안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선형근사에서는 $x = a$의 근방에서 임의의 함수 $f(x)$의 값을 근사하는 선형근사(Linear Approximation)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분의 활용 예시로 최대값과 최소값을 구하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 정의 : 전역 최대 (Global Maximum)와 전역 최소 (Global Minimum) 함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$에서 $f(c) \ge f(x)$를 만족하면 $f$는 전역 최대(Global Maximum) 또는 절대 최대(Absolute Maximum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 로그함수 미분에서는 로그함수의 미분법과 로그함수를 포함한 다양한 합성함수의 미분법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분을 응용한 수치적 계산법인 선형근사법(Linear Approximation)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 위 그림을 먼저 보시면 어느정도 이해가 가실겁니다. $x = a$에서 $f(x)$의 접선이 $L(x)$라고 할 때, $x = a$ 근처에서는 $y = L(x) = f(a) + f^{'}(x)(x - a)$와 $f(x)$가 별 차이가 나지 않는 다는 것을 볼 수 있습니다. 하지만, 멀어질수록 그 차이는 벌어지겠죠. 이러한 정보를 활용해서 $f(1)$에서의 값을 알..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 로그함수의 미분 $$\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) = \frac{1}{x\ln{a}}$$ 증명 로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연쇄법칙에서는 합성함수의 미분 규칙에 대해서 설명드렸습니다. 오늘은 특별한 형태의 함수인 음함수 (implicit function)이 무엇인지와 미분하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단 음함수가 있다면 양함수(explicit function)도 있겠죠? 양함수는 일반적으로 저희가 보았던 $y = f(x)$ 꼴의 모든 함수를 의미합니다. 따라서, 음함수라는 것은 $y = f(x)$의 꼴이 아닌 함수를 의미합니다. 예를 들어 단위 원의 방정식 $x^{2} + y^{2} = 1$은 $y = f(x)$ 꼴이 아니라, $x, y$가 모든 좌항에 몰려있습니다. 이러한 함수의 꼴들을 모..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼각함수 미분에서는 다양한 미분기법들(곱의 미분, 몫의 미분)을 활용해서 더 복잡한 형태의 삼각함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분에서 굉장히 중요한 연쇄법칙(Chain Rule)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 예제를 중심으로 연쇄법칙을 연습하시면 더욱 쉽게 이해하실 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 연쇄법칙(Chain Rule) 함수 $g$가 $x$에서 미분가능하고 $f$가 $g(x)$에서 미분가능할 때 합성함수 $F = f \circ g$의 $x$에서 미분 $F^{'}(x)$은 아래와 같이 계산된다. $$F^{'}(x) = f^{'}(g(x)) \cdot g^{'..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분에서는 두 함수의 곱과 나누기의 형태로 주어졌을 때 미분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이에 이어서 삼각함수(Trigometric function)의 미분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 삼각함수 미분에 있어서 가장 많이 활용되는 식은 "합차 공식"입니다. $\sin{(x \pm y)} = \sin{(x)}\cos{(y)} \pm \sin{(y)}\cos{(x)}$ $\cos{(x \pm y)} = \cos{(x)}\cos{(y)} \mp \sin{(x)}\sin{(y)}$ 본격적으로 미분을 구하기 전 삼각함수 미분의 재밌는 특성은 삼각함수도 주기적이..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분에서는 다항함수와 지수함수의 미분 규칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 함수끼리 곱셈의 미분과 몫의 미분을 계산하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 곱의 미분 (Product Differentiation Rule) 만약 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 아래의 식을 만족한다. $$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)\frac{d}{dx}\left[g(x)\right] + g(x)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]$$ 예제1. $f(x) = xe^{x}$일 때, $f^{'}(x)$과 $f^{n}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수 미분에서는 기존의 미분을 구하는 법을 확장하여 일반적인 함수의 미분을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 하지만 항상 정의를 사용하여 미분하게 되면 비효율적이기 때문에 몇 가지 대표적인 함수들에 대한 미분은 미리 정의해놓고 사용하는 편입니다. 특히 오늘은 가장 대표적인 다항함수와 지수함수의 미분을 일반적으로 어떻게 하는 지 알아보도록하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 상수함수 (Constant Functions) 상수함수은 $f(x) = c$인 함수로 정의된 모든 정의역에서 동일한 값을 유지하는 함수이다. 정리1. 상수함수의 미분 $\forall x \in \text{dom}(f)$에 대해서 ..
