안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 평균값 정리 (Mean Value Theorem; MVT)에서는 미적분학에서 중요하게 활용되는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 1차 미분과 함수의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 1차 미분과 함수의 증감 1차 미분을 통해서 저희는 함수의 증감을 알아낼 수 있습니다. 기본적으로 미분은 함수의 접선을 의미합니다. 만약, 그 접선의 기울기가 양수라면 해당 구간에서는 증가하고 있는 상태이고 반대로 음수라면 감소하고 있는 상태라는 것입니다. 위 그래프는 그러한 1차 미분의 특성을 아주 잘 보여주고 있습니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 최대값과 최소값에서는 전역최대 및 전역최소의 정의, 그리고 지역최대 및 지역최소의 정의, 마지막으로 임계값에 대해서 알아보았습니다. 그리고 이와 관련된 다양한 정리들(극값이론;Extreme Value Theorem, 페르마 정리;Fermat's Theorem)도 보았습니다. 오늘은 이어서 굉장히 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 하지만, 평균값 정리를 유도하기 전에 저희가 먼저 알아봐야 할 정리는 롤의 정리(Rolle's Theorem)입니다. 정리의 정확한 statement는 아래의 링크를 참조바랍니다. Rolle's th..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선형근사에서는 $x = a$의 근방에서 임의의 함수 $f(x)$의 값을 근사하는 선형근사(Linear Approximation)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분의 활용 예시로 최대값과 최소값을 구하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 정의 : 전역 최대 (Global Maximum)와 전역 최소 (Global Minimum) 함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$에서 $f(c) \ge f(x)$를 만족하면 $f$는 전역 최대(Global Maximum) 또는 절대 최대(Absolute Maximum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 로그함수 미분에서는 로그함수의 미분법과 로그함수를 포함한 다양한 합성함수의 미분법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분을 응용한 수치적 계산법인 선형근사법(Linear Approximation)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 위 그림을 먼저 보시면 어느정도 이해가 가실겁니다. $x = a$에서 $f(x)$의 접선이 $L(x)$라고 할 때, $x = a$ 근처에서는 $y = L(x) = f(a) + f^{'}(x)(x - a)$와 $f(x)$가 별 차이가 나지 않는 다는 것을 볼 수 있습니다. 하지만, 멀어질수록 그 차이는 벌어지겠죠. 이러한 정보를 활용해서 $f(1)$에서의 값을 알..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 로그함수의 미분 $$\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) = \frac{1}{x\ln{a}}$$ 증명 로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 좌표행렬 변환에서는 좌표계을 변환하는 과정과 선형변환 사이의 관계, 그리고 행렬의 닮음(similarity) 관계에 대해서 설명하였습니다. 오늘은 쌍대공간(Dual Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$ 사이에서 정의된 선형변환 $T : V \rightarrow \mathbf{F}$에서 $\text{dim}(F) = 1$이라면 이러한 $T$를 $V$에 대한 선형 범함수(linear functional)라고 합니다. 그리고 일반적으로 $f, g, h, \dots$와 같은 기호로 표기하죠. 가장 대표적인 예로 적분이라는 연산은 선형 범함수의 대표적인 예시입니다. $V$를 $[0, 2\pi]$에서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연쇄법칙에서는 합성함수의 미분 규칙에 대해서 설명드렸습니다. 오늘은 특별한 형태의 함수인 음함수 (implicit function)이 무엇인지와 미분하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단 음함수가 있다면 양함수(explicit function)도 있겠죠? 양함수는 일반적으로 저희가 보았던 $y = f(x)$ 꼴의 모든 함수를 의미합니다. 따라서, 음함수라는 것은 $y = f(x)$의 꼴이 아닌 함수를 의미합니다. 예를 들어 단위 원의 방정식 $x^{2} + y^{2} = 1$은 $y = f(x)$ 꼴이 아니라, $x, y$가 모든 좌항에 몰려있습니다. 이러한 함수의 꼴들을 모..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 역변환과 동형사상에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$가 주어졌을 때, 가역변환 (invertible transformation) $T^{-1} : W \rightarrow V$의 정의와 변환을 구성하는 두 벡터공간 $V$와 $W$ 사이의 관계인 동형사상 (isomorphism)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 약간 다른 주제로 넘어가서 좌표변환 행렬에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 좌표변환의 필요성부터 설명할 필요가 있겠네요. 예를 들어서 $2x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1$이라는 복잡한 형태의 방정식이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 아래와 ..
