미적분학 - 멱급수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서는 비판정법(ratio test)와 근판정법(root test)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 멱급수(power series)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 멱급수(power series)

$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots$의 형태를 가진 무한급수를 멱급수라고 한다. 

 

 설명

멱급수의 가장 간단한 예시는 모든 $n$에 대해서 $c_{n} = 1$일 때 입니다. 그러면 저희는 아래의 식을 얻을 수 있죠.

 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots$$

 

이는 기하급수입니다. 즉, 기하급수도 멱급수의 한 예시라고 할 수 있다는 것이죠. 하지만, 모든 $x$에 대해서 수렴은 하지 않습니다. $|x| < 1$일 때는 수렴하고 $|x| > 1$일 때는 발산합니다. 이와 같이 수렴하는 정의역 내의 구간을 수렴반경(Radius of Convergence)라고 합니다. 그리고 멱급수에서는 수렴반경을 찾는 것이 굉장히 중요한 문제입니다. 간단한 예제로 설명드리도록 하겠습니다. 

 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} n!x^{n} = 1 + 1! \cdot x + 2! \cdot x^{2} + 3! \cdot x^{3} + \cdots$$

 

수렴성을 판단하기 위해서 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서 알아본 비판정법을 적용해보도록 하겠습니다. 일단, $a_{n} = n! x^{n}$이라고 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(n + 1)! x^{n + 1}}{n! x^{n}}\right| \\ &= (n + 1) \left|x\right|\end{align*}$$

 

잘보시면 이 멱급수는 $x \neq 0$일 때는 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \infty$입니다. 따라서, 이 멱급수는 어떠한 $x \neq 0$일 때는 발산합니다. 그렇다면 $x = 0$일 때는 어떨까요? 이 경우에는 그냥 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = 0 < 1$이기 때문에 수렴하게 됩니다. 따라서, 이 멱급수의 수렴반경은 $\{0\}$입니다. 

 

예제1. 멱급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n}$의 수렴반경을 구하여라.

$a_{n} = \frac{(x - 3)^{n}}{n}$이라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| &= \left|\frac{(x - 3)^{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{(x - 3)^{n}}\right| \\ &= \frac{n + 1}{n} \cdot \left|x - 3\right| \rightarrow \left|x - 3\right|\end{align*}$$

 

이때, 주어진 멱급수가 수렴하기 위해서는 $\left|x - 3\right| < 1$이여야하기 때문에 $2 < x < 4$에서 수렴한다. 마지막으로 $\left|x - 3\right| = 1$인 경우에는 비판정법에 의해 판정할 수 없기 때문에 직접 대입하여 수렴성을 판별한다. 

 

1). $x = 2$일 경우, $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$이고, 이는 미적분학 - 교대급수에서 얻은 결과로 인해 수렴하는 것을 알 수 있다.

2). $x = 4$일 경우, $a_{n} = \frac{1}{n}$이고, 이는 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 p-급수 수렴판정법으로 인해 발산한다. 

 

따라서, 주어진 멱급수의 수렴반경은 $R = [2, 4)$이다. 

 

연습문제1. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}$

(b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{n + 1}$

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}x^{n}}{n^{3}}$

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{n}x^{n}$

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}$

 

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \left| \frac{x^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{x^{n}} \right| = \sqrt{\frac{n + 1}{n}} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x|$이므로 비판정법에 의해 $|x| < 1$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 1$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

2) $x = -1$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} (-1)^{n}$이고 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-1 \le x < 1$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = [-1, 1)$이다.

 

(b) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{n + 1}$

 

$a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \left| \frac{x^{n + 1}}{n + 2} \cdot \frac{n + 1}{x^{n}} \right| = \frac{n + 2}{n + 1} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x|$이므로 비판정법에 의해 $|x| < 1$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 1$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n + 1}$이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = -1$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n + 1}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-1 < x \le 1$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = (-1, 1]$이다.

 

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}x^{n}}{n^{3}}$

 

$a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}}{n^{3}}x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \left| \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)^{3}} \cdot \frac{n^{3}}{x^{n}} \right| = \left( \frac{n}{n + 1} \right) |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x|$이므로 비판정법에 의해 $|x| < 1$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 1$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}}{n^{3}}$이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = -1$인 경우 $a_{n} = -\frac{1}{n^{3}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-1 \le x \le 1$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = [-1, 1]$이다.

 

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{n}x^{n}$

 

$a_{n} = \sqrt{n}x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \left| \sqrt{n + 1}x^{n + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n} x^{n}} \right| = \sqrt{\frac{n + 1}{n}} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x|$이므로 비판정법에 의해 $|x| < 1$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 1$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = \sqrt{n}$이므로 발산한다.

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n}\sqrt{n}$이므로 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-1 < x < 1$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = (-1, 1)$이다.

 

연습문제2. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{n}x^{n}$

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{2}}{2^{n}}x^{n}$

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{n^{3}} x^{n}$

 

(a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

 

$a_{n} = \frac{x^{n}}{n!}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \left| \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{x^{n}} \right| = \frac{1}{n + 1} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0$이므로 비판정법에 의해 $x$의 값에 관계없이 항상 수렴하므로 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = (-\infty, \infty)$이다.

 

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} n^{n}x^{n}$

 

$a_{n} = n^{n}x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\sqrt[n]{|a_{n}|} = \sqrt[n]{|n^{n}x^{n}|} = nx \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \infty$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \infty$이므로 근판정법에 의해 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = \{ 0 \}$이다.

 

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{2}}{2^{n}}x^{n}$

 

$a_{n} = (-1)^{n}\frac{n^{2}}{2^{n}} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{(n + 1)^{2}}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{n} |x| = \frac{1}{2}\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{2} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}|x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{2}|x|$이므로 비판정법에 의해 $\frac{1}{2}|x| < 1 \Rightarrow |x| < 2$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 2$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 2$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} n^{2}$이므로 발산한다.

2) $x = -2$인 경우 $a_{n} = n^{2}$ 이므로 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-2 < x < 2$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = (-2, 2)$이다.

 

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n}}{n^{3}} x^{n}$

 

$a_{n} = \frac{10^{n}}{n^{3}} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{10^{n + 1}}{(n + 1)^{3}} \cdot \frac{n^{3}}{10^{n}} |x| = 10\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{3} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 10|x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 10|x|$이므로 비판정법에 의해 $10|x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{1}{10}$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = \frac{1}{10}$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = \frac{1}{10}$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n^{3}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

2) $x = -\frac{1}{10}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n}\frac{1}{n^{3}}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{10} \le x \le \frac{1}{10}$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = [-\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]$이다.

 

연습문제3. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{\sqrt[4]{n}}x^{n}$

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}n^{5}}x^{n}$

(c) $\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{4^{n}\ln (n)}x^{n}$

(d) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{\sqrt[4]{n}}x^{n}$

 

$a_{n} = \frac{(-2)^{n}}{\sqrt[4]{n}} x^{n} = (-1)^{n} \frac{2^{n}}{\sqrt[4]{n}} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{2^{n + 1}}{\sqrt[4]{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt[4]{n}}{2^{n}} |x| = 2\sqrt[4]{\frac{n}{n + 1}} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 2|x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 2|x|$이므로 비판정법에 의해 $2|x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{1}{2}$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = \frac{1}{2}$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = \frac{1}{2}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = -\frac{1}{2}$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2}$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$이다.

 

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}n^{5}}x^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{5^{n}n^{5}} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{5^{n}n^{5}} \cdot 5^{n+1}(n+1)^{5} |x| = 5\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{5} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 5|x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 5|x|$이므로 비판정법에 의해 $5|x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{1}{5}$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = \frac{1}{5}$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = \frac{1}{5}$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n^{5}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

2) $x = -\frac{1}{5}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n^{5}}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{5} \le x \le \frac{1}{5}$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = [-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$이다.

 

(c) $\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{4^{n}\ln (n)}x^{n}$

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{4^{n}\ln (n)} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{4^{n + 1}\ln(n + 1)} \cdot 4^{n}\ln (n) |x| = \frac{1}{4} \frac{\ln (n)}{\ln (n + 1)} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}|x|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{4}|x|$이므로 비판정법에 의해 $\frac{1}{4}|x| < 1 \Rightarrow |x| < 4$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $|x| = 4$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 4$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{\ln (n)}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = -4$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{\ln (n)}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 정리1 (적분검사)에 의해 발산한다. 

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{4} < x \le \frac{1}{4}$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R = (-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$이다.

 

(d) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

 

$a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{(2n + 2)!} \cdot (2n)! x^{2} = \frac{1}{(2n + 2)(2n + 1)} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0$ 이므로 비판정법에 의해 $x$의 값에 관계없이 항상 수렴하므로 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = (-\infty, \infty)$이다.

 

연습문제4. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} (x - 2)^{n}$

(b) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{2n + 1} (x - 3)^{n}$

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n}}{\sqrt{n}} (x + 4)^{n}$

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}} (x + 1)^{n}$

 

(a) $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} (x - 2)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} (x - 2)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{(n + 1)^{2} + 1} \cdot (n^{2} + 1) |x - 2| = \frac{n^{2} + 1}{(n + 1)^{2} + 1} |x - 2| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x - 2|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x - 2|$이므로 비판정법에 의해 $|x - 2| < 1 \Rightarrow 1 < x < 3$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = 1$과 $x = 3$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 1$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n^{2}+1}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = 3$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n^{2}+1}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $1 \le x \le 3$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[1, 3]$이다.

 

(b) $\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{2n + 1} (x - 3)^{n}$

 

$a_{n} = (-1)^{n}\frac{1}{2n + 1} (x - 3)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{2n + 3} \cdot (2n + 1) |x - 3| = \frac{2n + 1}{2n + 3} |x - 3| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x - 3|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x - 3|$이므로 비판정법에 의해 $|x - 3| < 1 \Rightarrow 2 < x < 4$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = 2$과 $x = 4$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 2$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{2n + 1}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

2) $x = 4$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{2n+1}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $2 < x \le 4$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =(2, 4]$이다.

 

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n}}{\sqrt{n}} (x + 4)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{3^{n}}{\sqrt{n}} (x + 4)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{3^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{3^{n}} |x + 4| = 3 \sqrt{\frac{n}{n + 1}} |x + 4| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 3|x + 4|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 3|x + 4|$이므로 비판정법에 의해 $3|x + 4| < 1 \Rightarrow -\frac{13}{3} < x < -\frac{11}{3}$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = -\frac{13}{3}$과 $x = -\frac{11}{3}$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = -\frac{13}{3}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = -\frac{11}{3}$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{13}{3} \le x < -\frac{11}{3}$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[-\frac{13}{3}, -\frac{11}{3})$이다.

 

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}} (x + 1)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{n}{4^{n}} (x + 1)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{n + 1}{4^{n + 1}} \cdot \frac{4^{n}}{n} |x + 1| = \frac{1}{4} \frac{n + 1}{n} |x + 1| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{4}|x + 1|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{4}|x + 1|$이므로 비판정법에 의해 $\frac{1}{4}|x + 1| < 1 \Rightarrow -5 < x < 3$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = -5$과 $x = 3$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = -5$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} n$ 이므로 발산한다.

2) $x = 3$인 경우 $a_{n} = n$ 이므로 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-5 \le x < 3$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =(-5, -3)$이다.

 

연습문제5. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} (x - 2)^{n}$

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n3^{n}} (3x - 2)^{n}$

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{b^{n}} (x - a)^{n}, b > 0$

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{3} + 1} (x - 4)^{n}$

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} (x - 2)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{n^{n}} (x - 2)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\sqrt[n]{|a_{n}|} = \left( \frac{1}{n^{n}} \right)^{\frac{1}{n}} |x - 2| = \frac{1}{n} |x - 2| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = 0$ 이므로 근판정법에 의해 $x$의 값에 관계없이 항상 수렴하므로 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = (-\infty, \infty)$이다.

 

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n3^{n}} (3x - 2)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{n3^{n}} (3x - 2)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{(n + 1)3^{n + 1}} \cdot n3^{n} |3x - 2| = \frac{1}{3} \frac{n}{n + 1} |3x - 2| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3}|3x - 2|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{3}|3x - 2|$이므로 비판정법에 의해 $\frac{1}{3}|3x - 2| < 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} < x < \frac{5}{3}$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = -\frac{1}{3}$과 $x = \frac{5}{3}$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = -\frac{1}{3}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = \frac{5}{3}$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n}$  이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{3} \le x < \frac{5}{3} $에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}]$이다.

 

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{b^{n}} (x - a)^{n}, b > 0$

 

$a_{n} = \frac{n}{b^{n}} (x - a)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{n + 1}{b^{n + 1}} \cdot \frac{b^{n}}{n} |x - a| = \frac{1}{b} \frac{n + 1}{n} |x - a| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b}|x - a|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{b}|x - a|$이므로 비판정법에 의해 $\frac{1}{b}|x - a| < 1 \Rightarrow a - b < x < a + b$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = a - b$과 $x = a + b$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = a - b$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} n$ 이므로 발산한다.

2) $x = a + b$인 경우 $a_{n} = n$이므로 발산한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $a - b < x < a + b $에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =(a - b, a + b)$이다.

 

(d) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n^{3} + 1} (x - 4)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{n}{n^{3} + 1} (x - 4)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{n + 1}{(n + 1)^{3} + 1} \cdot \frac{n^{3} + 1}{n} |x - 4| = \frac{n^{3} + 1}{(n + 1)^{3} + 1} \frac{n + 1}{n} |x - 4| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |x - 4|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |x - 4|$이므로 비판정법에 의해 $|x - 4| < 1 \Rightarrow 3 < x < 5$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = 3$과 $x = 5$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = 3$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n^{3} + 1}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = 5$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n^{3} + 1}$  이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $3 \le x \le 5$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[3, 5]$이다.

 

연습문제6. 주어진 멱급수의 수렴반경을 구하여라.

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} n! (2x - 1)^{n}$

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}x^{n}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)}$

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (4x + 1)^{n}$

(d) $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}} x^{2n}$

(e) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)} x^{n}$

 

(a) $\sum_{n = 1}^{\infty} n! (2x - 1)^{n}$

 

$a_{n} = n! (2x - 1)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = (n + 1)! \cdot \frac{1}{n!} |2x - 1| = (n + 1) |2x - 1| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \infty$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \infty$ 이므로 비판정법에 의해 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = \{ \frac{1}{2} \}$이다.

 

(b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}x^{n}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)}$

 

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{(n + 1)^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) \cdot (2n + 2)} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)}{n^{2}} |x| = \frac{1}{2n + 2} \cdot \left( \frac{n + 1}{n} \right)^{2} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0$ 이므로 비판정법에 의해 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = (-\infty, \infty)$이다.

 

(c) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (4x + 1)^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}} (4x + 1)^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{(n + 1)^{2}} \cdot n^{2} |4x + 1| = \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{2} |4x + 1| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} |4x + 1|$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = |4x + 1|$이므로 비판정법에 의해 $|4x + 1| < 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} < x < 0$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = -\frac{1}{2}$과 $x = 0$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = -\frac{1}{2}$인 경우 $a_{n} = (-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 이므로 주어진 급수는 교대급수이므로 미적분학 - 교대급수의 정리1에 의해 $\sum a_{n}$은 수렴한다.

2) $x = 0$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$  이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사1의  따름정리1($p$-급수 판정법)에 의해 수렴한다.

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-\frac{1}{2} \le x \le 0$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[-\frac{1}{2}, 0]$이다.

 

(d) $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}} x^{2n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{n (\ln n)^{2}} x^{2n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{(n + 1) (\ln (n + 1))^{2}} \cdot n (\ln n)^{2} x^{2} = \left( \frac{\ln n}{\ln (n + 1)} \right)^{2} \frac{n}{n + 1} x^{2} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} x^{2}$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = x^{2}$이므로 비판정법에 의해 $x^{2} < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$에서 주어진 급수는 수렴한다. 하지만, $x = -1$과 $x = 1$에서는 비판정법에 의한 수렴성을 검정할 수 없으므로 직접 대입하여 수렴성을 판단한다. 

 

1) $x = -1$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n (\ln n)^{2}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 정리1 (적분검사)에 의해 수렴한다. 

2) $x = 1$인 경우 $a_{n} = \frac{1}{n (\ln n)^{2}}$ 이므로 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1의 정리1 (적분검사)에 의해 수렴한다. 

 

최종적으로 급수 $\sum a_{n}$은 $-1 \le x \le 1$에서 수렴하므로 수렴반경은 $R =[-1, 1]$이다.

 

(e) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)} x^{n}$

 

$a_{n} = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)} x^{n}$이라고 하자. 

 

$$\left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1)} \cdot [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1)] |x| = \frac{1}{2n + 1} |x| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$

 

따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \right| = 0$ 이므로 비판정법에 의해 급수 $\sum a_{n}$의 수렴반경은 $R = (-\infty, \infty)$이다.