안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 라그랑주 승수법에서는 제약조건 하에서 함수의 최댓값 및 최솟값을 구하는 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지는 다변수 함수의 미분과 관련된 내용만 보았습니다. 오늘부터는적분과 관련된 내용을 알아보도록 하죠. 다만, 이제부터는 변수가 여러 개가 있기 때문에 다중적분(Multiple Integral)을 수행하게 됩니다. 전체적으로 단변수 함수의 적분을 이해해야하기 때문에 차근차근 알아보도록 하죠. 1. 단변수 함수의 정적분(Definite Integration of Unit Variable Function) 이 부분에 대한 내용은 미적분학 - 영역 문제와 미적분학 - 적분 정의에서 자세하게 알아보았습니..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 소개에서는 집합론이 수학이라는 학문에서 차지하는 비중이 크다는 것과 몇 가지 중요한 기호($\in, \notin, \subset, \nosubset$)들을 보았습니다. 또한 집합을 표현하는 방법에는 크게 2가지로 원소나열법(tabular form)과 조건제시법(set builder form)으로 나뉜다고 말씀드렸습니다. 위 방법들 중 특히 조건제시법은 수많은 원소를 포함하는 집합을 표현하는 데 있어 필수적인 개념이기 때문에 반드시 알아놓으셔야합니다. 오늘은 약간 논리적인 이야기로 "or"이 수학에서 어떤 의미를 내포하는 지 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 합집합(Union) 임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 합집합은 $A \cup B =..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 최대최소에서는 다변수 함수가 정의된 정의역 내에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수와 함께 특별한 제약조건(constraint)이 포함되었을 때 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법인 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 라그랑주 승수법의 기본 개념을 이해하기 위해 위 그림을 함께 설명하도록 하겠습니다. 여기서 $y = f(x, y)$의 다변수 함수가 주어졌다고 가정하겠습니다. 그리고 $f(x, y) = C$로 이어진 분홍선 선 그래프는 함수 $y = f(x, y)$의 등고선을 의미합니다. 이제부터 저희가 원하는 것은 $g(x, y) = ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 기울기벡터에서는 다변수 함수에서 정의되는 기울기벡터에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 정리1에서 방향미분을 기울기벡터를 통해서 구할 수 있다는 것과 정리2에서 방향미분의 최대값은 방향벡터 $\mathbf{u}$와 기울기벡터 $\nabla f$가 동일한 방향을 가르킬 때 임을 알게되었고 이를 통해서 $\left|\nabla f\right|$가 최대값임을 알게 되었습니다. 오늘은 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 지역최댓값(local maximum)과 지역최솟값(local minimum) 다변수 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(a, b)$ 근방의 $(x, y)$에 대해서 $f(a, b) \ge f(x, y)$를 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 방향미분에서는 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = $로의 방향미분 $D_{\mathbf{u}} f(x, y)$를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 여기서 방향미분은 기존에 보았던 편미분 $f_{x}$와 $f_{y}$의 일반화된 미분임을 알게 되었습니다. 오늘은 이어서 기울기벡터(Gradient)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 기울기벡터(Gradient) 함수 $f$가 $(x, y)$에 대한 이변수 함수일 때 함수 $f$의 기울기벡터는 $\nabla f(x, y) = $로 정의된다. 예제1. 함수 $f(x, y) = \sin(x) + e^{xy}$일 때 기울기벡터를 구하여라. 더보기 $$\beg..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 연쇄법칙에서는 다변수 함수가 주어졌을 때 3가지 버전의 연쇄법칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 방향미분(Directional Derivative)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 방향미분(Directional Derivative) 함수 $f(x, y)$의 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = $로의 방향미분은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. $$D_{\mathbf{u}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$ 설명 일단 방향미분을 설명하기 위해서 일반적으로 저희가 보았던 편미분의 식을 보도록..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 미분가능성에서는 다변수 함수의 편미분이 존재한다고 해서 미분이 가능하지 않다는 점과 미분가능성에 대한 명확한 정의 그리고 전미분(total derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 연쇄법칙에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 연쇄법칙에서 보았던 단변수 함수의 연쇄법칙을 상기해보도록 하겠습니다. 두 함수 $y = f(x)$와 $x = g(t)$가 주어지고 두 함수 모두 미분가능하다고 할 때 $\frac{dy}{dt}$를 구해보겠습니다. $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$$ 위 수식을 잘 보시면 변수 $x$에 대한 미분 $dx$를 분모와 분자에 추가한 것을 볼 수 있습니다..
안녕하세요. 오늘은 수학의 새로운 주제인 집합론(Set Theory)와 함께 시작해보도록 하겠습니다. 혹시 수학이 과학의 언어라는 말을 들어보셨나요? 특히, 물리학은 수학 없이는 존재하지 못할 정도로 수학의 영향력이 아주 강력합니다. 이와 비슷한 말로 집합론은 수학의 언어라는 말이 있을 정도로 현대 수학의 모든 곳에는 집합론의 기본 개념이 녹아있습니다. 특히, 위상수학(Topology)는 집합론 없이는 절대 이야기 할 수 없는 내용이죠. 이와 같이 집합론은 현대 수학에서 굉장히 중요한 부분을 차지하고 있기 때문에 본격적으로 수학 전공을 공부하기 위해서는 집합론은 필수입니다. 앞으로 다양한 수학 관련 포스팅을 게재할 예정입니다. 이를 위해서는 집합론을 빼놓고 이야기할 수 없었습니다. 그래서 오늘은 간단한 ..
