + n^{2}}} < \frac{6n}{\sqrt[3]{n^{7}}} = \frac{6}{n^{\frac{4}{3}}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} e^{-n}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} e^{-n}$이라고 하자.
$$a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} e^{-n} < (1 + 1)^{2}e^{-n} = 4e^{-n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{1}{e}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
연습문제6. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라.
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}$
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \sin (\frac{1}{n})$
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}$
(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$ 발산 (Divergence)
$a_{n} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n} > \frac{1}{n} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.
(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{1}{n!}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{1}{n!} = \frac{1}{n \cdot (n - 1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1} < \frac{1}{2^{n - 1}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 공비가 $\frac{1}{2}$인 기하급수로 공비가 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$ 수렴 (Convergence)
$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$이라고 하자.
$$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n \cdot n} = \frac{(n - 1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1}{n \cdot \cdots \cdot n} < \frac{n \cdot \cdots \cdot n \cdot 2 \cdot 1}{n \cdot \cdots \cdot n} = \frac{2}{n^{2}} = b_{n} $$
여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} < b_{n}$을 만족한다. 이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다. 따라서, 정리1 (비교판정법)에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.
(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \sin (\frac{1}{n})$ 발산 (Divergence)
$a_{n} =\sin(\frac{1}{n})$ 그리고 $b_{n} = \frac{1}{n}$이라고 하자.
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = 1 > 0$$
이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산하므로 정리2 (극한비교판정법)에 따라서 $\sum b_{n}$은 발산한다.
(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}$
$a_{n} =\frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}$ 그리고 $b_{n} = \frac{1}{n}$이라고 하자.
$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}}{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\ &= \lim_{m \rightarrow 0} m^{m} \\ &= e^{\lim_{m \rightarrow 0} m\ln m} \\ &= e^{\lim_{m \rightarrow 0} \frac{\ln m}{\frac{1}{m}}} \\ &= e^{\lim_{m \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{m}}{-\frac{1}{m^{2}}}} = e^{0} = 1 > 0 \end{align*}$$
이때, $\sum b_{n}$은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의 따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산하므로 정리2 (극한비교판정법)에 따라서 $\sum b_{n}$은 발산한다.
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