안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수 미분에서는 기존의 미분을 구하는 법을 확장하여 일반적인 함수의 미분을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 하지만 항상 정의를 사용하여 미분하게 되면 비효율적이기 때문에 몇 가지 대표적인 함수들에 대한 미분은 미리 정의해놓고 사용하는 편입니다. 특히 오늘은 가장 대표적인 다항함수와 지수함수의 미분을 일반적으로 어떻게 하는 지 알아보도록하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 상수함수 (Constant Functions) 상수함수은 $f(x) = c$인 함수로 정의된 모든 정의역에서 동일한 값을 유지하는 함수이다. 정리1. 상수함수의 미분 $\forall x \in \text{dom}(f)$에 대해서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 결합에서는 선형 결합(linear combination)의 정의와 선형 생성(linear span)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 빠질수없는 개념인 선형 종속(linearly dependent)와 선형 독립(linearly independent)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 종속 (Linearly dependent) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$가 $a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n} = \mathbf{0}$를 만족하는 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 0이 아닌 조합이 존재한다면 $S..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 부분공간에서는 벡터공간에 이어서 어떻게 보면 부분집합과 비슷한 개념이 부분공간에 대해서 알아보았으며 다양한 예제들을 통해 부분공간임을 증명해보았습니다. 오늘은 선형 결합(linear combination)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 결합(Linear Combination) $V$를 벡터공간, 그리고 $S$를 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. $v \in V$에 대해서 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$을 만족하는 유한 개의 벡터 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in S$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하면 벡터 $v$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미분 개요에서는 접선(Tangent)와 미분(Derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지난 번에 알아본 미분을 임의의 점으로 확장해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 함수 미분(Function Derivative) 함수 $f$의 임의의 점 $x \in \text{dom}(f)$에서의 함수 미분(Function Derivative)은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. $$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ 이때, 미분의 기호는 다양하며 아래의 기호들 모두 동일한 의미이다. $$f^{'}(x) = y^{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 벡터 공간에서 이어서 오늘은 부분공간(Subspaces)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 부분공간 (Subspace) $V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터 공간($V.S/\mathbf{F}$) 그리고 $W$를 $V$의 부분집합(subset)이라고 하자. $W$가 $\mathbf{0} \in W$ 그리고 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$이고 $c \in \mathbf{F}$일 때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in W$를 만족한다면 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이 된다. 그리고 $W$가 $V$의 부분 공간이라면 $W < V$로 표기한다. A..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한대 극한에서는 $x \rightarrow \infty$이거나 $x \rightarrow -\infty$일 때 $\pm \infty$로 발산하는 경우와 이에 대한 정확한 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학의 꽃이라고 할 수 있는 미분에 대해서 간단하게 설명해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 접선 (Tangent) 직교평면에 어떤 곡선 $C$가 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 이 곡선이 $y = f(x)$로 나타낼 수 있다고 하면 점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $C$의 접선(Tangent)를 찾는 것이 목표입니다. 문제를 간단하게 하기 위해서 일단 점 $P$ 근방의 임의의 ..
안녕하세요. 오늘부터 새롭게 선형대수학 (Linear Algebra) 카테고리를 열고 제가 그 동안 공부했던 것들을 정리해보고자 합니다. 선형대수학은 수학에서뿐만 아니라 공학, 인공지능 등 수많은 분야에서 필수적으로 활용되고 있는 학문입니다. 그래서 이를 공부하고 활용하는 것이 굉장히 중요하죠. 오늘은 첫 포스팅으로 벡터 공간 (Vector Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터 공간 (Vector Space) $V$가 벡터공간(Vector Space)라고 할 때 임의의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$와 체(Field)의 임의의 원소 $c \in \mathbf{F}( = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \dots)$는 체..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연속 함수에서는 연속 함수에 대한 정의와 성질, 중간값 정리에 대해서 알아보았습니다. 지금까지의 극한은 $x$가 특정값 $a$로 접근했을 때 변화를 알아보았다면 오늘은 $x$가 무한히 커지거나 작아지는 극한에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 간단한 예시로 $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} +1}$의 그림을 보도록 하겠습니다. 위와 같이 $x$가 커지면 커질수록 $f(x)$가 $y = 1$에 접근하는 것을 관찰할 수 있습니다. 저희는 이를 아래와 같이 쓰도록 하겠습니다. $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + ..
