안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계에서는 극좌표의 정의와 함께 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환방법과 그 반대의 변환도 알아보았습니다. 오늘은 직교좌표계가 아닌 극좌표계에서 정의된 곡선들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 1. $r$과 $\theta$가 독립적인 경우 일단, 단순한 곡선부터 생각해보도록 하죠. 극좌표계는 $(r, \theta)$로 이루어진 좌표계입니다. 따라서, 가장 간단한 곡선은 $r$과 $\theta$가 서로 독립적인 경우겠죠. 먼저, $r = 2$는 어떤 곡선일까요? 해석해보도록 하겠습니다. 일단, 원점으로부터의 거리는 항상 $r = 2$임을 의미합니다. 그리고 각도는 상관없다는 뜻이네요. 따라서, 반지름이 2인 원점을 중심으로 하는 원이라는 것을 알 수 있습니다. 다음으로..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수와 미적분학에서는 매개변수 함수로 주어진 함수의 기울기, 영역의 넓이, 곡선의 길이, 곡면의 겉넓이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 매개변수화(parameterization)의 가장 대표적인 예인 극좌표(Polar Coordinate)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일반적으로 저희가 사용하는 직교좌표계는 "르네 데카르트"라는 프랑스 철학자이자 수학자가 개발하였습니다. 직교좌표계는 카르테시안 좌표계(Cartesian Coordinate System)이라고도 불립니다. 일상생활의 많은 부분에서는 직교좌표계를 이용하면 쉽게 물체의 위치를 알 수 있습니다. 하지만, 모다 복잡한 움직임을 표현하기에는 어려운데요, 이를 보완하고자 뉴턴이 만든 좌표계가 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수 함수에서는 매개변수가 포함된 간단한 함수들의 정의와 유명한 사이클로이드(cycloid) 함수까지 매개변수로 표현해보았습니다. 오늘은 매개변수 함수에서 미적분학을 어떻게 적용할 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 매개변수 함수 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일에서는 적분을 물리학에 응용하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 극한, 미분, 적분을 통해 기본적인 미적분학의 지식은 갖추었습니 everyday-image-processing.tistory.com 1. 기울기(Tangent) 매개변수 함수에서는 $x = f(t), y = g(t)$로 표현될 수 있다고 하였습니다. 그리고 만약, 매개변수 $t$를 소거할 수 있다면 $y ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일에서는 적분을 물리학에 응용하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 극한, 미분, 적분을 통해 기본적인 미적분학의 지식은 갖추었습니다. 이제부터는 조금 더 어려운 응용 단계를 진행을 해보고자 합니다. 오늘은 이를 위한 첫번째 단계로 매개변수 함수(Parametric Function)에 대해서 다루어보도록 하겠습니다. 위와 같은 그래프로 이루어진 어떤 함수가 있다고 가정하겠습니다. 굉장히 복잡하게 생겼네요. 아쉽게도 위 그래프를 $y = f(x)$ 꼴의 형태로 표현하는 것은 불가능합니다. 하지만, $x$ 방향과 $y$ 방향이 각각 어떤 함수를 따른다고 가정을 한다면 충분히 가능하죠. 이 말은 $x = f(t), y = g(t)$와 같이 $x, y$ 축이 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 회전체의 겉넓이에서는 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 겉넓이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 적분을 물리학에서 활용될 수 있다는 것을 보여드리기 위해 일(Work)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. "일(Work)"라는 용어는 어떤 작업을 할 때 필요한 노력을 의미합니다. 물리학에서의 일은 물체가 얼마나 움직였는 지에 대한 위치 $s(t)$가 주어졌을 때 그에 따른 뉴턴의 2제 2법칙에 의한 힘 $F = m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$으로 결정됩니다. 여기서, $m$은 질량(kg), 변위량 $s(t)$는 이동거리(m), 시간 $t$는 초(s)로 표시되어 힘은 $N = kg \cdot m /s^{2}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 길이에서는 구간 $[a, b]$에서 함수 $(x)$의 자취인 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지난 포스팅의 결과를 활용하여 회전체의 겉넓이(Area of Surface of Revolution)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 배경(Background) 일단, 가장 간단한 원통의 겉넓이를 구해보도록 하죠. 위 그림과 같이 밑면의 반지름이 $r$이고 높이가 $h$인 원통의 옆면을 잘라서 펼쳐보면 그 아래의 그림과 같은 밑변은 $2\pi r$이고 높이는 $h$인 직사각형입니다. 따라서, 원통의 옆면의 겉넓이는 $A = 2\pi rh$라고 할 수 있겠네요. 이번에는 원뿔의 겉넓이를 구해보도록 하겠습니다. 위 그림과 같이 밑..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 특이적분에서는 무한대가 포함된 구간의 적분과 불연속점에 포함된 피적분함수의 적분에 대해서 알아보았습니다. 핵심은 임의의 실수 $t$를 선택한 뒤 무한 또는 불연속점으로 극한을 취해주면 되었습니다. 이때, 항상 극한이 존재하는 것이 아니기 때문에 특이적분에서는 값이 존재하지 않을 수도 있습니다. 오늘은 적분의 새로운 응용으로 호의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 위 그림과 같이 함수 $y = f(x)$가 있다고 가정하겠습니다. 저희가 원하는 것은 구간 $[a, b]$까지의 함수 $f(x)$의 자취인 곡선 $C$의 길이 $L$를 구하는 것입니다. 일단, 길이를 어떻게 구할 수 있는 지부터 생각해보겠습니다. 길이라는 것은 시작점과 끝점이 주어지며 두 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 적분 전략에서는 복잡한 피적분함수를 적분할 수 있는 몇 가지 단계에 대해서 설명드렸습니다. 하지만, 결론적으로 중요한 것은 다양한 적분을 해봄으로써 경험치를 쌓는 것이 중요합니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 특이하게 생긴 적분을 보여드리도록 하겠습니다. 바로 특이적분(Improper Integral)입니다. 특이적분은 몇 가지 타입으로 나누어서 생각해볼 수 있습니다. CASE1. 무한 구간 정의1. 무한 구간에서의 특이적분 (a). 만약 $int_{a}^{t} f(x) \; dx$가 임의의 실수 $t \ge a$에서 존재한다고 가정하면 $\int_{a}^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(..
