안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 법선벡터와 종법선벡터에서는 곡선을 통해 얻을 수 있는 두 가지 종류의 벡터(법선벡터 / 종법선벡터)의 정의와 단위 기울기 벡터, 법선벡터, 종법선벡터를 얻을 수 있는 두 가지 종류의 평면(법평면 / 접촉평면)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 단변수 함수 f(x)의 형태만 보았지만 오늘부터는 여러 개의 변수를 가지는 다변수 함수(multi-variable function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 다변수 함수(multi-variable function) 다변수 함수는 어떤 집합 D에 대해서 실수쌍 (x,y)∈D을 고유한 규칙으로 값 f(x,y)를 배정하는 규칙이다. 이때, 집합 D는 함수 f의 정의역(d..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 곡률에서는 곡률을 구하는 방법과 이와 관련된 몇 가지 정리에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이어서 곡선의 법선벡터(normal vector)와 종법선벡터(binormal vector)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 벡터의 미분과 적분에서 보았던 단위 기울기 벡터(unit tangent vector)와 함께 보도록 하겠습니다. 기본적으로 법선벡터는 단위 기울기 벡터와 수직을 이루는 벡터를 의미합니다. 그리고 저희는 단위 기울기 벡터 T와 단위 기울의 벡터의 미분인 T′가 서로 직교(orthogonal)한다는 사실을 알고 있기 때문에 법선벡터 $\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 공간곡선의 길이에서는 벡터함수를 매개변수 방정식으로 생각한 뒤 곡선의 길이를 구하는 공식을 유도해보았습니다. 결과적으로 a≤t≤b에서 정의된 벡터함수 r(t)의 곡선의 길이는 L=∫bar′(t)dt입니다. 오늘은 곡률(curvature)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 곡률(curvature) 곡선의 곡률은 κ=|dTds|로 정의되고 이때, T는 단위 기울기 벡터이다. 설명 기본적으로 구간 I에서 공간곡선 r이 부드럽다(smooth)는 것은 구간 $I..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분에서는 미적분을 벡터함수에서 어떻게 하는 지에 대해서 알아보았습니다. 결과적으로 벡터함수의 각 성분함수들에 대해서 미분과 적분을 해주면 되는 간단한 일이였습니다. 오늘은 이어서 벡터함수로 표현되는 공간곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 한편, 미적분학 - 매개변수와 미적분학 2에서 저희는 매개변수로 표현되는 함수의 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 예를 들어, 어떤 곡선 C가 (x,y)로 표현될 때, a≤t≤b에서 x=f(t)이고 y=g(t)라고 하면 곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수와 공간곡선에서는 벡터함수와 공간곡선의 정의와 함께 벡터함수의 극한을 구하는 방법과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터함수가 주어졌을 때 미적분을 적용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 정의1. 벡터함수의 도함수(Derivative of vector function) 벡터함수 r의 도함수 r′은 아래의 극한이 존재한다면 실함수와 동일하게 정의된다. drdt=r′(t)=limh→0r(t+h)−r(t)h
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 원통과 이차곡면에서는 3차원 공간에서 정의되는 다양한 원통과 이차곡면에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 벡터에 대한 내용을 함수로 확장해보도록 하겠습니다. 지금까지는 실함수(real-valued function)에 대해서만 다루었지만 오늘은 곡선과 곡면을 기술하는 데 필요한 벡터 함수(vector-valued function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터함수(vector-valued function, vector function) 벡터함수 r는 정의역(domain)이 실수이고 치역(range)는 벡터의 집합으로 이루어진 함수이다. 예를 들어, 3차원 벡터 공간 V3에서 정의된 벡터함수 $\mathb..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 두 평면이 교차하는 직선에서는 3차원에서 두 평면이 교차할 때 생기는 직선을 구하는 방법과 점과 평면 사이의 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 3차원에서 그릴 수 있는 원통과 이차곡면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 1. 원통(Cylinder, Rulings) 먼저, 포물선 기둥(parabolic cylinder)부터 보도록 하겠습니다. 예를 들어, z=x2과 같은 함수가 있습니다. 이 함수를 잘 보시면 y에 대한 제한이 존재하지 않습니다. 따라서, y 축을 따라서 쭉 펼쳐져있을 겁니다. 그리고 임의의 k에 대해서 y=k로 위 식을 잘라보면 zx평면에서 포물선 z=x2를 얻을 수 있습니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 직선과 평면의 방정식에서는 3차원에서 벡터를 이용하여 직선과 평면을 표현하는 벡터 방정식(vector equation)과 스칼라로 풀어서 표현하는 직선을 위한 대칭 방정식(symmetric equation)과 스칼라 방정식(scalar equation)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 평면이 교차하는 직선을 구하는 방법과 평행하는 평면과 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 일단, 몸풀기로 간단한 문제부터 생각해보겠습니다. 위와 같이 두 평면이 교차할 때 이루는 각 θ을 어떻게 구할 수 있을까요? 방법은 간단합니다. 기본적으로 두 개의 평면 모두 법선벡터 n1과 n2를 가지고..
