안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수 곡면에서는 3차원 공간에서 곡면을 매개변수로 표현하는 방법과 곡면과 관련된 다양한 개념들(회전체, 접평면, 곡면의 넓이)을 정리해보았습니다. 오늘은 이어서 면적분 (Surface Integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 저희는 3차원 곡선 상에서의 적분인 선적분 (Line Integral)을 중점적으로 보았지만 이를 보다 확장하여 3차원 곡면 상에서도 적분을 수행할 수 있습니다. 1. 배경 (Background) 면적분을 이해하기 위해서는 기본적으로 선적분에 대한 개념과 유도과정을 반드시 숙지하고 계셔야하기 때문에 혹시 생각나지 않으시는 분들은 미적분학 - 선적분에서 한번 간단하게 훑어보시고 오시는 것을 추천드립니다. 기본적으로 적분을 하..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 회전과 발산에서는 벡터함수의 회전과 발산의 정의와 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 매개변수 곡면에 대해서 알아보도록 하죠. 1. 매개변수 곡면 (Parametric Surface) 지금까지 저희는 주로 매개변수 곡선 $C$ 상에서 선적분하는 방법에 대해서 중점적으로 다루었습니다. 여기서 한 가지 궁금증은 매개변수 "곡선"이 있다면 매개변수 "곡면"도 정의할 수 있겠죠? 방법은 간단합니다. 매개변수 곡선은 1개의 매개변수 $t$에 의해 결정되는 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$로 표현될 수 있었습니다. 곡면은 3차원으로 표현되기 때문에 3개의 성분함수 $$가 필요하겠네요. 보다 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그린 정리에서는 이변수 함수에서의 미적분학 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus; FTC)인 그린 정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 그린 정리의 핵심은 어려운 선적분을 곡선이 정의된 영역에서의 단순한 이중적분으로 변환하여 계산하는 것이였습니다. 오늘은 벡터장에서 중요한 개념인 회전(curl)과 발산(divergence)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 회전(curl) 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서는 선적분과 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 이 정리들은 오늘 알아볼 그린 정리(Green's Theorem)의 기본이 되기 때문에 숙지하셔야하는 정리들입니다. 오늘은 그린 정리를 알아보고 간단한 케이스에서의 그린 정리를 증명해보도록 하겠습니다. 정리1. 그린 정리(Green's Theorem) 양의 방향을 가지는 곡선 $C$가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 $D$를 곡선 $C$에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 $D$를 포함하는 열린 영역에서 $P$와 $Q$가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다. $$\int_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} \left(\fr..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분에서는 기존에 저희가 보았던 축이나 평면을 기준으로하는 적분이 아닌 매개변수 곡선 상에서의 적분인 선적분에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 보다 이론적인 내용으로 선적분을 미적분학 기본정리와 연결지어보도록 하겠습니다. 일단, 선적분을 다시 복습해보면 함수 $f(x, y)$의 변수들이 각각 매개변수 $a \le t \le b$에 대한 함수 $x = x(t)$와 $y = y(t)$로 정의된다고 가정할 때 곡선 $C$에서 아래와 같이 적분할 수 있습니다. $$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터장에서는 2차원과 3차원에서의 벡터함수로 표현되는 벡터장(Vector Field)에 대한 설명을 해보았습니다. 그리고 몇 가지 함수들에 대한 벡터장을 실제로 그려보았죠. 지금까지 저희는 적분을 할 때 고정된 $x$축 또는 $xy$ 평면에 대해서 수행해왔습니다. 좀 더 일반적으로 생각해보았을 때 어떤 임의의 곡선 $C$ 위에서 적분을 수행할 수도 있지 않을까요? 오늘은 선적분(Line integral)에 대해서 알아보도록 하죠. 일단, 위 그림과 같이 곡선 $C$가 정의되었다고 가정하겠습니다. 이 곡선은 $a \le t \le b$을 $n$등분하여 $n$개의 등구간을 만든 뒤 각 구간에서 표본점 $t_{i}^{*}$을 선택하여 곡선 $C$ 상의 점 $P_{i}$로..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 $\Delta A$가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 정의1. 벡터장(Vector Field) 1). $D$를 $\mathbb{R}^{2}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y)$에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 구면좌표계에서의 삼중적분에서는 직교좌표계를 구면좌표계로 또는 그 반대로 구면좌표계를 직교좌표계로 변환시키는 방법과 함께 구면좌표계로 정의된 영역 내에서 삼중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다중적분에서 변수변환법(Change of Variables)을 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 치환적분에서 보았던 개념을 다시 보도록 하겠습니다. 기본적으로, $y = f(x)$이고 $x = g(u)$로 표현되는 매개변수 함수라고 가정했을 때 함수 $y$를 $x = a$부터 $x = b$까지의 적분을 변수 $u$를 이용해서 표현할 수 있습니다. $$\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \int_{c}^{d} f(g(u))..
