안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원기둥좌표계에서의 삼중적분에서는 원기둥좌표계에서는 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 삼차원에서 새로운 좌표계인 구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 구면좌표계(Spherical Coordinate)이 어떻게 정의되는지부터 알아봐야겠네요. 원기둥좌표계에서는 $(r, \theta, z)$로 이루어진 좌표계로 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 그리고 $\theta = \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$로 정의되었습니다. 그리고 $z$는 직교좌표계의 높이와 동일하게 정의가 되었죠. 구면좌표계에서는 $(\rho, \theta, \phi..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼중적분에서는 3개의 변수 $(x, y, z)$를 가지는 함수 $w = f(x, y, z)$에 대한 삼중적분을 해보았습니다. 오늘은 이중적분을 극좌표계에서 했듯이 삼중적분을 다른 좌표계에서 해보도록 하겠습니다. 삼중적분에서 자주 사용되는 좌표계는 원기둥좌표계입니다. 오늘은 이것에 대해서 알아보도록 하죠. 일단 원기둥좌표계(Cylinder Coordinate)부터 알아보아야할 거 같습니다. 기본적인 구조는 극좌표계(Polar Coordinate)와 동일합니다. 미적분학 - 극좌표계에서 보았듯이 좌표계 변환을 다시 보도록 하겠습니다. $$x = r\cos(\theta), y = r\sin(\theta)$$ 여기서 원기등좌표계는 추가적으로 $z$축을 추가하여 $(r, \..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표에서의 이중적분에서는 극좌표에서 이중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 기존의 이중적분과 동일하게 적분하려는 영역을 아주 작게 등분하는 것으로 시작하였습니다. 다만, 직교좌표계에서는 $x$축과 $y$-축을 기준으로 등분했지만, 극좌표계에서는 $r$과 $\thea$를 기준으로 등분하였습니다. 이때, $r = \sqrt{x^{2}+ y^{2}}$이고 $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$로 정의가 되었습니다. 오늘은 이어서 3개의 변수를 가진 함수 $w = f(x, y, z)$가 있을 때 적분하는 방법인 삼중적분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 삼중적분의 기본적인 원리는 이중적분과 동일합니다. 이중적분에..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일반적인 영역에 대한 이중적분 정의에서는 직사각형 영역이 아닌 임의의 모양을 가진 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 임의의 모양을 덮는 직사각형 영역에서 적분을 하는 것이였습니다. 오늘은 다시 좌표계를 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸어서 이중적분을 해보도록 하겠습니다. 이를 위해서는 극좌표계부터 알아야겠죠? 미적분학 - 극좌표계에서는 직교좌표에서 극좌표계로 또는 극좌표계에서 직교좌표계로 변환하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 정리하면 아래와 같죠. 직교좌표계 $\rightarrow$ 극좌표계 : $(r, \theta) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, \arctan(\frac{y}{x}))$ 극좌표계 $\righta..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 반복적분에서는 실질적으로 다변수 함수의 적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 직사각형 영역에 대한 이중적분을 해보았습니다. 오늘은 영역을 직사각형에 국한하지 않고 보다 일반적인 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저희의 목표는 위의 왼쪽 그림과 같은 임의의 모양을 가진 영역 $D$ 상에서 이중적분을 하는 것이 목표입니다. 하지만, 기본적으로 저희는 현재 직사각형 영역에 대한 이중적분밖에 하지 못하기 때문에 이를 활용해야합니다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 영역 $D$를 둘러싸는 새로운 직사각형 영역 $R$을 생각해보겠습니다. 그리고 기존의 함수를 $f$라고 했을 때 영역 $D$에서는 값을 그대로 같지만 영역 $D$ ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 이중적분에서는 다변수 함수에서 다중적분이 정의되는 원리에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로는 기존의 단변수 함수에서의 적분과 큰 차이는 없이 동일하게 구간을 등구간으로 자르는 것으로 시작하는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 이중적분을 실질적으로 어떻게 계산하는 지에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 함수 $f$가 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 적분가능하다고 하겠습니다. 저희가 미적분학 - 편미분에서 보았듯이 특정 변수에 대해서 미분을 할 수 있습니다. 이와 유사하게 특정 변수에 대한 적분 역시 가능하죠. 저희는 이를 편적분(partia..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 라그랑주 승수법에서는 제약조건 하에서 함수의 최댓값 및 최솟값을 구하는 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지는 다변수 함수의 미분과 관련된 내용만 보았습니다. 오늘부터는적분과 관련된 내용을 알아보도록 하죠. 다만, 이제부터는 변수가 여러 개가 있기 때문에 다중적분(Multiple Integral)을 수행하게 됩니다. 전체적으로 단변수 함수의 적분을 이해해야하기 때문에 차근차근 알아보도록 하죠. 1. 단변수 함수의 정적분(Definite Integration of Unit Variable Function) 이 부분에 대한 내용은 미적분학 - 영역 문제와 미적분학 - 적분 정의에서 자세하게 알아보았습니..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 최대최소에서는 다변수 함수가 정의된 정의역 내에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수와 함께 특별한 제약조건(constraint)이 포함되었을 때 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법인 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 라그랑주 승수법의 기본 개념을 이해하기 위해 위 그림을 함께 설명하도록 하겠습니다. 여기서 $y = f(x, y)$의 다변수 함수가 주어졌다고 가정하겠습니다. 그리고 $f(x, y) = C$로 이어진 분홍선 선 그래프는 함수 $y = f(x, y)$의 등고선을 의미합니다. 이제부터 저희가 원하는 것은 $g(x, y) = ..
