안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)를 통해 무한급수의 수렴성을 판별하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 다만, 주의할 점은 적분 판정법의 수렴 결과가 실제 무한급수 값과는 다르기 때문에 근삿값을 구하는 방법은 다르다는 것입니다. 오늘은 무한급수의 수렴성을 판정하는 새로운 방법으로 비교 판정법(Comparison Test)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 정리1. 비교 판정법(Comparison Test)무한급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이라고 하자. 1). $\sum b_{n}$이 수렴하고 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\sum a_{n}$은 수렴한다.2). $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 급수의 성질에서는 무한급수의 성질과 함께 수렴성을 검사하는 발산 검사(Test for Divergence)도 알아보았습니다. 아무래도 저희는 지금 무한급수를 다루고 있기 때문에 일단 수렴하는 지에 대한 여부가 큰 관심입니다. 따라서, 다양한 수렴성 검사들이 존재하는 데 오늘은 첫번째로 적분 검사(Integration Test)에 대해서 알려드리도록 하겠습니다. 정리1. 적분 검사(Integration Test)함수 $f$가 $[1, \infty)$에서 연속, 양수, 감소함수이고 $a_{n} = f(n)$이라고 하자. 그러면, 아래의 두 가지를 만족한다. 1). $\int_{1}^{\infty} f(x) \; dx$가 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\inf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 수열 극한의 법칙에서는 수열의 극한에 관한 몇 가지 성질에 대해서 알아보았으며 함수의 극한과 별반 차이가 없음을 알게 되었습니다. 오늘은 급수(Series)에 대해서 알아보겠습니다. 정의1. 수열의 급수(Series)수열 $\{a_{n}\}$이 주어질 때, $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$를 $n$번째 부분급수($n$th partial series)라고 한다. 이때, $n \rightarrow \infty$이라면 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_{n} = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}$를 무한급수(infinite series)라고 한다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 수열에서는 수열의 정의와 일반항을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 또한, 극한에 대한 정확한 정의도 알아보았었죠. 오늘은 함수 극한과 마찬가지로 수열 극한도 몇 가지 법칙이 존재하는데요, 이를 알아보도록 하겠습니다. 일단, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$과 $\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n}$이 존재한다고 가정하면 아래의 법칙들이 성립합니다. $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[a_{n} \pm b_{n}\right] = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim_{n \rightarrow \infty} b_{n}$$\lim_{n \righ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계와 원뿔 단면 곡선에서는 원뿔 단면으로 얻어지는 다양한 곡선들(타원, 포물선, 쌍곡선)을 극좌표계로 표현하는 방법과 함께 이심률(eccentricity)에 따른 곡선 모양의 변화를 관찰해보았습니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 수열(sequence)에 대해서 이야기 해보도록 하겠습니다. 일단, 수열이란 어떤 규칙을 가진 수의 나열을 의미합니다. 예를 들어서, 아래와 같은 수열이 있다고 가정해보겠습니다. $$1, 3, 5, 7, 9, ...$$ 이 경우에는 홀수들의 나열이라고 할 수 있겠죠. 이 역시 수열입니다. 이 수열을 표현하는 방법은 $\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots \}$를 이용합니다. 여기서 중요한 것은 $a_{n}$과 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원뿔 단면에서는 3차원 원뿔을 다양한 방식으로 잘랐을 때 얻어지는 곡선들과 함께 정의를 통해 대수적으로 표현하는 방법까지 알아보았습니다. 각각 타원, 포물선, 쌍곡선을 보았죠. 오늘은 이들을 극좌표계에서 표현해보도록 하겠습니다. 시작하기에 앞서 곡선들과 관련된 흥미로운 이론을 하나 소개해드리겠습니다. 정리1. $F$를 초점(focust), $I$를 준선(directrix)라고 하자. 이때, $e$를 고정된 양수을 가지는 이심률(eccentricity)를 아래와 같이 정의한다. $$e = \frac{\left|PF\right|}{\left|PI\right|}$$ 그러면 $e 1$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계 적분에서는 극좌표계에서 적분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 잠깐 기하학으로 주제를 바꾸어 원뿔에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 위와 같은 원뿔의 신기한 성질 중 하나는 자르는 평면에 따라서 다양한 2차원 곡선을 얻을 수 있다는 것입니다. 예를 들어보겠습니다. 왼쪽 그림과 같이 밑면에 대해 비스듬하게 자르면 타원을 얻고 중간 그림과 같이 수직면에 대해서 비스듬하게 자르면 포물선, 오른쪽 그림과 같이 밑면에 수직으로 자르면 쌍곡선을 얻을 수 있습니다. 오늘은 각 기하곡선에 대한 정의를 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 포물선(Parabola) 포물선은 고정점(fixed point) 또는 초점(focus) $F$로부터 동일한 길이의 준선(dir..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계 곡선에서는 극좌표계에서 곡선을 그리는 방법에 대해서 알아보았습니다. 핵심은 특수각들을 차례대로 대입한 뒤 순서대로 곡선을 그리면 되었습니다. 오늘은 극좌표계에서 미분과 적분을 하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 극좌표계라는 것은 매개변수로 표현된 것이기 때문에 매개변수 미분과 동일하게 할 수 있습니다. 이는 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수와 미적분학을 통해서 알 수 있습니다. 이때, $x = r\cos(\theta)$이고 $y = r\sin(\theta)$이라고 가정해보도록 하겠습니다. $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy / d\theta}{dx / d\theta} = \frac{dr / d\theta \cdot..
