미적분학 - 멱급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서는 비판정법(ratio test)와 근판정법(root test)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 멱급수(power series)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 멱급수(power series)

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots$의 형태를 가진 무한급수를 멱급수라고 한다. 

 

 설명

멱급수의 가장 간단한 예시는 모든 $n$에 대해서 $c_{n} = 1$일 때 입니다. 그러면 저희는 아래의 식을 얻을 수 있죠.

 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots$$

 

이는 기하급수입니다. 즉, 기하급수도 멱급수의 한 예시라고 할 수 있다는 것이죠. 하지만, 모든 $x$에 대해서 수렴은 하지 않습니다. $|x| < 1$일 때는 수렴하고 $|x| > 1$일 때는 발산합니다. 이와 같이 수렴하는 정의역 내의 구간을 수렴반경(Radius of Convergence)라고 합니다. 그리고 멱급수에서는 수렴반경을 찾는 것이 굉장히 중요한 문제입니다. 간단한 예제로 설명드리도록 하겠습니다. 

 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} n!x^{n} = 1 + 1! \cdot x + 2! \cdot x^{2} + 3! \cdot x^{3} + \cdots$$

 

수렴성을 판단하기 위해서 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서 알아본 비판정법을 적용해보도록 하겠습니다. 일단, $a_{n} = n! x^{n}$이라고 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(n + 1)! x^{n + 1}}{n! x^{n}}\right| \\ &= (n + 1) \left|x\right|\end{align*}$$

 

잘보시면 이 멱급수는 $x \neq 0$일 때는 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \infty$입니다. 따라서, 이 멱급수는 어떠한 $x \neq 0$일 때는 발산합니다. 그렇다면 $x = 0$일 때는 어떨까요? 이 경우에는 그냥 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = 0 < 1$이기 때문에 수렴하게 됩니다. 따라서, 이 멱급수의 수렴반경은 $\{0\}$입니다. 

 

예제1. 멱급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n}$의 수렴반경을 구하여라.

$a_{n} = \frac{(x - 3)^{n}}{n}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(x - 3)^{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{(x - 3)^{n}}\right| \\ &= \frac{n + 1}{n} \cdot \left|x - 3\right| \rightarrow \left|x - 3\right|\end{align*}$$

 

이때, 주어진 멱급수가 수렴하기 위해서는 $\left|x - 3\right| < 1$이여야하기 때문에 $2 < x < 4$에서 수렴한다. 마지막으로 $\left|x - 3\right| = 1$인 경우에는 비판정법에 의해 판정할 수 없기 때문에 직접 대입하여 수렴성을 판별한다. 

 

1). $x = 2$일 경우, $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$이고, 이는 미적분학 - 교대급수에서 얻은 결과로 인해 수렴하는 것을 알 수 있다.

2). $x = 4$일 경우, $a_{n} = \frac{1}{n}$이고, 이는 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 p-급수 수렴판정법으로 인해 발산한다. 

 

따라서, 주어진 멱급수의 수렴반경은 $R = [2, 4)$이다.