미적분학 - 교대급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2에서는 양의 항을 가지는 무한급수의 수렴성을 판정하기 위한 비교판정법(Comparison Test)과 극한비교판정법(Limit Comparison Test)에 대해서 알아보았습니다. 또한 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)도 알아보았죠. 지금까지 알아본 판정법의 문제점은 수열이 오직 양의 항을 가질때만 입니다. 오늘은 양 및 음의 부호를 서로 교대로 교차하는 교대급수(Alternative Series)와 판정법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 교대급수(Alternative Series)

무한급수를 이루는 수열의 부호가 양수와 음수를 번갈아가며 바뀌게 되는 급수를 교대급수라고 한다. 

 

 설명

교대급수는 간단한 예시로 바로 이해하실 수 있습니다. 예를 들어, $a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$이라는 수열이 있다고 가정하겠습니다. 이러한 수열은 아래와 같이 양수와 음수를 번갈아가며 변하는 게 특징입니다. 

 

$$\{a_{n}\} : 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$$

 

위의 예시와 같은 수열은 $a_{n} = (-1)^{n - 1}b_{n}$ 또는 $a_{n} = (-1)^{n}b_{n}$과 같이 표현할 수 있습니다. 이와 같은 수열을 포함하는 급수를 저희는 앞으로 교대급수라고 하겠습니다. 

 

 정리1. 교대급수 판정법(The Alternating Series Test)

교대급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}b_{n} = b_{1} - b_{2} + b_{3} - \cdots$가 주어졌다고 할 때, 모든 $n$에 대해서 $b_{n + 1} < b_{n}$이고 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이면 교대급수를 수렴한다.