미적분학 - 복잡한 함수의 테일러 급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 테일러 급수와 맥클로린 급수에서는 테일러 급수와 맥클로린 급수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 또한, 간단한 함수인 $f(x) = e^{x}$의 맥클로린 급수 표현도 구해보았습니다. 오늘은 보다 복잡한 형태의 함수들의 테일러 급수 또는 맥클로린 급수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

먼저, 삼각함수로 시작해보도록 하겠습니다. 함수 $f(x) = \sin(x)$의 맥클로린 급수를 구해보도록 하죠. 맥클로린 급수의 계수는 아래와 같습니다. 

 

$$c_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

 

따라서, $f(x) = \sin(x)$를 여러 번 미분해보아야 합니다. 

 

$$\begin{align*} &f^{'}(0) = 1 \\ &f^{''}(x) = 0 \\ &f^{'''}(x) = -1 \\ &f^{(4)}(x) = 0 \\ \vdots \end{align*}$$

 

자, 일단 4번 정도 미분을 해보았습니다. 어떠한 규칙성을 가지고 도함수가 변화하는 지 눈치채셨나요? 일단 눈여겨볼것은 부호입니다. $n = 1, 3$일 때는 음수, $n = 2, 4$일 때는 양수임을 볼 수 있죠. 따라서, $c_{n}$에는 $(-1)^{n}$이 붙어있음을 쉽게 예상할 수 있습니다. 다음으로 $n = 2, 4$와 같은 짝수 일때는 $f^{(n)}(0) = 0$이 되는 것을 볼 수 있습니다. 따라서, $n \ge 0$일 때 $c_{n}$은 아래와 같이 쓸 수 있죠.

 

$$c_{2n + 1} = \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}$$

 

이제 맥클로린 급수 공식에 대입하면 됩니다. 

 

$$\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}$$

 

그렇다면 $\cos(x)$의 맥클로린 급수는 어떻게 구할 수 있을까요? 위와 동일하게 도함수의 규칙성을 찾아내서 얻을 수도 있겠지만, 미적분학 - 함수의 멱급수 표현에서 보았던 정리1(멱급수의 미적분)을 적용할 수 있습니다. 따라서, 아래와 같이 쉽게 얻을 수 있죠. 

 

$$\begin{align*} \cos(x) &= \frac{d\sin(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n + 1)}{(2n + 1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots \end{align*} $$

 

 정리1. $\sin(x)$와 $\cos(x)$의 맥클로린 급수 표현

 

$$\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}$$

 

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}$$

 

예제1. 함수 $f(x) = x\cos(x)$의 맥클로린 급수 표현을 구하여라.

정리1에 의해 $\cos(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}$임을 활용한다. 

 

$$x\cos(x) = x \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n + 1}$$

 

예제2. 임의의 양의 정수 $k$에 대해서 함수 $f(x) = (1 + x)^{k}$의 맥클로린 급수 표현을 구하여라.

$f(x) = (1 + x)^{k}$라고 하자. 

 

$$\begin{align*} &f^{'}(x) = k(1 + x)^{k - 1} \rightarrow f^{'}(0) = k \\ &f^{''}(x) = k(k - 1)(1 + x)^{k - 2} \rightarrow f^{''}(0) = k(k - 1) \\  &f^{'''}(x) = k(k - 1)(k - 2)(1 + x)^{k - 3} \rightarrow f^{'''}(0) = k(k - 1)(k - 2) \\ &\vdots \\ &f^{(n)}(x) = k(k - 1)(k - 2) \cdots (k - n + 1)(1 + x)^{k - n} \rightarrow f^{(n)}(0) = k(k - 1)(k - 2) \cdots (k - n + 1) \end{align*}$$

 

$f(x)$의 맥클로린 급수 표현은 아래와 같다. 

 

$$(1 + x)^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{k(k - 1)(k - 2) \cdots (k - n + 1)}{n!} x^{n}$$

 

이때, $a_{n} = \frac{k(k - 1)(k - 2) \cdots (k - n + 1)}{n!}x^{n}$이라고 할 때, 수렴반경은 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{k(k - 1)\cdots(k - n + 1)(k - n)x^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdots \frac{n!}{k(k - 1) \cdots (k - n + 1)}\right| \\ &= \frac{\left|k - n\right|}{n + 1}\left|x\right| \\ &= \frac{\left|1 - \frac{k}{n}\right|}{1 + \frac{1}{n}}\left|x\right| \rightarrow \left|x\right|\end{align*}$$

 

따라서, 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3의 비판정법에 의해서 $\left|x\right| < 1$이면 수렴한다. 이때, 위와 같은 급수를 이항급수(binomial series)라고 한다.