미적분학 - 수열

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계와 원뿔 단면 곡선에서는 원뿔 단면으로 얻어지는 다양한 곡선들(타원, 포물선, 쌍곡선)을 극좌표계로 표현하는 방법과 함께 이심률(eccentricity)에 따른 곡선 모양의 변화를 관찰해보았습니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 수열(sequence)에 대해서 이야기 해보도록 하겠습니다. 

 

일단, 수열이란 어떤 규칙을 가진 수의 나열을 의미합니다. 예를 들어서, 아래와 같은 수열이 있다고 가정해보겠습니다. 

 

$$1, 3, 5, 7, 9, ...$$

 

이 경우에는 홀수들의 나열이라고 할 수 있겠죠. 이 역시 수열입니다. 이 수열을 표현하는 방법은 $\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots \}$를 이용합니다. 여기서 중요한 것은 $a_{n}$과 그 이후에도 계속 수가 나열된다는 점입니다. 이때, $a_{n}$은 일반항(general term)이라 부르고 주어진 수열을 대수적으로 표현하였음을 의미합니다. 홀수를 가지는 수열의 일반항의 경우에는 아래와 같이 쓸 수 있겠죠. 

 

$$a_{n} = 2n - 1$$

 

이때, $n \ge 1$입니다. 

 

예제1. $\{\frac{3}{5}, -\frac{4}{25}, \frac{5}{125}, -\frac{6}{625}, \frac{7}{3125}, \cdots \}$의 일반항을 구하여라.

$$a_{1} = \frac{3}{5}, a_{2} = -\frac{4}{25}, a_{3} = \frac{5}{125}, a_{4} = -\frac{6}{625}, a_{5} = \frac{7}{3125}$$

 

위와 같이 수열에 숫자를 매김한다. 먼저, 주어진 수열의 분모는 $n$이 커짐에 따라서 5의 제곱으로 커지는 것을 관찰할 수 있다. 즉, $n$번째 수열에서 분모는 $5^{n}$이다. 다음으로 분자는 $n$번째 수열에서 2가 더 큰 $n + 2$이다. 마지막으로 부호가 교대로 바뀌는 것을 관찰할 수 있는데, 홀수번째 일때는 양수, 짝수번째 일때는 음수이므로 $(-1)^{n - 1}$이라고 할 수 있다. 이를 하나로 합쳐서 표현하면 아래와 같이 일반항을 작성할 수 있다. 

 

$$a_{n} = (-1)^{n - 1} \frac{n + 2}{5^{n}}$$

 

 정의1. 수열의 극한(limit of sequence)

만약, $a_{n}$이 $n$이 커질수록 $L$에 수열에 충분히 가까워지면 $\{a_{n}\}$의 극한(limit) $L$이 존재하고 아래와 같이 표기한다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$$

 

설명

위 그림과 같이 2가지 수열의 모습을 볼 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽 모두 $n$이 커짐에 따라서 $L$에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다. 다만 차이점은 오른쪽은 $L$을 중심으로 진동하면서 $L$로 접근하게 됩니다. 이때, $n$이 충분히 클 때 모두 동일하게 $L$에 가까운 것을 관찰할 수 있죠. 즉, 수열의 극한에서 $n$이 작을 때는 어떠한 영향력도 없으며 충분히 커야 실제 $L$을 유추할 수 있다는 점입니다. 

 

이를 좀 더 정확한 정의로 바꾸어보도록 하겠습니다. 

 

 정의2. 수열 극한의 정확한 정의 1

임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대해서 $n > N$일 때 $\left|a_{n} - L\right| < \epsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다면 수열 $\{a_{n}\}$의 극한 $L$이 존재하고 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$로 작성한다. 

 

설명

혹시 지난 포스팅의 미적분학 - 정확한 극한의 정의 1를 기억하시나요? 해당 포스팅을 이해하셨다면 이번에는 더 쉽습니다. $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$가 진행될수록 어떤 숫자 $L$에 가까워지고 있음을 볼 수 있습니다. 이때, 아무리 작은 양수 $\epsilon$을 잡더라도 $L$이 $\left(a_{n} - \epsilon, a_{n} + \epsilon\right)$ 사이에 잡도록 만들 수 있다면 해당 수열은 극한값 $L$을 가지게 됩니다. 

 

처음 그림으로 한번 더 보시면 $n$이 충분히 커지면 어느 순간 $L$이 $\left(a_{n} - \epsilon, a_{n} + \epsilon\right)$ 사이에 있도록 만들 수 있기 때문에 해당 수열이 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

 정의3. 수열 극한의 정확한 정의 2

임의의 양수 $M > 0$에 대해서 $n > N$일 때 $a_{n} > M$을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다면 수열 $\{a_{n}\}$의 극한은 무한대로 발산하고 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \infty$로 작성한다. 

 

연습문제1. 주어진 수열의 처음 3개의 항을 구하여라.

 

(a). $a_{n} = 1 - (0.2)^{n}$

(b). $a_{n} = \frac{n + 1}{3n - 1}$

(c). $a_{n} = \frac{3 \cdot (-1)^{n}}{n!}$

(d). $\{ 2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) \}$

(e). $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2a_{n} - 1$

(f). $a_{1} = 4, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$

 

(a). $a_{n} = 1 - (0.2)^{n}$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= 1 - (0.2)^{1} = 0.8 \\ a_{2} &= 1 - (0.2)^{2} = 1 - 0.04 = 0.96  \\ a_{3} &= 1 - (0.2)^{3} = 1 - 0.008 = 0.992 \end{cases}$$

 

(b). $a_{n} = \frac{n + 1}{3n - 1}$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= \frac{1 + 1}{3 \cdot 1 - 1} = 1 \\ a_{2} &= \frac{2 + 1}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{3}{5}  \\ a_{3} &= \frac{3 + 1}{3 \cdot 3 - 1} = \frac{1}{2} \end{cases}$$

 

(c). $a_{n} = \frac{3 \cdot (-1)^{n}}{n!}$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= \frac{3 \cdot (-1)}{1!} = -3 \\ a_{2} &= \frac{3 \cdot (-1)^{2}}{2!} = \frac{3}{2}  \\ a_{3} &= \frac{3 \cdot (-1)^{3}}{3!} = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

 

(d). $\{ 2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) \}$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= 2 \\ a_{2} &= 2 \cdot 4 = 8  \\ a_{3} &= 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48 \end{cases}$$

 

(e). $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2a_{n} - 1$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= 3 \\ a_{2} &= 2a_{1} - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5  \\ a_{3} &= 2a_{2} - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9 \end{cases}$$

 

(f). $a_{1} = 4, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$

 

$$\begin{cases} a_{1} &= 4 \\ a_{2} &= \frac{a_{1}}{a_{1} - 1} = \frac{4}{3}  \\ a_{3} &= \frac{a_{2}}{a_{2} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4 \end{cases}$$

 

 

연습문제2. 다음 4개 항으로 이루어진 수열이 주어졌을 때 일반항 $a_{n}$을 구하여라.

 

(a). $\{ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots \}$

(b). $\{ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \}$

(c). $\{ 2, 7, 12, 17, \dots \}$

(d). $\{ -\frac{1}{4}, \frac{2}{9}, -\frac{3}{16}, \frac{4}{25}, \dots \}$

(e). $\{ 1, -\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, -\frac{8}{27}, \dots \}$

(f). $\{ 5, 1, 5, 1, \dots \}$

 

(a). $\{ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots \} \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{2n - 1}$

 

(b). $\{ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \} \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

 

(c). $\{ 2, 7, 12, 17, \dots \} \Rightarrow a_{n} = 2 + 5(n - 1) = 5n - 3$

 

(d). $\{ -\frac{1}{4}, \frac{2}{9}, -\frac{3}{16}, \frac{4}{25}, \dots \} \Rightarrow a_{n} = \frac{(-1)^{n} n}{(n + 1)^{2}}$

 

(e). $\{ 1, -\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, -\frac{8}{27}, \dots \} \Rightarrow a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1} 2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

 

(f). $\{ 5, 1, 5, 1, \dots \} \Rightarrow a_{n} = \begin{cases} 5 \text{ if $n$ is odd } \\ 1 \text{ Otherwise } \end{cases}$

 

연습문제3. 다음 수열 일반항 $a_{n}$이 주어졌을 때 수렴성을 판단하라. 수렴한다면 극한값을 추정하라.

 

(a). $a_{n} = 1 - (0.2)^{n}$

(b). $a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$

 

(a). $a_{n} = 1 - (0.2)^{n}$ 수렴 (Converge)

 

$0.2 < 1$이기 때문에 $\lim_{n \rightarrow \infty} (0.2)^{n} = 0$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1$이다. 

 

(b). $a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3}}{n^{3} + 1} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^{3}}} = 1 \end{align*}$$

 

연습문제4. 다음 수열 일반항 $a_{n}$이 주어졌을 때 수렴성을 판단하라. 수렴한다면 극한값을 추정하라.

 

(a). $a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}}$

(b). $a_{n} = \frac{n^{3}}{n + 1}$

(c). $a_{n} = e^{\frac{1}{n}}$

(d). $a_{n} = \frac{3^{n + 2}}{5^{n}}$

(e). $a_{n} = \tan \left( \frac{2n\pi}{1 + 8n} \right)$

(f). $a_{n} = \sqrt{\frac{n + 1}{9n + 1}}$

(g). $a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}n}{n^{2} + 1}$

(h). $a_{n} = \frac{(-1)^{n}n^{3}}{n^{3} + 2n^{2} + 1}$

 

(a). $a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{n^{2}} + 5}{\frac{1}{n} + 1} = 5 \end{align*}$$

 

(b). $a_{n} = \frac{n^{3}}{n + 1}$ 발산 (Diverge)

 

수열 $a_{n}$은 증가수열이면서 유계수열이 아니기 때문에 무한대로 발산한다. $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \infty$

 

(c). $a_{n} = e^{\frac{1}{n}}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n}} \\ &= e^{0} = 1 \end{align*}$$

 

(d). $a_{n} = \frac{3^{n + 2}}{5^{n}}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n}} \\ &= e^{0} = 1 \end{align*}$$

 

(e). $a_{n} = \tan \left( \frac{2n\pi}{1 + 8n} \right)$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \tan \left( \frac{2n\pi}{1 + 8n} \right) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \tan \left( \frac{2\pi}{\frac{1}{n} + 8} \right) \\ &= \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \end{align*}$$

 

(f). $a_{n} = \sqrt{\frac{n + 1}{9n + 1}}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n + 1}{9n + 1}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{n}}{9 + \frac{1}{n}}} \\&= \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \end{align*}$$

 

(g). $a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}n}{n^{2} + 1}$  수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n - 1} n}{n^{2} + 1} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(-1)^{n - 1}}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} \\&= \frac{0}{1} = 0 \end{align*}$$

 

(h). $a_{n} = \frac{(-1)^{n}n^{3}}{n^{3} + 2n^{2} + 1}$  발산 (Diverge)

 

$n = 2k$일 때 $\lim_{n \rightarrow} a_{n} = \lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k} = 1$ 그리고 $n = 2k - 1$일 때 $\lim_{n \rightarrow} a_{n} = \lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k - 1} = -1$로 수렴하기 때문에 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$은 발산한다. 

 

연습문제5. 다음 수열 일반항 $a_{n}$이 주어졌을 때 수렴성을 판단하라. 수렴한다면 극한값을 추정하라.

 

(a). $a_{n} = \cos(\frac{n}{2})$

(b). $a_{n} = \cos(\frac{2}{n})$

(c). $\{ \frac{(2n - 1)!}{(2n + 1)!} \}$

(d). $\{ \text{arctan} (2n) \}$

(e). $\{ \frac{e^{n} + e^{-n}}{e^{2n} - 1} \}$

(f). $\{ \frac{\ln (n)}{\ln (2n)} \}$

(g). $\{ n^{2}e^{-n} \}$

(h). $\{ n\cos(n\pi) \}$

 

(a). $a_{n} = \cos(\frac{n}{2})$  발산 (Diverge)

 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} = \infty$이기 때문에 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 역시 발산한다.

 

(b). $a_{n} = \cos(\frac{2}{n})$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \cos(\frac{2}{n}) \\ &= \cos (\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n}) \\&= \cos(0) = 1 \end{align*}$$

 

(c). $\{ \frac{(2n - 1)!}{(2n + 1)!} \}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n - 1)!}{(2n + 1)!} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n (2n + 1)} = 0 \end{align*}$$

 

(d). $\{ \text{arctan} (2n) \}$ 수렴 (Converge)

 

$\text{arctan}$의 정의를 활용하자. 

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \text{arctan} (2n) = \pi \end{align*}$$

 

(e). $\{ \frac{e^{n} + e^{-n}}{e^{2n} - 1} \}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{n} + e^{-n}}{e^{2n} - 1} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{-n} + e^{-3n}}{1 - e^{-2n}} = 0 \end{align*}$$

 

(f). $\{ \frac{\ln (n)}{\ln (2n)} \}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n)}{\ln (2n)} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n)}{\ln (2) + \ln (n)} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{\ln (2)}{\ln (n)} + 1} = 1 \end{align*}$$

 

(g). $\{ n^{2}e^{-n} \}$ 수렴 (Converge)

 

다항식보다 지수함수의 증가율이 더 크기 때문에 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{e^{n}} = 0$이다. 

 

(h). $\{ n\cos(n\pi) \}$ 발산 (Diverge)

 

연습문제6. 다음 수열 일반항 $a_{n}$이 주어졌을 때 수렴성을 판단하라. 수렴한다면 극한값을 추정하라.

 

(a). $a_{n} = \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2}}$

(b). $a_{n} = \ln (n + 1) - \ln (n)$

(c). $a_{n} = n \sin(\frac{1}{n})$

(d). $a_{n} = \sqrt[n]{2^{1 + 3n}}$

(e). $a_{n} = \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{n}$

(f). $a_{n} = \frac{\sin(2n)}{1 + \sqrt{n}}$

(g). $a_{n} = \ln (2n^{2} + 1) - \ln (n^{2} + 1)$

 

(a). $a_{n} = \frac{\cos^{2} (n)}{n^{2}}$ 수렴 (Converge)

 

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $-1 \le \cos^{2} (n) \le 1$이므로 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$이다. 

 

(b). $a_{n} = \ln (n + 1) - \ln (n)$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} (\ln (n + 1) - \ln (n)) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln (\frac{n + 1}{n}) = \ln (1) = 0 \end{align*}$$

 

(c). $a_{n} = n \sin(\frac{1}{n})$ 발산 (Diverge)

 

(d). $a_{n} = \sqrt[n]{2^{1 + 3n}}$ 수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^{1 + 3n}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} 2^{\frac{1 + 3n}{n}} = 2^{3} = 8 \end{align*}$$

 

(e). $a_{n} = \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{n}$  수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{n} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{\frac{n}{2} \cdot 2} = e^{2} \end{align*}$$

 

(f). $a_{n} = \frac{\sin(2n)}{1 + \sqrt{n}}$ 발산 (Diverge)

 

(g). $a_{n} = \ln (2n^{2} + 1) - \ln (n^{2} + 1)$  수렴 (Converge)

 

$$\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} (\ln (2n^{2} + 1) - \ln (n^{2} + 1)) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( \frac{2n^{2} + 1}{n^{2} + 1} \right) = \ln (2) \end{align*}$$

 

연습문제7.  $n \ge 1$에 대해서 수열의 일반항이 $a_{n + 1} = 4 - a_{n}$와 같이 정의되었을 때 $a_{1} = 1$과 $a_{1} = 2$인 경우에 각각 수렴성을 판단하여라.

 

 1) $a_{n} = 1$인 경우

 

$$\begin{align*} a_{2} &= 4 - a_{1} = 4 - 1 = 3 \\ a_{3} &= 4 - a_{2} = 4 - 3 = 1 \\ a_{4} &= 4 - a_{3} = 4 - 1 = 3  \end{align*}$$

 

$a_{1} = 1$일 때 수열 $a_{n} = \{1, 3, 1, 3, \dots\}$로 진동하므로 발산한다. 

 

2) $a_{n} = 2$인 경우

 

$$\begin{align*} a_{2} &= 4 - a_{1} = 4 - 2 = 2 \\ a_{3} &= 4 - a_{2} = 4 - 2 = 2 \\ a_{4} &= 4 - a_{3} = 4 - 2 = 2  \end{align*}$$

 

$a_{1} = 2$일 때 수열 $a_{n} = 2$로 수렴한다. 

 

연습문제8. 수열 $\{ a_{n} \}$이 수렴한다고 가정했을 때 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$임을 증명하라. 

 

Since $\{ a_{n} \}$ converges, we can suppose that $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$ for some $L \in \mathbb{R}$. By the definition of limit, there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $| a_{n} - L | < \frac{\epsilon}{2}$ for all $\epsilon > 0$.

 

Now, we need to show that $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n + 1} = L$. And, it is equivalent to show that there exist $n \in \mathbb{N}$ such that $| a_{n + 1} - L | < \epsilon$ for all $\epsilon$. We assume that $n \ge N$. Then, the following inequality holds:

 

$$\begin{align*} |a_{n + 1} - L| &= |(a_{n + 1} - a_{n}) + (a_{n} - L)| \\ &\le | a_{n + 1} - a_{n} | + | a_{n} - L | < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$$

 

Consequently, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n + 1} = L = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$.

 

연습문제9. 수열 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}$으로 정의되고 초항 $a_{1} = 1$일 때 수열 $\{ a_{n} \}$이 수렴한다는 가정하에 극한값을 구하여라.

 

연습문제8에 의해 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$이므로 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}$의 양변에 $n \rightarrow \infty$인 극한을 취해준다. 

 

$$\begin{align*} &\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1 + a_{n}} \\ \Rightarrow& L = \frac{1}{1 + L} \\ \Rightarrow& L = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2} \end{align*}$$

 

이때, $a_{1} = 1$이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $a_{n} \ge 0$이여야한다. 따라서, $L = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$이다. 

 

연습문제10. 아래 수열의 극한을 구하여라. 

 

$$\{ \sqrt{2}, \sqrt{2\sqrt{2}}, \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}, \dots \}$$

 

$$\begin{align*} &a_{1} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \\ &a_{2} = \sqrt{2\sqrt{2}} = 2^{\frac{3}{4}} \\ &a_{3} = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = 2^{\frac{7}{8}} \end{align*}$$

 

규칙에 따라 $a_{n} = 2^{\frac{2^{n} - 1}{2^{n}}}$임을 알 수 있다. 따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} 2^{\left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right)} = 2$이다.