안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴에서는 두 가지 종류의 수렴 종류에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 판정하는 방법에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 각각 비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)입니다.
정리1. 비판정법(ratio test)
무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자.
1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L < 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다.
2). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L > 1$ 이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \infty$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 발산한다.
3). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L = 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 수렴성을 판별할 수 없기 때문에 다른 판정법을 고려한다.
예제1. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = (-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}$이라고 하자.
$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(-1)^{n + 1}\frac{(n + 1)^{3}}{3^{n + 1}}}{(-1)^{n}\frac{n^{3}}{3^{n}}}\right| \\ &= \frac{(n + 1)^{3}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{n^{3}} \\ &= \frac{1}{3} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{3} \\ &= \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3} \rightarrow \frac{1}{3} < 1\end{align*}$$
따라서, 비판정법에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}$은 절대수렴한다. 이때, 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴의 정리1에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{3}}{3^{n}}$은 수렴한다.
예제2. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}$이라고 하자.
$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}}\right| \\ &= \frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n^{n}}{n!} \\ &= \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \\ &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e > 1\end{align*}$$
따라서, 비판정법에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}$은 발산한다.
정리1. 근판정법(root test)
무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자.
1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L < 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴한다.
2). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L > 1$ 이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = \infty$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 발산한다.
3). $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\left|a_{n}\right|} = L = 1$이면 무한급수 $\sum a_{n}$은 수렴성을 판별할 수 없기 때문에 다른 판정법을 고려한다.
예제3. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$의 수렴성을 판정하라.
$a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$이라고 하자.
$$\begin{align*} \sqrt{\left|a_{n}\right|} &= \frac{2n + 3}{3n + 2} \\ &= \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{2}{n}} \rightarrow \frac{2}{3} < 1 \end{align*}$$
따라서, 근판정법에 의해 무한급수 $a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$은 절대수렴한다. 이때, 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴의 정리1에 의해 무한급수 $a_{n} = \left(\frac{2n + 3}{3n + 2}\right)^{n}$은 수렴한다.
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