안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼각함수 미분에서는 다양한 미분기법들(곱의 미분, 몫의 미분)을 활용해서 더 복잡한 형태의 삼각함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분에서 굉장히 중요한 연쇄법칙(Chain Rule)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 예제를 중심으로 연쇄법칙을 연습하시면 더욱 쉽게 이해하실 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 연쇄법칙(Chain Rule) 함수 $g$가 $x$에서 미분가능하고 $f$가 $g(x)$에서 미분가능할 때 합성함수 $F = f \circ g$의 $x$에서 미분 $F^{'}(x)$은 아래와 같이 계산된다. $$F^{'}(x) = f^{'}(g(x)) \cdot g^{'..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환 합성과 행렬곱에서는 선형변환의 합성이 곧 행렬곱으로 표현될 수 있다는 것을 알아보았습니다. 오늘은 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$의 $V$와 $W$ 사이의 관계성 중에 하나인 동형사항(Isomorphism)을 배우고 이를 위한 기본 개념인 역변환(inverse transformation)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 가역성 (invertiblity) $V$와 $W$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서 정의된 벡터공간 그리고 $T : V \rightarrow W$를 선형변환이라고 하자. $U : W \rightarrow V$가 $TU = I_{W}$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환의 행렬표현에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$와 $\beta, \gamma$를 각각 벡터공간 $V, W$의 기저들이라고 하면 선형변환 $T$를 $[T]_{\beta}^{\gamma}$로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 합성함수와 같이 여러 개의 선형변환을 적용했을 때 어떤 식으로 표현할 수 있는 지와 이것이 행렬곱과 관련해서 어떤 관계를 가지는 지 알아보도록 하겠습니다. 이를 위해서 필요한 몇 가지 정리들부터 확인하고 넘어가도록 하겠습니다. 정리1. 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$, $Z$에 대한 선형변환 $T ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환, 영 공간, 치역에서는 선형변환, 영 공간, 치역의 정의에 대해서 알아보았으며 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, $T : V \rightarrow W$을 선형변환, $\text{dim}(V) < \infty$라고 할 때, $\text{dim}(V) = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T)$라는 차원 정리(Dimension Theorem)를 증명해보았습니다. 물론, 차원 정리말고도 다양한 정리들을 보았지만 제가 생각했을 때는 이 정리가 가장 중요할 거 같네요. 오늘은 선형변환을 쉽게 다루기 위해서 행렬으로 표현하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 순서기저 (ordered ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분에서는 두 함수의 곱과 나누기의 형태로 주어졌을 때 미분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이에 이어서 삼각함수(Trigometric function)의 미분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 삼각함수 미분에 있어서 가장 많이 활용되는 식은 "합차 공식"입니다. $\sin{(x \pm y)} = \sin{(x)}\cos{(y)} \pm \sin{(y)}\cos{(x)}$ $\cos{(x \pm y)} = \cos{(x)}\cos{(y)} \mp \sin{(x)}\sin{(y)}$ 본격적으로 미분을 구하기 전 삼각함수 미분의 재밌는 특성은 삼각함수도 주기적이..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 기저(basis) $\beta$와 차원 $\text{dim}(V)$의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 개의 벡터공간 $V, W$ 사이의 관계성을 정의하는 선형변환(Linear Transformation)과 선형변환의 영 공간(Null Space)와 치역(Range)까지 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형변환(Linear Transformation) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환(Linear Transformation) $T : V \rightarrow W$는 모든 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분에서는 다항함수와 지수함수의 미분 규칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 함수끼리 곱셈의 미분과 몫의 미분을 계산하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 곱의 미분 (Product Differentiation Rule) 만약 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 아래의 식을 만족한다. $$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)\frac{d}{dx}\left[g(x)\right] + g(x)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]$$ 예제1. $f(x) = xe^{x}$일 때, $f^{'}(x)$과 $f^{n}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 종속과 독립에서는 체 $\mathbf{F}$상에서 정의된 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 원소인 벡터들이 선형적으로 독립인지 종속인지 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 자주 나오는 개념인 기저(basis)와 차원(dimension)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 기저 (Basis) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $\beta$가 선형독립이고 $\text{span}(\beta) = V$이면 $\beta$는 $V$의 기저(basis)이다. 만약, $V = \{0\}$이면 공집합 $\phi$는 $\{0\}$의 기저이다. A basis $\beta$ for a vector space $V$..
