미적분학 - 함수의 멱급수 표현

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 멱급수에서는 멱급수(power series)와 수렴반경(radius of convergence)의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 어떤 함수를 멱급수의 형태로 표현하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 

 

일단, 함수를 멱급수로 표현한다는 의미부터 생각해보겠습니다. 예를 들어 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$라는 함수를 생각해보도록 하겠습니다. 이 함수의 경우에는 다르게 표현할 수도 있습니다. 왜냐하면 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ 역시 기하급수의 성질에 의해서 $\left|x\right| < 1$에서는 $\frac{1}{1 - x}$로 표현될 수 있습니다. 

 

$$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$$

 

 

실제로 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$와 $s_{n} = \sum_{i = 0}^{n} i^{n}$을 동일한 그래프에 그려보면 위와 같은 관계성을 볼 수 있습니다. $n$이 점점 커질수록 $s_{n}$이 $f$의 개형과 유사해지는 게 됩니다. 즉, 함수를 멱급수로 표현한다는 것은 복잡한 함수를 단순한 다항식의 무한합으로 근사한다는 것을 의미합니다. 

 

다른 예제로 $f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$을 멱급수의 형태로 표현해보도록 하겠습니다. 일단, 이와 같은 함수의 멱급수 형태를 구하기 위해서는 항상 가장 간단한 기하급수를 고려해야합니다. 

 

$$f(x) = \frac{1}{1 - (-x^{2})}$$

 

위와 같이 $f(x)$를 바꾸어서 생각하게 되면 처음에 보았던 예제에서 $x \rightarrow -x^{2}$으로만 수식이 변경된 것을 볼 수 있습니다. 이를 다시 써보면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 - (-x^{2})} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-x^{2})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n}$$

 

여기서 중요한 점은 수렴반경입니다. 멱급수는 모든 $x$에 대해서 항상 수렴하지는 않습니다. 따라서 수렴반경을 명시해주어야하는데요. 이 경우에는 기하급수의 형태를 띠고 있기 때문에 미적분학 - 급수에서 보았던 기하급수의 수렴반경을 고려하면 됩니다. 따라서, 주어진 멱급수의 수렴반경은 $\left|-x^{2}\right| < 1 \rightarrow x^{2} < 1$ 이기 때문에 $\left|x\right| < 1$이 됩니다. 

 

예제1. 함수 $\frac{1}{x + 2}$를 멱급수로 표현하라.

$f(x) = \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2\left(1 + x / 2\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(-x / 2\right)}$라고 할 때, 기하급수의 형태를 적용하면 아래와 같이 표현할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \frac{1}{x + 2} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(-x / 2\right)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \left(-\frac{x}{2}\right)^{n} \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \left(-1\right)^{n} \frac{1}{2^{n + 1}} x^{n}\end{align*}$$

 

마지막으로 수렴반경을 구하기 위해 미적분학 - 급수에서 보았던 기하급수의 수렴반경을 고려한다. 

 

$$\left|-\frac{x}{2}\right| < 1 \rightarrow \left|x\right| < 2$$

 

즉, 함수 $\frac{1}{x + 2}$는 구간 $(-2, 2)$에서 멱급수 $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{2^{n + 1}} x^{n}$으로 표현할 수 있다. 

 

 정리1. 멱급수의 미적분

멱급수 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$이 수렴반경 $R > 0$을 가지고 함수 $f$가 멱급수로 표현된다고 가정하자.

 

$$f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2}(x - a)^{2} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$$

 

이때, 함수 $f$는 구간 $(a - R, a + R)$에서 미분가능하고 적분가능하다. 

 

1). $f^{'}(x) = c_{1} + c_{2}(x - a) + 3c_{3}(x - a)^{2} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} nc_{n}(x - a)^{n - 1}$

2). $\int f(x) \; dx = C + c_{0}(x - a) + \frac{c1 (x - a)^{2}}{2} + \frac{c2 (x - a)^{3}}{3} + \cdots = C + \sum_{n = 0} c_{n}\frac{(x - a)^{n + 1}}{n + 1}$

 

그리고 각 도함수 $f^{'}$와 적분함수 $\int f(x) \; dx$의 멱급수 표현은 기존 함수 $f$와 동일한 수렴반경 $R$을 가진다. 

 

 설명

위 정리를 통해서 보다 복잡한 형태의 함수를 멱급수로 표현할 수 있습니다. 먼저, 미분을 예로 보여드리겠습니다. 함수 $f(x) = \frac{1}{(1 - x)^{2}}$을 멱급수로 표현한다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 $g(x) = \frac{1}{1 - x}$라고 할 때, $f(x) = g^{'}(x)$임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, 저희가 이전에 보았던 $g(x)$의 멱급수 표현을 미분하기만 하면 바로 원하는 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{(1 - x)^{2}} \\ &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 - x}\right) \\ &= \frac{d}{dx} \left(\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}\right) \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty} nx^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1)x^{n} \end{align*}$$

 

다음으로는 적분입니다. 함수 $f(x) = \ln(1 - x)$를 멱급수로 표현한다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 $g(x) = \frac{1}{1 - x}$라고 할 때, $f(x) = -\int g(x) \; dx$임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, 저희가 이전에 보았던 $g(x)$의 멱급수 표현을 적분하기만 하면 바로 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.  

 

$$\begin{align*} f(x) &= \ln(1 - x) \\ &= -\int \frac{1}{1 - x} \; dx \\ &= -\int \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \; dx \\ &= -\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C = -\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} + C \end{align*}$$

 

마지막으로 저희는 적분상수 $C$만 결정하면 될텐데요? 아주 간단합니다. $x = 0$이라고 할 때, $f(x) = 0$이기 때문에 이를 활용하면 $C = 0$을 얻을 수 있습니다. 따라서, 최종적으로는 아래와 같이 표현됩니다. 

 

$$f(x) = \ln(1 - x) = -\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$$