안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 외적에서는 두 벡터의 외적(outer product, cross product, vector product)을 계산하는 방법과 이와 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 3차원 상에서 직선과 평면을 대수적으로 표현하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 직선을 설명하기 위해서 위와 같은 그림을 고려해보겠습니다. 직선 $L$을 정의하기 위해서는 어떤 정보가 필요할까요? 일단, 어떤 점을 지나는 지가 필요할 것입니다. 위 그림에서는 이를 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$라고 두었습니다. 문제는 3차원에서 점 하나를 지나는 직선은 무한히 많습니다. 따라서, 이를 하나의 직선으로 결정해주기 위한 정보가 한 가지 더 필요합니..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 방향각과 사영에서는 벡터의 내적 공식을 통해 방향각과 사영에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 벡터를 연산하는 다른 방법인 외적(outer product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터의 외적(Outer product) 두 벡터 $\mathbf{a} = $와 $\mathbf{b} = $가 있다고 하자. 그러면 두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 사이의 외적은 아래와 같이 계산된다. $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = $$ 이때, 외적은 기호 $\times$에 의해 cross product로 불리거나 외적의 결과가 벡터이기 때문에 벡터 곱(vector product)라고도 불린다. 설명 내적과 외적의 가..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 내적에서는 내적의 정의와 그와 관련된 성질 몇 가지에 대해서 알아보았습니다. 특히, 중요한 것은 벡터의 내적을 통해서 두 벡터가 이루는 각도를 구할 수 있다는 점입니다. 이 부분은 오늘 알아볼 벡터의 방향각(direction angle)을 구하는 데 중요하기 때문에 꼭 알아두셔야 합니다. 또한 벡터를 다른 벡터에 사영(projection) 시킨다는 것이 어떤 의미인지 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 방향각(direction angle) 벡터 $\mathbf{a} = $의 방향각은 $x, y, z$-축과 이루는 각도 $\alpha, \beta, \gamma$로 정의된다. $$\cos(\alpha) = \frac{a_{1}}{\left|\mathbf{a}\rig..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 성분에서는 벡터를 좌표평면 상에 표현하는 방법과 그에 따른 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터하면 빼놓을 수 없는 중요한 연산인 내적(inner product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 내적(inner product, dot product, scalar product) 두 벡터 $\mathbf{a} = $와 $\mathbf{b} = $가 주어졌다고 하자. 이때, 두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 사이의 내적은 아래와 같이 정의된다. $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$$ 만약, 두 벡터가 2차원 상의 벡터라면 아래와 같다. $$\..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터에서는 벡터의 정의와 벡터합과 차를 계산하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터를 표현하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지난 포스팅에서 벡터를 정의하기 위해서는 시작점과 끝점이 필요하다고 말씀드렸습니다. 따라서 이 두 가지만 정해준다면 크기와 방향성을 지정할 수 있습니다. 하지만 대부분은 시작점을 원점 $O$로 고정하게 됩니다. 끝점만 $(a_{1}, a_{2})$와 같이 좌표의 형태로 지정해줍니다. 이 말은 원점 $O$에서 시작해서 $(a_{1}, a_{2})$에서 끝나는 벡터를 의미하죠. 이를 표현하면 아래와 같습니다. $$\mathbf{u} = $$ 이를 3차원으로 표현할 수도 있습니다. $$\mathbf{u} = $$ 벡터의 표현방법을 익..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 좌표계에서는 3차원 좌표계를 이루는 구성요소들(원점, 축, 평면)과 3차원의 두 점 사이의 거리를 구하는 공식과 구를 대수적으로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이어서 벡터(vector)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 간단히 말해서 벡터란 크기(magnitude)와 방향성(direction)을 동시에 표현할 수 있는 단위입니다. 따라서, 벡터에서는 방향성이 중요한 요소이기 때문에 이를 표현하기 위해 위와 같이 화살표 기호로 표기합니다. 그리고 일반적으로 방향성이 존재하지 않고 크기만 존재하는 경우에는 스칼라(scalar)라고 하며 $u$나 $v$로 표기합니다. 만약, 방향성이 포함된 벡터라면 $\mathbf{u}$나 $\mathbf{v}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 복잡한 함수의 테일러 급수에서는 $\sin(x), \cos(x)$를 맥클로린 급수로 표현하는 방법과 이항급수(bionomial series)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 새로운 주제로 넘어가서 3차원에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 이를 위해서 3차원 좌표계를 어떤 식으로 정의하는 지부터 알아보도록 하죠. 기본적으로 3차원 좌표계는 위와 같이 이루어져 있습니다. 일단, 원점(origin point) $O$가 있습니다. 2차원 좌표계에서와 마찬가지로 기준점의 역할을 하게 됩니다. 그리고 원점을 기준으로 뻗어나가는 3개의 좌표 축(coordinate axis) $x, y, z$를 볼 수 있습니다. 이 역시 2차원 좌표계와 마찬가지입니다. 다만, 다른 점은 지금..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 테일러 급수와 맥클로린 급수에서는 테일러 급수와 맥클로린 급수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 또한, 간단한 함수인 $f(x) = e^{x}$의 맥클로린 급수 표현도 구해보았습니다. 오늘은 보다 복잡한 형태의 함수들의 테일러 급수 또는 맥클로린 급수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 삼각함수로 시작해보도록 하겠습니다. 함수 $f(x) = \sin(x)$의 맥클로린 급수를 구해보도록 하죠. 맥클로린 급수의 계수는 아래와 같습니다. $$c_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ 따라서, $f(x) = \sin(x)$를 여러 번 미분해보아야 합니다. $$\begin{align*} &f^{'}(0) = 1 \\ &f^{''}(x) = 0 ..
