미적분학 - 급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 수열 극한의 법칙에서는 수열의 극한에 관한 몇 가지 성질에 대해서 알아보았으며 함수의 극한과 별반 차이가 없음을 알게 되었습니다. 오늘은 급수(Series)에 대해서 알아보겠습니다. 

 

 정의1. 수열의 급수(Series)

수열 $\{a_{n}\}$이 주어질 때, $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$를 $n$번째 부분급수($n$th partial series)라고 한다. 이때, $n \rightarrow \infty$이라면 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}$를 무한급수(infinite series)라고 한다. 만약, $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n}$이 존재하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = s$로 표기하고 수렴(convergence)한다. 이와 반대로 존재하지 않으면 발산(diverge)한다. 

 

 설명

기본적으로 급수는 수열의 합을 의미합니다. 저희가 가장 원하는 것은 $n = 1$ 부터 무한대까지의 수열인 $\{a_{n}\}_{n = 1}^{\infty}$까지의 합을 구하는 것이죠. 이를 위한 첫번째 단계로는 $\{a_{i}\}_{i = 1}^{n}$으로 초항부터 임의의 일반항까지의 수열의 합을 구하는 것으로부터 시작합니다. 이를 $n$번째 부분급수라고 부르죠. 

 

$$s_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$$

 

근데 여기서 쉽게 표현하기 위해 합(sum)의 기호인 시그마 $\sum$를 도입합니다. 시그마의 아래끝은 시작점, 위끝은 끝점을 의미하는 데 어찌보면 적분의 그것들과 비슷합니다. 따라서 부분합을 시그마로 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있겠죠. 

 

$$s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$$

 

여기서, $n \rightarrow \infty$로 증가시키면 이를 무한급수라고 표현합니다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} + \cdots$$

 

 정의2. 기하급수(geometric series)

수열 $\{a_{n}\}$의 일반항이 $a_{n} = ar^{n - 1}$인 수열의 급수를 기하급수(geometric series)라고 한다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n - 1} + \cdots $$

 

 설명

기하급수의 가장 큰 특징 중에 하나는 $r$의 값에 따라 수렴성이 결정된다는 점입니다. 

 

• $r = 1$일 경우

$$\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = a + a + \cdots + a + \cdots = \infty$$

 

• $r \neq 1$일 경우

$$\begin{align*} s_{n} = a + &ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n - 1} \\ rs_{n} = &ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots + ar^{n - 1} + ar^{n} \end{align*}$$

 

다음으로 두 수열을 빼줍니다. 

 

$$s_{n} - rs_{n} = (1 - r)s_{n} = a - ar^{n} = a(1 - r^{n}) \Rightarrow s_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$

 

이때, $\left|r\right| > 1$이라면 $\lim_{n \rightarrow \infty} r^{n}$은 발산하기 때문에 $\left|r\right| < 1$인 경우를 고려하도록 하겠습니다. 이 경우에는 $\lim_{n \rightarrow \infty} r^{n} = 0$입니다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}$$

 

 정리1. 

만약 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$이 수렴하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$이다. 

 

 증명

무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$의 부분합을 $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$이라고 하자. 부분합의 정의에 의해 $a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}$이다. 이때, 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$이 수렴하기 때문에 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = s$라고 할 수 있다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(s_{n} - s_{n - 1}\right) = s - s = 0$$

 

 따름정리1. 발산 검사(Test for Divergence)

만약 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0$이거나 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$이 존재하지 않는다면 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$는 발산한다.

 

 

예제1. 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{5n^{2} + 1}$이 발산함을 보여라.

$a_{n} = \frac{n^{2}}{5n^{2} + 1}$이라고 하자. 그러면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} =\frac{1}{5}$이기 때문에 발산 검사에 의해 주어진 무한급수는 발산한다. 

 

 정리2. 

급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 수렴한다고 가정하자.

 

 

1). $\sum_{n = 1}^{\infty} ca_{n}= c\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

2). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_{n} + b_{n}\right) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$

3). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_{n} - b_{n}\right) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$

 

예제2. 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{3}{n(n + 1)} + \frac{1}{2^{n}}\right)$을 구하여라.

$a_{n} = \frac{3}{n(n + 1)}$이라고 하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 $p$-급수의 성질에 의해 수렴한다. 또한, $b_{n} = \frac{1}{2^{n}}$이라고 했을 때, 공비가 $\frac{1}{2}$인 등비수열이므로 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$은 기하급수의 성질에 의해 수렴한다. 

 

1). 이때, 부분분수법을 통해 $a_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1}$이기 때문에 부분합의 일반항을 아래와 같이 쓸 수 있다.

 

$$s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i + 1}\right) = 1 - \frac{1}{n + 1}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = 1$이다. 

 

2). 공비가 $r$이고 초항이 $a$인 기하급수는 $\frac{a}{1 - r}$임을 알 수 있었다. 따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$이다.

 

정리2에 의해서 $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_{n} + b_{n} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} = 1 + 1 = 2$이다. 

 

연습문제1. 수열 $a_{n} = \frac{2n}{3n + 1}$이 주어졌을 때 수열 $\{ a_{n} \}$과 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$의 수렴성을 판단하라.

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{3n + 1} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{2}{3} \end{align*}$$

 

따라서, 수열 $\{ a_{n} \}$은 수렴한다. 하지만, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \frac{2}{3} \neq 0$이기 때문에 정리1에 의해 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$는 발산한다. 

 

연습문제2. 주어진 기하급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $3 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \cdots$

(b). $\frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 + \cdots$

(c). $3 - 4 + \frac{16}{3} - \frac{64}{9} + \cdots$

(d). $1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + \cdots$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} 6 (0.9)^{n - 1}$

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(-9)^{n - 1}}$

 

(a). $3 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \cdots$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = 3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{2}{3} < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = 9$이다. 

 

(b). $\frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 + \cdots$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{1}{8} \cdot (-2)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = 2 > 1$이므로 주어진 기하급수는 발산한다.

 

(c). $3 - 4 + \frac{16}{3} - \frac{64}{9} + \cdots$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = 3 \cdot \left( -\frac{4}{3} \right)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{4}{3} > 1$이므로 주어진 기하급수는 발산한다.

 

(d). $1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + \cdots$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (0.4)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = 0.4 < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{1}{1 - 0.4} = \frac{5}{3}$이다. 

 

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} 6 (0.9)^{n - 1}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = 6 (0.9)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = 0.9 < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{6}{1 - 0.9} = 60$이다. 

 

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(-9)^{n - 1}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{10^{n}}{(-9)^{n - 1}} = 10 \cdot \left( -\frac{10}{9} \right)$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{10}{9} > 1$이므로 주어진 기하급수는 발산한다.

 

연습문제3. 주어진 기하급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-3)^{n - 1}}{4^{n}}$

(b). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$

(c). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n + 1}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{3^{n - 1}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-3)^{n - 1}}{4^{n}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \frac{(-3)^{n - 1}}{4^{n}} = \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{3}{4} < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = 1$이다. 

 

(b). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$이다. 

 

(c). $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n + 1}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{\pi^{n}}{3^{n + 1}} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{3} \right)^{n}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{\pi}{3} > 1$이므로 주어진 기하급수는 발산한다.

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{3^{n - 1}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \frac{e^{n}}{3^{n - 1}} = e \cdot \left( \frac{e}{3} \right)^{n - 1}$이라고 할 때 공비가 $|r| = \frac{e}{3} < 1$이므로 주어진 기하급수는 수렴한다. 따라서, 정의2의 설명에 의해 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{e}{1 - \frac{e}{3}} = \frac{3e}{3 - e}$이다. 

 

연습문제4. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n}$

(b). $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{2} - 1}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 2^{n}}{3^{n}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt[n]{2}$

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \ln \left( \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} \right)$

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \text{arctan} (n)$

(g). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{e^{n}} + \frac{1}{n(n + 1)} \right)$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{1}{2n}$이라고 하자. 그러면 부분합 $s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$를 정의한 뒤 $k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} $에 대해서 $n = 2^{k}$인 부분수열을 고려하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} &s_{1} = a_{1} = \frac{1}{2} \\ &s_{2} = a_{1} + a_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{2} \right) \\ &s_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) > \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{2} \right)  \end{align*}$$

 

이를 일반화하면 $S_{2^{n}} > \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{n}{2} \right)$임을 알 수 있다. 여기서, $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{2^{n}} = \infty$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \infty$이다. 

 

(b). $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{2} - 1}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1 \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 2^{n}}{3^{n}}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \left( \frac{1}{3} \right)^{n}$ 그리고 $b_{n} = \left( \frac{2}{3} \right)^{n}$이라고 할 때 두 기하급수의 공비는 모두 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 2^{n}}{3^{n}} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} + \frac{\frac{2}{3}}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$이다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt[n]{2}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \sqrt[n]{2} = 2^{\frac{1}{n}}$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 2^{0} = 1 \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

 

(e). $\sum_{n = 1}^{\infty} \ln \left( \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} \right)$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \ln \left( \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} \right)$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \ln \left( \frac{1}{2} \right) \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \text{arctan} (n)$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \text{arctan} (n)$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \frac{\pi}{2} \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

 

(g). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{e^{n}} + \frac{1}{n(n + 1)} \right)$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = \left( \frac{1}{e} \right)^{n}$이라고 할 때 기하급수의 공비는 1보다 작으므로 첫번째 항은 수렴한다. 그리고 $b_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$이라고 할 때 $s^{b_{n}}_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$이므로 두번째 항은 1로 수렴한다. 따라서, 전체 무한급수의 수렴값은 $\frac{e}{e - 1} + 1$이다. 

 

연습문제5. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{2n - 3}$

(b). $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k(k + 2)}{(k + 3)^{2}}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 3^{n}}{2^{n}}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} [(0.8)^{n - 1} - (0.3)^{n}]$

(e). $\sum_{k = 1}^{\infty} (\cos(1))^{k}$

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{3}{5^{n}} + \frac{2}{n} \right)$

(g). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n^{2}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{2n - 3}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{n + 1}{2n - 3}$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \frac{1}{2} \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

 

(b). $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k(k + 2)}{(k + 3)^{2}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{n(n + 2)}{(n + 3)^{2}}$이라고 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1 \neq 0$이므로 따름정리1에 의해 주어진 급수는 발산한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + 3^{n}}{2^{n}}$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{1 + 3^{n}}{2^{n}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \left( \frac{3}{2} \right)^{n}$이라고 하면 두번째 항은 발산하기 때문에 주어진 급수는 발산한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} [(0.8)^{n - 1} - (0.3)^{n}]$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (0.8)^{n - 1}$이라고 하면 기하급수의 공비는 1보다 작으므로 $\sum_{n  = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{1}{1 - 0.8} = \frac{1}{0.2} = 5$이다. 그리고 $b_{n} = (0.3)^{n}$이라고 하면 기하급수의 공비는 1보다 작으므로 $\sum_{n  = 1}^{\infty} b_{n} = \frac{0.3}{1 - 0.3} = \frac{3}{7}$이다. 따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) = 5 - \frac{3}{7} = \frac{32}{7}$이다. 

 

(e). $\sum_{k = 1}^{\infty} (\cos(1))^{k}$ 수렴 (Convergence)

 

$a_{n} = (\cos(1))^{n}$이라고 하면 기하급수의 공비는 1보다 작으므로 수렴한다. 따라서, $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{\cos(1)}{1 - \cos(1)}$이다. 

 

(f). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{3}{5^{n}} + \frac{2}{n} \right)$ 발산 (Divergence)

 

$a_{n} = \frac{3}{5^{n}} + \frac{2}{n}$이라고 할 때 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} > \frac{2}{n}$이므로 $s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{n} > \sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{i} > \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}$이다. 이때, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$은 발산하므로 이보다 큰 $s_{n}$ 역시 발산한다.

 

(g). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n^{2}}$  발산 (Divergence)

 

연습문제6. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2}{n^{2} - 1}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2} + 4n + 3}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n(n + 3)}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \ln \left( \frac{n}{n + 1} \right)$

 

(a). $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2}{n^{2} - 1}$ 수렴 (Convergence)

 

$n \ge 2$인 자연수에 대해서 $a_{n} = \frac{2}{n^{2} - 1}$이라고 할 때 부분분수법을 이용해 다음과 같이 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{n} &= \frac{2}{n^{2} - 1} \\ &= \frac{2}{(n - 1)(n + 2)} \\ &= \frac{2}{(n + 1) - (n - 1)} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \end{align*}$$

 

따라서, $s_{n} = \sum_{k = 2}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 2}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 2}^{n} \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1} \right) \\ &= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n - 3} - \frac{1}{n - 1} \right) + \left( \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = \frac{3}{2}$이다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2} + 4n + 3}$ 수렴 (Convergence)

 

$n \ge 1$인 자연수에 대해서 $a_{n} = \frac{2}{n^{2} + 4n + 3}$이라고 할 때 부분분수법을 이용해 다음과 같이 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{n} &= \frac{2}{n^{2} + 4n + 3} \\ &= \frac{2}{(n + 1)(n + 3)} \\ &= \frac{2}{(n + 3) - (n + 1)} \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \end{align*}$$

 

따라서, $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 3} \right) \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \right) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \\ &= \frac{5}{6} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{5}{6} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{5}{6}$이다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n(n + 3)}$ 수렴 (Convergence)

 

$n \ge 1$인 자연수에 대해서 $a_{n} = \frac{3}{n(n + 3)}$이라고 할 때 부분분수법을 이용해 다음과 같이 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{n} &= \frac{3}{n(n + 3)} \\ &= \frac{3}{(n + 3) - n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \end{align*}$$

 

따라서, $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 3} \right) \\ &= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 2} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3} \right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \\ &= \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} \right) = \frac{11}{6}$이다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \ln \left( \frac{n}{n + 1} \right)$ 발산 (Divergence)

 

$n \ge 1$인 자연수에 대해서 $a_{n} = \ln \left( \frac{n}{n + 1} \right) = \ln (n) - \ln (n + 1)$이라고 하자. 따라서, $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \ln \left( \ln (k) - \ln (k + 1) \right) \\ &= ( \ln(1) - \ln(2) ) + ( \ln (2) - \ln (3) ) + \cdots + ( \ln (n - 1) - \ln (n) ) + ( \ln (n) - \ln (n + 1) ) \\ &= \ln \left( \frac{1}{n + 1} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( \frac{1}{n + 1} \right) = -\infty$이다.  

 

연습문제7. 주어진 무한급수의 수렴성을 판단하라. 만약 수렴한다면 수렴값을 구하여라. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}} \right)$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \cos \left( \frac{1}{n^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{(n + 1)^{2}} \right) \right)$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}} \right)$ 수렴 (Convergence)

 

$n \ge 1$인 자연수에 대해서 $a_{n} = e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}}$ 이라고 하자. 따라서, $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \ln \left( e^{\frac{1}{k}} - e^{\frac{1}{k + 1}} \right) \\ &= ( e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{2}} ) + ( e^{\frac{1}{2}} - e^{\frac{1}{3}} ) + \cdots + ( e^{\frac{1}{n - 1}} - e^{\frac{1}{n}} ) + ( e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}} ) \\ &= e - e^{\frac{1}{n + 1}} \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( e - e^{\frac{1}{n + 1}} \right) = e - 1$이다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \cos \left( \frac{1}{n^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{(n + 1)^{2}} \right) \right)$ 수렴 (Convergence)

 

$n \ge 1$인 자연수에 대해서 $a_{n} = \cos \left( \frac{1}{n^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{(n + 1)^{2}} \right)$ 이라고 하자. 따라서, $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$은 다음과 같이 소거되어 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} s_{n} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \ln \left( \cos \left( \frac{1}{k^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{(k + 1)^{2}} \right) \right) \\ &= ( \cos \left( \frac{1}{1^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{2^{2}} \right) ) + ( \cos \left( \frac{1}{2^{2}} - \cos \left( \frac{1}{3^{2}} \right) \right) ) + \cdots + ( \cos \left( \frac{1}{(n - 1)^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{n^{2}} \right) ) + ( \cos \left( \frac{1}{n^{2}} \right) - \cos \left( \frac{1}{(n + 1)^{2}} \right)) \\ &= \cos (1) - \cos \left( \frac{1}{(n + 1)^{2}} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \cos (1) - \cos (\frac{1}{(n + 1)^{2}}) \right) = \cos (1) - 1$이다. 

 

연습문제8. 다음 순환소수들을 분수꼴로 변환하라. 

 

(a). $0.\overline{2} = 0.22222 \cdots$

(b). $0.\overline{73} = 0.737373 \cdots$

(c). $3.\overline{417} = 3.417417417 \cdots$

(d). $6.2\overline{54} = 6.2545454 \cdots$

(e). $1.53\overline{42} = 1.53424242 \cdots$

(f). $7.\overline{12345} = 7.123451234512345 \cdots$

 

(a). $0.\overline{2} = 0.22222 \cdots$

 

$$\begin{align*} 0.\overline{2} &= 0.22222 \cdots \\ &= 0.2 + 0.02 + 0.002 + \cdots \\ &= \frac{2}{10} + \frac{2}{10^{2}} + \frac{2}{10^{3}} + \cdots \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{2}{10^{n}}$이라고 할 때, $0.\overline{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{\frac{2}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{2}{9}$이다. 

 

(b). $0.\overline{73} = 0.737373 \cdots$

 

$$\begin{align*} 0.\overline{73} &= 0.737373 \cdots \\ &= 0.73 + 0.0073 + 0.000073 + \cdots \\ &= \frac{73}{100} + \frac{73}{100^{2}} + \frac{73}{100^{3}} + \cdots \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{73}{100^{n}}$이라고 할 때, $0.\overline{73} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{\frac{73}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{73}{99}$이다. 

 

(c). $3.\overline{417} = 3.417417417 \cdots$

 

$$\begin{align*} 3.\overline{417} &= 3.417417417 \cdots \\ &= 3 + 0.417 + 0.000417 + 0.000000417 + \cdots \\ &= 3 + \frac{417}{1000} + \frac{417}{1000^{2}} + \frac{417}{1000^{3}} + \cdots \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{417}{1000^{n}}$이라고 할 때, $3.\overline{417} = 3 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 3 +  \frac{\frac{417}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = 3 + \frac{147}{999} = \frac{1048}{333}$이다. 

 

(d). $6.2\overline{54} = 6.2545454 \cdots$

 

$$\begin{align*} 6.2\overline{54} &= 6.2545454 \cdots \\ &= 6.2 + 0.054 + 0.00054 + 0.0000054 + \cdots \\ &= 6.2 + \frac{1}{10} \cdot ( 0.54 + 0.0054 + 0.000054 + \cdots ) \\ &= 6.2 + \frac{1}{10} \cdot \left( \frac{54}{100} + \frac{54}{100^{2}} + \frac{54}{100^{3}} + \cdots \right) \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{54}{100^{n}}$이라고 할 때, $6.2\overline{54} = 6.2 + \frac{1}{10} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 6.2 + \frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{54}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{344}{55}$이다. 

 

(e). $1.53\overline{42} = 1.53424242 \cdots$

 

$$\begin{align*} 1.53\overline{42} &= 1.53424242 \cdots \\ &= 1.53 + 0.0042 + 0.000042 + 0.00000042 + \cdots \\ &= 1.53 + \frac{1}{100} \cdot ( 0.42 + 0.0042 + 0.000042 + \cdots ) \\ &= 1.53 + \frac{1}{100} \cdot \left( \frac{42}{100} + \frac{42}{100^{2}} + \frac{42}{100^{3}} + \cdots \right) \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{42}{100^{n}}$이라고 할 때, $1.53\overline{42} = 1.53 + \frac{1}{100} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1.53 + \frac{1}{100} \cdot \frac{\frac{42}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{5063}{3300}$이다. 

 

(f). $7.\overline{12345} = 7.123451234512345 \cdots$

 

$$\begin{align*} 7.\overline{12345} &= 7.123451234512345 \cdots \\ &= 7 + 0.12345 + 0.0000012345 + 0.000000000012345 + \cdots \\ &= 7 + \frac{12345}{100000} + \frac{12345}{100000^{2}} + \frac{12345}{100000^{3}} + \cdots \end{align*}$$

 

위 순환소수에서 $a_{n} = \frac{12345}{100000^{n}}$이라고 할 때, $7.\overline{12345} = 7 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 7 + \frac{\frac{12345}{100000}}{1 - \frac{1}{100000}} = \frac{237446}{33333}$이다. 

 

연습문제9. 주어진 기하급수가 주어졌을 때 수렴하는 $x$의 범위를 구하시오. 

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3^{n}}$

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (x - 4)^{n}$

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n}x^{n}$

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x + 3)^{n}}{2^{n}}$

 

(a). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3^{n}}$

 

정의2의 설명에 의해 주어진 기하급수가 수렴하기 위해서는 공비 $|r| = \left| \frac{x}{3} \right| < 1$을 만족해야하므로 $-3 < x < 3$에서는 주어진 급수가 수렴한다. 

 

1) $x = 3$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 = \infty$

2) $x = -3$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1) = -\infty$

 

따라서, 최종적으로 $-3 < x < 3$에서 주어진 기하급수는 수렴한다. 

 

(b). $\sum_{n = 1}^{\infty} (x - 4)^{n}$

 

정의2의 설명에 의해 주어진 기하급수가 수렴하기 위해서는 공비 $|r| = \left| x - 4 \right| < 1$을 만족해야하므로 $3 < x < 5$에서는 주어진 급수가 수렴한다. 

 

1) $x = 3$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}$는 진동한다. 

2) $x = 5$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 = \infty$

 

따라서, 최종적으로 $3 < x < 5$에서 주어진 기하급수는 수렴한다. 

 

(c). $\sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n}x^{n}$

 

정의2의 설명에 의해 주어진 기하급수가 수렴하기 위해서는 공비 $|r| = \left| 4x \right| < 1$을 만족해야하므로 $-\frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$에서는 주어진 급수가 수렴한다. 

 

1) $x = -\frac{1}{4}$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}$는 진동한다. 

2) $x = \frac{1}{4}$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 = \infty$

 

따라서, 최종적으로 $-\frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$에서 주어진 기하급수는 수렴한다. 

 

(d). $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x + 3)^{n}}{2^{n}}$

 

정의2의 설명에 의해 주어진 기하급수가 수렴하기 위해서는 공비 $|r| = \left| \frac{x + 3}{2} \right| < 1$을 만족해야하므로 $-5 < x < -1$에서는 주어진 급수가 수렴한다. 

 

1) $x = -5$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}$는 진동한다. 

2) $x = -1$인 경우 $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 = \infty$

 

따라서, 최종적으로 $-5 < x < -1$에서 주어진 기하급수는 수렴한다. 

 

연습문제10. 수열 $a_{n}$의 부분합 $s_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$이 주어졌을 때 수열 $a_{n}$의 일반항을 찾고 $\sum_{n = 1}^{\infty}$를 구하여라.

 

부분합의 정의에 의해 $a_{n} = s_{n} - s_{n - 1} = \frac{2}{n(n + 1)}$이다. 그리고 $\sum_{n = 1}^{\infty} = \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = 1$이다.