미적분학 - 테일러 급수와 맥클로린 급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 멱급수 표현에서는 복잡한 형태의 함수를 단순한 다항식의 무한합으로 근사하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 원래는 기하급수 형태로 변환할 수 있는 $\frac{1}{1 - x}$ 꼴만 멱급수로 표현할 수 있었지만 미적분을 통해 더 다양한 함수들도 멱급수로 표현할 수 있게 되었습니다. 오늘은 특별한 형태의 멱급수인 테일러 급수(Taylor Series)와 맥클로린 급수(Maclaurin Series)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 

 

다시 한번 임의의 함수가 멱급수로 표현된다고 가정하고 수렴반경이 $\left|x - a\right| < R$이라고 할 때, 아래와 같이 표현할 수 있습니다.  

 

$$f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2}(x - a)^{2} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$$

 

저희의 궁금증은 임의의 계수 $c_{n}$을 특정하고 싶습니다. 어떤 방법이 있을까요? 일단, $x = a$를 대입해보도록 하겠습니다. 그러면 $f(a) = c_{0}$를 얻을 수 있죠. 다음으로 $c_{1}$은 어떻게 구할까요? 미분을 통해서 얻을 수 있습니다. 

 

$$f^{'}(x) = c_{1} + 2c_{2}(x - a) + 3c_{3}(x - a)^{2} + \cdots \rightarrow f^{'}(a) = c_{1}$$

 

이제 $c_{2}$도 구해보죠.

 

$$f^{''}(x) = 2 \cdot 1 c_{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 (x - a) + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 (x - a)^{2} + \cdots \rightarrow f^{''}(a) = 2!c_{2} \rightarrow c_{2} = \frac{f^{''}(a)}{2!}$$

 

이와 같이 반복적인 미분을 통해 급수의 임의의 계수 $c_{n}$를 구할 수 있습니다. 

 

$$c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

 

이때, $f^{(n)}$이란 함수 $f$를 $n$번 미분했다는 뜻입니다. 그리고 $n!$는 계승으로 $n$보다 작은 자연수의 모든 곱을 의미하며 $n! = n(n - 1)\cdots 2 \cdot 1$로 정의됩니다. 만약, $n = 0$일 경우에는 $0! = 1$로 생각하시면 됩니다. 

 

 정의 1. 테일러 급수(Taylor Series)

함수 $f$가 $x = a$를 중심으로 멱급수로 표현될 수 있다고 가정하자. 즉, 수렴반경 $\left|x - a\right| < R$에서 함수 $f$를 아래와 같이 표현할 수 있다고 하자.

 

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$$

 

그러면 임의의 계수는 $c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$로 구할 수 있으며 이와 같이 표현된 급수를 테일러 급수(Taylor Series)라고 한다. 

 

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n} = f(a) + \frac{f^{'}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{''}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{'''}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots $$

 

 정의2. 맥클로린 급수(Maclaurin Series)

함수 $f$가 테일러 급수로 표현된다고 가정할 때, $x = 0$을 중심으로 구한 테일러 급수를 맥클로린 급수(Maclaurin Series)라고 한다. 

 

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = f(0) + \frac{f^{'}(0)}{1!}x + \frac{f^{''}(0)}{2!}x^{2} + \frac{f^{'''}(0)}{3!}x^{3} + \cdots $$

 

예제1. $f(x) = e^{x}$를 맥클로린 급수로 표현하고 수렴반경을 구하여라.

맥클로린 급수를 구하기 위해 $c_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$을 구해야한다.

 

$$\begin{align*} &f^{'}(x) = e^{x} \\ &f^{''}(x) = e^{x} \\ &f^{'''}(x) = e^{x} \\ \vdots \\ &f^{(n)}(x) = e^{x} \end{align*}$$

 

위와 같은 규칙성을 통해 $f^{(n)}(0) = e^{0} = 1$임을 알 수 있다. 따라서, $c_{n} = \frac{1}{n!}$이고 수렴반경은 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3의 비판정법을 통해 구한다. $a_{n} = \frac{1}{n!}x^{n}$이라고 하자.

 

$$\begin{align*} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} &= \frac{n!}{(n + 1)!} \cdot \frac{x^{n + 1}}{x^{n}} \\ &= \frac{1}{n + 1} \cdot |x| \rightarrow 0 < 1\end{align*}$$

 

따라서, $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$은 $x$의 값에 관계없이 항상 수렴하므로 $R = \infty$이고 모든 실수에서 수렴한다. 

 

$$f(x) = e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots $$

 

위의 예제를 통해서 자연상수 $e$를 근사하여 표현할 수도 있습니다. 

 

$$f(1) = e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots $$

 

하지만, 아쉽게도 현실적으로 무한합을 계산하는 것은 불가능하기 때문에 어느정도 합의를 보아야합니다. 따라서, $n$차 테일러 급수($n$-th Taylor Series)와 나머지(Remainder)를 정의하기도 합니다. 

 

 정의3. $n$차 테일러 급수($n$-th Taylor Series)와 나머지(Remainder)

1) $n$차 테일러 급수($n$-th Taylor Series)

 

$$T_{n}(x) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x - a)^{i} = f(a) + \frac{f^{'}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{''}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{'''}(a)}{3!}(x - a)^{3}  + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a^{n})$$

 

2). 나머지(Remainder) : $R_{n} = f(x) - T_{n}(x)$

 

 정리1. 테일러 부등식(Taylor's Inequality)

$\left|x - a\right| < d$에서 $\left|f^{(n + 1)}(x)\right| \le M$일 때 함수 $f(x)$의 테일러 급수의 나머지 $R_{n}$은 아래의 부등식을 만족한다. 

 

$$\left|R_{n}\right| \le \frac{M}{(n + 1)!}\left|x - a\right|^{n + 1}$$