안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부분분수를 활용한 유리함수 적분 2에서는 분모가 2차식(Quadratic)일 때 적분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 핵심은 동일한 부분분수을 잘 활용하는 것과 $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} \; dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$임을 사용하는 것 이였습니다. 세상에는 수많은 피적분함수들이 있습니다. 그들 중에는 쉽게 구할 수 없는 함수들도 있기 때문에 아래의 몇 개의 단계를 적용해보면 풀리는 경우를 알아보도록 하겠습니다. 여기서 주의할 점은 아래 단계로도 풀리지 않는 경우도 있으니 다양하게 접근해서 풀어야한다는 점입니다. STEP1. 기본적인 적분을 숙지한다. 이 단계는 모든 적분..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분을 통한 삼각함수 적분에서는 치환적분을 통해 복잡한 형태의 삼각함수의 적분을 해보았습니다. 오늘은 복잡한 형태의 유리함수를 보다 간단하게 만들 수 있는 부분분수를 활용하여 적분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 이를 위해 몇 가지 케이스로 나누어 설명드리도록 하겠습니다. 일단, 기본적인 가정은 피적분함수 $f(x)$가 유리함수 꼴, 즉 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$의 형태를 가지고 있다고 가정하겠습니다. 이때, $Q(x) \neq 0$입니다. CASE1. $Q(x)$를 인수분해 했을 때, 각 인수가 선형적이고 독립적으로 존재하는 경우 $$Q(x) = (a_{1}x + b_{1})(a_{2}x + b_{2}) \cdots (a_{n}x..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 복잡한 삼각함수 적분 2에서는 $\int \tan^{m}(x) \sec^{n}(x) \; dx$ 꼴의 적분을 몇몇 케이스와 예제로 나누어 적분을 해보았습니다. 이전과 마찬가지로 핵심은 삼각함수와 관련된 항등식을 적절하게 활용하는 것이였습니다. 오늘은 치환적분을 통해서 삼각함수를 적분해야하는 경우에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 간단한 예제로 $\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} \; dx$를 구해보도록 하겠습니다. 언뜻보면 삼각함수와 관련없어 보이지만 $x = 3\sin(\theta)$라고 두면 $\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}(\theta)} = 3\sqrt{1 - \sin^{2}(\theta)}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부분적분에서는 보다 복잡한 형태의 적분을 계산할 수 있는 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 치환적분과 부분적분을 활용하여 특별한 형태를 가진 함수들을 적분해보도록 하겠습니다. 오늘은 삼각함수입니다. 시작하기에 앞서 $\int \cos^{3}(x) \; dx$를 적분해보도록 하겠습니다. 바로 안떠오르실 겁니다. 저희가 지금까지 사용했던 기본적인 형태의 삼각함수가 아니기 때문이죠. 따라서 해당 식을 저희가 적분할 수 있도록 적절한 형태로 바꾸는 것이 핵심이 되겠습니다. 이를 위해서는 삼각함수와 관련된 중요한 항등식들을 활용해야합니다. 1. $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$ 2. $\..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 평균에서는 적분을 이용해서 실제 함수의 평균을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 더욱 복잡한 형태의 함수를 적분하기 위한 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 모든 적분은 FTC에 의해 대응되는 미분 규칙이 존재합니다. 예를 들어, 치환 적분에 대응되는 미분 규칙은 연쇄 법칙인 것처럼 말입니다. 부분 적분에 대응되는 미분 규칙은 함수의 곱셈을 미분할 때 얻는 결과를 활용하게 됩니다. 아래의 연산 결과를 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다. $$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)$$ 위 연산은 곱셈 형태..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원통껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 에서는 보다 복잡한 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 적분을 이용해서 함수가 주어졌을 때 평균적인 함수의 값을 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 기본적으로 $n$개의 표본 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이 주어졌을 때, 산술 평균은 $y_{avg} = \frac{y_{1} + y_{2} + \cdots + y_{n}}{n}$으로 구할 수 있습니다. 따라서, 저희가 함수의 평균을 구하기 위해서는 표본점을 선택해야합니다. 이전과 마찬가지로 $n$개의 등구간으로 나누고 각 구간의 표본점 $x..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 입체 부피 구하기에서는 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 중간이 비어있는 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법인 실린더 방법(method of cylinder shell)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 위의 그림과 같이 $y = 2x^{2} - x^{3}$과 $y = 0$으로 둘러쌓인 영역이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 이 영역을 $y$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 부피를 고려해보도록 하겠습니다. 지금까지 저희가 보았던 부피를 구하기 위해서는 $y$축을 중심으로 회전하기 때문에 주어진 식을 $y$에..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이에서는 적분을 통해 복잡한 형태의 영역의 넓이를 구할 수 있엇습니다. 오늘은 넓이뿐만 아니라 부피도 구할 수 있음을 보여드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 부피를 구하는 공식은 아래와 같습니다. $$V = Ah$$ 여기서 $A$는 입체의 밑넓이, $h$는 높이입니다. 이때, 핵심은 간단합니다. 기존에 저희가 넓이를 구할 때는 영역을 $n$개의 직사각형으로 잘게 쪼갠 뒤 각 직사각형의 넓이를 모두 더한 뒤 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취하였습니다. 부피를 구할 때도 마찬가지입니다. 위의 왼쪽 그림과 같이 $n$개의 작은 높이를 가지는 영역으로 잘게 ..
