안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 급수의 성질에서는 무한급수의 성질과 함께 수렴성을 검사하는 발산 검사(Test for Divergence)도 알아보았습니다. 아무래도 저희는 지금 무한급수를 다루고 있기 때문에 일단 수렴하는 지에 대한 여부가 큰 관심입니다. 따라서, 다양한 수렴성 검사들이 존재하는 데 오늘은 첫번째로 적분 검사(Integration Test)에 대해서 알려드리도록 하겠습니다.
정리1. 적분 검사(Integration Test)
함수 $f$가 $[1, \infty)$에서 연속, 양수, 감소함수이고 $a_{n} = f(n)$이라고 하자. 그러면, 아래의 두 가지를 만족한다.
1). $\int_{1}^{\infty} f(x) \; dx$가 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 수렴한다.
2). $\int_{1}^{\infty} f(x) \; dx$가 발산하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 발산한다.
설명
아주 간단한 예시로 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$이 수렴하는 지 검사해보도록 하죠.
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots + \frac{1}{n^{2}} + \cdots$$
이는 그림으로 표현하면 위와 같습니다. 즉, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$이란 함수 $y = \frac{1}{x^{2}}$을 구간 $[0, \infty)$을 등구간으로 자른 뒤 각 면적의 합을 구하는 것과 동치임을 알 수 있습니다. 따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$이 수렴하는 것을 확인하는 것은 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \; dx$가 수렴하는 것을 확인하는 것과 동치입니다.
하지만, 위 함수를 적분할 때는 첫번째 구간은 고려하면 안됩니다. 왜냐하면, $x = 0$에서 정의되지 않기 때문이죠. 따라서, 첫번째 구간에 해당하는 영역의 넓이는 따로 구하고 두번째 구간에 해당하는 영역을 적분해주어야합니다.
$$\frac{1}{1^{2}} + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \; dx = 2$$
여기서 주의할 점이 있습니다. 적분이라 함은 해당 구간의 곡선의 넓이를 의미하기 때문에 저희가 수렴성을 판단하고자하는 수열보다 값이 더 큽니다.
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots + \frac{1}{n^{2}} + \cdots < 2$$
따라서, 계속 수열을 더해도 무한급수는 2보다는 커질 수 없다는 것을 볼 수 있습니다. 그러므로 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$은 수렴합니다.
예제1. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}$의 수렴 및 발산을 확인하라.
$f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$이라고 할 때, 함수 $f$는 구간 $[1, \infty)$에서 연속, 양수, 그리고 감소함수이다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\arctan(x)\right]_{1}^{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left(\arctan(t) - \arctan(1)\right) \\ &= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \end{align*}$$
따라서, 정리1에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}$은 수렴한다.
따름정리1. $p$-급수 수렴성
$p$-급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$는 $p > 1$일 때 수렴하고, $p \le 1$이면 발산한다.
증명
1). $p< 0$인 경우, $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{p}} = \infty$이기 때문에 미적분학 - 급수의 성질의 따름정리1에 의해 발산한다.
2). $p = 0$인 경우, $\lim_{n \rightarrow \infty} 1 = 1$이기 때문에 미적분학 - 급수의 성질의 따름정리1에 의해 발산한다.
3). $p > 0$이고 $f(x) = \frac{1}{x^{p}}$이라고 하면, 함수 $f(x)$는 구간 $[1, \infty)$에서 연속, 양수, 그리고 감소함수이다. 먼저, $p \neq 1$이라고 하자.
$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{p}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\frac{1}{1 - p} \frac{1}{x^{p - 1}}\right]_{1}^{t} \\ &= \frac{1}{1 - p} \lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{t^{1 - p}} - 1\right)\end{align*}$$
이때, $0 < p < 1$이면 $-1 < 1 - p < 0$이기 때문에 $\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^{1- p}} = \infty$이고 적분 검사에 의해 대응되는 무한급수는 발산한다.
그리고 $p > 1$이라면, $0 < p < 1$이기 때문에 $\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^{1 - p}} = 0$이고 적분검사에 의해 이에 대응되는 무한급수도 수렴한다.
4). 마지막으로 $p = 1$이라고 하자.
$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\ln(x)\right]_{1}^{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \ln(t) = \infty \end{align*}$$
적분 검사에 의해 발산한다.
따라서, $p$-급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$는 $p > 1$일 때 수렴하고, $p \le 1$이면 발산한다.
마지막으로 알아볼 것은 무한급수의 수렴값입니다. 일단, 적분검사의 수렴 결과로 저희가 추론할 수 있을까요? 결론부터 말씀드리면 적분 검사 자체의 수렴 결과는 실제 수렴값과 다릅니다. 예를 들어, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$의 수렴값은 $\frac{\pi}{6}$입니다. 하지만, 적분검사를 통해 얻어지는 결과는 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \; dx = 1$이죠. 애초에 그럴 것이 처음에 보여드렸던 그림과 같이 어느정도 두 결과가 사이에는 오차가 발생할 수 밖에 없습니다. 하지만, 어느정도 추론은 가능하기 때문에 간단하게 알아보도록 하죠.
일단, $s_{n}$이 수열 $a_{n}$의 부분급수라고 하고, $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = s$라고 하겠습니다. 그리고, 부분급수 $s_{n}$와 수렴값 $s$ 사이의 차이를 나머지(Remainder) $R_{n}$라고 하겠습니다.
$$R_{n} = s - s_{n} = a_{n + 1} + a_{n + 2} + \cdots$$
다음으로 위 그림을 보시면 $x = n$에서 시작해서 각 구간의 왼쪽점을 표본점으로 삼았습니다. 따라서, $R_{n} = a_{n + 1} + \cdots \le \int_{n}^{\infty} f(x) \; dx$입니다.
다음으로 위 그림을 보시면 $x = n + 1$에서 시작해서 각 구간의 왼쪽점을 표본점으로 삼았습니다. 따라서, $R_{n} = a_{n + 1} + \cdots \ge \int_{n + 1}^{\infty} f(x) \; dx$입니다.
그러므로 두 결과값 사이의 차이인 $R_{n}$은 아래와 부등식을 만족하게 됩니다.
$$\int_{n + 1}^{\infty} f(x) \; dx \le R_{n} \le \int_{n}^{\infty} f(x) \; dx$$
따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$을 최대한 적은 오차로 줄이는 근삿값을 찾고 싶다면 $R_{n}$이 작은 값을 사용하면 됩니다.
정리2. 무한급수의 근삿값
무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$의 근삿값은 아래와 같다.
$$s_{n} + \int_{n + 1}^{\infty} f(x) \; dx \le s \le s_{n} + \int_{n}^{\infty} f(x) \; dx$$
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