안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 법선벡터와 종법선벡터에서는 곡선을 통해 얻을 수 있는 두 가지 종류의 벡터(법선벡터 / 종법선벡터)의 정의와 단위 기울기 벡터, 법선벡터, 종법선벡터를 얻을 수 있는 두 가지 종류의 평면(법평면 / 접촉평면)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 단변수 함수 $f(x)$의 형태만 보았지만 오늘부터는 여러 개의 변수를 가지는 다변수 함수(multi-variable function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 다변수 함수(multi-variable function) 다변수 함수는 어떤 집합 $D$에 대해서 실수쌍 $(x, y) \in D$을 고유한 규칙으로 값 $f(x, y)$를 배정하는 규칙이다. 이때, 집합 $D$는 함수 $f$의 정의역(d..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 곡률에서는 곡률을 구하는 방법과 이와 관련된 몇 가지 정리에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이어서 곡선의 법선벡터(normal vector)와 종법선벡터(binormal vector)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 벡터의 미분과 적분에서 보았던 단위 기울기 벡터(unit tangent vector)와 함께 보도록 하겠습니다. 기본적으로 법선벡터는 단위 기울기 벡터와 수직을 이루는 벡터를 의미합니다. 그리고 저희는 단위 기울기 벡터 $\mathbf{T}$와 단위 기울의 벡터의 미분인 $\mathbf{T}^{'}$가 서로 직교(orthogonal)한다는 사실을 알고 있기 때문에 법선벡터 $\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 공간곡선의 길이에서는 벡터함수를 매개변수 방정식으로 생각한 뒤 곡선의 길이를 구하는 공식을 유도해보았습니다. 결과적으로 $a \le t \le b$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$의 곡선의 길이는 $L = \int_{a}^{b} \mathbf{r}^{'}(t) \; dt$입니다. 오늘은 곡률(curvature)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 곡률(curvature) 곡선의 곡률은 $\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$로 정의되고 이때, $\mathbf{T}$는 단위 기울기 벡터이다. 설명 기본적으로 구간 $I$에서 공간곡선 $\mathbf{r}$이 부드럽다(smooth)는 것은 구간 $I..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분에서는 미적분을 벡터함수에서 어떻게 하는 지에 대해서 알아보았습니다. 결과적으로 벡터함수의 각 성분함수들에 대해서 미분과 적분을 해주면 되는 간단한 일이였습니다. 오늘은 이어서 벡터함수로 표현되는 공간곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 한편, 미적분학 - 매개변수와 미적분학 2에서 저희는 매개변수로 표현되는 함수의 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 예를 들어, 어떤 곡선 $C$가 $(x, y)$로 표현될 때, $a \le t \le b$에서 $x = f(t)$이고 $y = g(t)$라고 하면 곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수와 공간곡선에서는 벡터함수와 공간곡선의 정의와 함께 벡터함수의 극한을 구하는 방법과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터함수가 주어졌을 때 미적분을 적용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 정의1. 벡터함수의 도함수(Derivative of vector function) 벡터함수 $\mathbf{r}$의 도함수 $\mathbf{r}^{'}$은 아래의 극한이 존재한다면 실함수와 동일하게 정의된다. $$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{r}^{'}(t) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)}{h}$$ 설명 기본적으로 함수의 미분은 함수의 두 점을 통..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 원통과 이차곡면에서는 3차원 공간에서 정의되는 다양한 원통과 이차곡면에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 벡터에 대한 내용을 함수로 확장해보도록 하겠습니다. 지금까지는 실함수(real-valued function)에 대해서만 다루었지만 오늘은 곡선과 곡면을 기술하는 데 필요한 벡터 함수(vector-valued function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터함수(vector-valued function, vector function) 벡터함수 $\mathbf{r}$는 정의역(domain)이 실수이고 치역(range)는 벡터의 집합으로 이루어진 함수이다. 예를 들어, 3차원 벡터 공간 $V_{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathb..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 두 평면이 교차하는 직선에서는 3차원에서 두 평면이 교차할 때 생기는 직선을 구하는 방법과 점과 평면 사이의 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 3차원에서 그릴 수 있는 원통과 이차곡면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 1. 원통(Cylinder, Rulings) 먼저, 포물선 기둥(parabolic cylinder)부터 보도록 하겠습니다. 예를 들어, $z = x^{2}$과 같은 함수가 있습니다. 이 함수를 잘 보시면 $y$에 대한 제한이 존재하지 않습니다. 따라서, $y$ 축을 따라서 쭉 펼쳐져있을 겁니다. 그리고 임의의 $k$에 대해서 $y = k$로 위 식을 잘라보면 $zx$평면에서 포물선 $z = x^{2}$를 얻을 수 있습니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 직선과 평면의 방정식에서는 3차원에서 벡터를 이용하여 직선과 평면을 표현하는 벡터 방정식(vector equation)과 스칼라로 풀어서 표현하는 직선을 위한 대칭 방정식(symmetric equation)과 스칼라 방정식(scalar equation)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 평면이 교차하는 직선을 구하는 방법과 평행하는 평면과 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 일단, 몸풀기로 간단한 문제부터 생각해보겠습니다. 위와 같이 두 평면이 교차할 때 이루는 각 $\theta$을 어떻게 구할 수 있을까요? 방법은 간단합니다. 기본적으로 두 개의 평면 모두 법선벡터 $\mathbf{n}_{1}$과 $\mathbf{n}_{2}$를 가지고..
