미적분학 - 절대수렴과 조건수렴

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 교대급수에서는 부호가 번갈아가며 더해지는 교대급수(Alternative Series)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 급수의 수렴에도 종류가 있다는 것을 알려드리도록 하겠습니다. 수렴하는 조건에 따라 각각 절대수렴(Absolute Convergence)와 조건수렴(Condition Convergence)로 나뉘게 됩니다. 

 

 정의1. 절대수렴(Absolute Convergence)

무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌을 때 $\sum \left|a_{n}\right|$이 수렴하면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴이라고 한다. 

 

 설명

기본적으로 교대급수가 아닌 양항급수를 고려해보겠습니다. 즉, 모든 $n$에 대해서 $a_{n} \ge 0$입니다. 이 경우에는 $\left|a_{n}\right| = a_{n}$이기 때문에 수렴하는 모든 양항급수는 절대수렴하다고 할 수 있습니다. 이번에는 교대급수인 경우를 생각해보죠. 

 

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} = \frac{-1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{-1}{3^{2}} + \cdots $$

 

위와 같은 무한급수가 있다고 할 때, $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$이라고 하죠. 그러면 $\left|a_{n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right| = \frac{1}{n^{2}}$이 됩니다. 이때, 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1($p$-급수의 수렴성)에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left|a_{n}\right|$은 수렴합니다. 따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$은 절대수렴합니다. 

 

 정의2. 조건수렴(Conditional Convergence)

무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌을 때 절대수렴은 아니지만 수렴하면 조건수렴이라고 한다. 

 

 설명

일단, 모든 양항급수는 절대수렴하기 때문에 양항급수는 조건수렴이 될 수 없습니다. 따라서, 교대급수를 고려해보도록 하죠. 

 

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} = \frac{-1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{-1}{3} + \cdots$$

 

위와 같은 무한급수가 있다고 할 때, $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$이라고 하죠. 그러면 $\left|a_{n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right| = \frac{1}{n}$이 됩니다. 이때, 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 따름정리1($p$-급수의 수렴성)에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left|a_{n}\right|$은 발산합니다. 하지만, 미적분학 - 교대급수의 판정법에 의하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$은 수렴하기 때문에 조건수렴합니다. 

 

 정리1. 

무한급수 $\sum a_{n}$이 절대수렴하면 이 무한급수는 수렴한다. 

 

연습문제1. 주어진 무한급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산인지 판별하라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}$

(b). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-10)^{n}}{n!}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{2^{n}}{n^{4}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{4}}$