미적분학 - 극좌표계와 원뿔 단면 곡선

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원뿔 단면에서는 3차원 원뿔을 다양한 방식으로 잘랐을 때 얻어지는 곡선들과 함께 정의를 통해 대수적으로 표현하는 방법까지 알아보았습니다. 각각 타원, 포물선, 쌍곡선을 보았죠. 오늘은 이들을 극좌표계에서 표현해보도록 하겠습니다. 시작하기에 앞서 곡선들과 관련된 흥미로운 이론을 하나 소개해드리겠습니다. 

 

 정리1. 

$F$를 초점(focust), $I$를 준선(directrix)라고 하자. 이때, $e$를 고정된 양수을 가지는 이심률(eccentricity)를 아래와 같이 정의한다. 

 

$$e = \frac{\left|PF\right|}{\left|PI\right|}$$

 

그러면 $e < 1$이면 타원(ellipse), $e = 1$이면 포물선(parabola), $e > 1$이면 쌍곡선(hyperbola)이다. 

 

 증명

1). $e = 1$이라고 가정하면 이심률의 정의에 의해서 $\left|PF\right| = \left|PI\right|$이다. 이는 포물선의 정의와 일치하므로 $e = 1$이라면 포물선이다. 

 

2).

 

좀 더 일반적인 경우를 증명하기 위해 극좌표계를 사용하여 위와 같은 그림을 고려한다. 그러면, $\left|PF\right| = r$ 이고 $\left|PI\right| = d - r\cos(\theta)$이다. 이때, 이심률의 정의에 의해 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$e = \frac{\left|PF\right|}{\left|PI\right|} \Rightarrow \left|PF\right| = e\left|PI\right| \Rightarrow r = e(d - r\cos(\theta))$$

 

여기서, 극좌표계를 직교좌표계로 변환한다. 

 

$$x^{2} + y^{2} = e^{2}(d - x)^{2} = e^{2}(d^{2} - 2dx + x^{2}) \Rightarrow (1 - e^{2})x^{2} + 2de^{2}x + y^{2} = e^{2}d^{2}$$

 

또는 완전제곱식의 형태로 아래와 같이 쓸 수 있다.

 

$$\left(x + \frac{e^{2}d}{1 - e^{2}}\right)^{2} + \frac{y^{2}}{1 - e^{2}} = \frac{e^{2}d^{2}}{(1 - e^{2})^{2}}$$

 

이때, $e < 1$라고 하면 $h = -\frac{e^{2}d}{1 - e^{2}}, a^{2} = \frac{e^{2}d^{2}}{(1 - e^{2})^{2}}, b^{2} = \frac{e^{2}d^{2}}{1 - e^{2}}$이라고 할 때, 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

 

$e > 1$일 때도 마찬가지로 쌍곡선으로 표현할 수 있다. 

 

결론적으로 위 정리의 증명 과정에서 이미 극좌표계에서 곡선들을 표현할 수 있는 방법을 유도할 수 있습니다. 

 

$$r = e(d - r\cos(\theta)) \Rightarrow r = \frac{ed}{1 + e\cos(\theta)}$$

 

위 수식은 가장 오른쪽 그림의 형태입니다. 따라서 모든 형태의 곡선은 아래의 4개의 식 중 하나로 표현할 수 있습니다. 

 

$$r = \frac{ed}{1 \pm e\cos(\theta)}$$

$$r = \frac{ed}{1 \pm e\sin(\theta)}$$