미적분학 - 교대급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2에서는 양의 항을 가지는 무한급수의 수렴성을 판정하기 위한 비교판정법(Comparison Test)과 극한비교판정법(Limit Comparison Test)에 대해서 알아보았습니다. 또한 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)도 알아보았죠. 지금까지 알아본 판정법의 문제점은 수열이 오직 양의 항을 가질때만 입니다. 오늘은 양 및 음의 부호를 서로 교대로 교차하는 교대급수(Alternative Series)와 판정법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 교대급수(Alternative Series)

무한급수를 이루는 수열의 부호가 양수와 음수를 번갈아가며 바뀌게 되는 급수를 교대급수라고 한다. 

 

 설명

교대급수는 간단한 예시로 바로 이해하실 수 있습니다. 예를 들어, $a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$이라는 수열이 있다고 가정하겠습니다. 이러한 수열은 아래와 같이 양수와 음수를 번갈아가며 변하는 게 특징입니다. 

 

$$\{a_{n}\} : 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$$

 

위의 예시와 같은 수열은 $a_{n} = (-1)^{n - 1}b_{n}$ 또는 $a_{n} = (-1)^{n}b_{n}$과 같이 표현할 수 있습니다. 이와 같은 수열을 포함하는 급수를 저희는 앞으로 교대급수라고 하겠습니다. 

 

 정리1. 교대급수 판정법(The Alternating Series Test)

교대급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}b_{n} = b_{1} - b_{2} + b_{3} - \cdots$가 주어졌다고 할 때, 모든 $n$에 대해서 $b_{n + 1} < b_{n}$이고 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이면 교대급수를 수렴한다. 

 

연습문제1. 주어진 무한급수의 수렴성을 검증하라. 

 

(a). $-\frac{1}{3} + \frac{2}{4} - \frac{3}{5} + \frac{4}{6} - \frac{5}{7} + \cdots$

(b). $\frac{4}{7} - \frac{4}{8} + \frac{4}{9} - \frac{4}{10} + \frac{4}{11} - \cdots$

(c). $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6}} - \cdots$

 

(a). $-\frac{1}{3} + \frac{2}{4} - \frac{3}{5} + \frac{4}{6} - \frac{5}{7} + \cdots$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{n}{n + 2}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{n}{n + 2}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 1$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 존재하지 않는다. 따라서, 미적분학 - 급수의 따름정리1 (발산검사)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(b). $\frac{4}{7} - \frac{4}{8} + \frac{4}{9} - \frac{4}{10} + \frac{4}{11} - \cdots$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{4}{n + 6}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{4}{n + 6}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{n + 7}{n + 6} > 1$이므로 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명된다. 따라서, 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

(c). $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6}} - \cdots$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 1}} > 1$이므로 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명된다. 따라서, 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

연습문제2. 주어진 무한급수의 수렴성을 검증하라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{2n + 1}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{\ln (n + 4)}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{3n - 1}{2n + 1}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{2n + 1}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{1}{2n + 1}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{2n + 1}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{2n + 3}{2n + 1} > 1$이므로 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명된다. 따라서, 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{\ln (n + 4)}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{1}{\ln (n +4)}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{\ln (n + 4)}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{\ln (n + 5)}{\ln (n + 4)} > 1$이므로 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명된다. 따라서, 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{3n - 1}{2n + 1}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{3n - 1}{2n + 1}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{3n - 1}{2n + 1}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \frac{3}{2}$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 존재하지 않는다. 따라서, 미적분학 - 급수의 따름정리1 (발산검사)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{\sqrt{n^{3} + 2}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 2}}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 2}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{3} + 2}}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = \frac{4 - x^{3}}{2(x^{3} + 2)^{\frac{3}{2}}}$는 $x \in [2, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 2$에서는  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다. 다만, $n = 1$을 전체 수렴하는 수열에 더하더라도 수렴성은 변하지 않기 때문에 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

연습문제3. 주어진 무한급수의 수렴성을 검증하라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{10^{n}}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{1 + 2\sqrt{n}}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1}\frac{n^{2}}{n^{3} + 4}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{10^{n}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{n}{10^{n}}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{n}{10^{n}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{x}{10^{x}}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = -\frac{x\ln (10) - 1}{10^{x}}$는 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 1$에서  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{1 + 2\sqrt{n}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{\sqrt{n}}{1 + 2\sqrt{n}}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{\sqrt{n}}{1 + 2\sqrt{n}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \frac{1}{2}$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 존재하지 않는다. 따라서, 미적분학 - 급수의 따름정리1 (발산검사)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n + 1}\frac{n^{2}}{n^{3} + 4}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n + 1} \cdot \frac{n^{2}}{n^{3} + 4}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{n^{2}}{n^{3} + 4}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{x^{2}}{x^{3} + 4}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = -\frac{x(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{(x^{3} + 4)^{2}}$는 $x \in [2, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 2$에서는  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다. 다만, $n = 1$을 전체 수렴하는 수열에 더하더라도 수렴성은 변하지 않기 때문에 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = -\frac{e^{\frac{1}{x}} (x + 1)}{x^{3}}$는 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 1$에서  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

연습문제4. 주어진 무한급수의 수렴성을 검증하라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{\ln n}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{\ln n}{n}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{n^{\frac{3}{4}}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin (\frac{\pi}{2} \pi)}{n!}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{\ln n}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \frac{n}{\ln n}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{n}{\ln n}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \infty$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 존재하지 않는다. 따라서, 미적분학 - 급수의 따름정리1 (발산검사)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{\ln n}{n}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot \frac{\ln n}{n}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{\ln n}{n}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = -\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$는 $x \in [3, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 3$에서는  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum_{n = 3}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다. 다만, $n = 1$과 $n = 2$을 전체 수렴하는 수열에 더하더라도 수렴성은 변하지 않기 때문에 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{n^{\frac{3}{4}}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \frac{\cos (n \pi)}{n^{\frac{3}{4}}} = (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{4}}}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{n^{\frac{3}{4}}}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = -\frac{3}{4x^{\frac{7}{4}}}$는 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 1$에서  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin (\frac{\pi}{2} \pi)}{n!}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \frac{\sin (\frac{n}{2} \pi)}{n!} = (-1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{n!}$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \frac{1}{n!}$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1}} = \frac{(n + 1)!}{n!} = n + 1 > 1$이므로 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명된다. 따라서, 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 

 

연습문제5. 주어진 무한급수의 수렴성을 검증하라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\sin (\frac{\pi}{n})$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\cos (\frac{\pi}{n})$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\sin (\frac{\pi}{n})$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \sin (\frac{\pi}{n})$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \sin (\frac{\pi}{n})$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이다. 또한, 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$임을 증명하기 위해 $f(x) = \sin (\frac{\pi}{x})$라고 하자. 그러면 $f^{'} (x) = \frac{\pi \cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}}$는 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'}(x) < 0$를 만족한다. 따라서, $n \ge 1$에서  $b_{n} > b_{n + 1}$를 만족하므로 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\cos (\frac{\pi}{n})$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = (-1)^{n} \cdot \cos (\frac{\pi}{n})$라고 하자. $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 모든 항이 양의 실수인 조건이 요구되는 적분판정법과 비교판정법을 적용할 수 없다. $b_{n} = \cos(\frac{\pi}{n})$라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 1$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 존재하지 않는다. 따라서, 미적분학 - 급수의 따름정리1 (발산검사)에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.

 

연습문제6. 다음 $p$-급수가 수렴하는 $p$의 범위를 구하여라.

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n^{p}}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + p}$

(c). $\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n^{p}}$

 

$b_{n} = \frac{1}{n^{p}}$라고 하면 $a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot b_{n}$이라고 할 수 있다. 여기서, $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이여야 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$이 존재하여 수렴성을 적용할 수 있기 때문에 $p > 0$이여야한다. 다음으로 $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 수렴하기 위해서는 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$을 만족해야한다. 이를 확인하기 위해 $f(x) = \frac{1}{x^{p}}$라고 할 때 $f^{'}(x) = -\frac{p}{x^{p + 1}}$이다. 이는 $p > 0$인 경우 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'} (x) < 0$를 만족하기 때문에 주어진 $p$-급수가 수렴하는 $p$의 범위는 $p > 0$이다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + p}$

 

$b_{n} = \frac{1}{n + p}$라고 하면 $a_{n} = (-1)^{n} \cdot b_{n}$이라고 할 수 있다. 여기서, $p$의 값에 관계없이 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$이 존재한다. 다음으로 $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 수렴하기 위해서는 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$을 만족해야한다. 이를 확인하기 위해 $f(x) = \frac{1}{x + p}$라고 할 때 $f^{'}(x) = -\frac{1}{(x + p)^{2}}$이다. 이는 $p$의 값에 관계없이 $x \in [1, \infty)$에서 $f^{'} (x) < 0$를 만족하기 때문에 주어진 $p$-급수가 수렴하는 $p$의 범위는 실수전체이다. 

 

(c). $\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^{n - 1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}$

 

$b_{n} = \frac{(\ln n)^{p}}{n}$라고 하면 $a_{n} = (-1)^{n - 1} \cdot b_{n}$이라고 할 수 있다. 여기서, $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$이여야 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$이 존재하여 수렴성을 적용할 수 있기 때문에 $p < 1$이여야한다. 다음으로 $\sum a_{n}$이 교대급수이므로 수렴하기 위해서는 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $b_{n} > b_{n + 1}$을 만족해야한다. 이를 확인하기 위해 $f(x) = \frac{(\ln x)^{p}}{x}$라고 할 때 $f^{'}(x) = \frac{(p - \ln x)(\ln x)^{p - 1}}{x^{2}}$이다. 여기서 $x \in [2, \infty)$에서 $(p - \ln x) (\ln x)^{p - 1} < 0 \Rightarrow p - \ln x < 0 \Rightarrow p < \ln x \Rightarrow x > e^{p}$여야하므로 $n < e^{p} \$를 만족한다. 이는 충분히 큰 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 이미 정해진 상수 $p$에 대한 $e^{p}$보다 항상 큰 값이 존재하므로 $p < 1$에서 $\sum a_{n}$은 수렴한다.