안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미적분학 기본정리에서는 미분과 적분 사이의 관계와 정적분을 계산하는 방법에 대한 내용을 설명하였습니다. 오늘은 윗끝과 아래끝이 정해지지 않은 부정적분에 대해 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 저희는 지난 포스팅의 FTC 1에 의해 적분은 미분의 역임을 알게 되었습니다. 따라서, $\frac{d}{dx} \left(F(x)\right) = f(x)$와 같은 식이 성립한다면 $\int f(x) \; dx = F(x) + C$도 성립하게 됩니다. 이때, $C$를 적분 상수(integral constant)라 부릅니다. $C$는 상수이기 때문에 미분할 때 없어지고 $\frac {d}{dx} \left(F..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 적분의 정의와 계산 그리고 정적분의 성질에서는 정적분이 가지는 좋은 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학 기본정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리 1. 미적분학 기본정리 PART 1 (The Fundamental Theorem of Calculus PART 1; FTC 1) 함수 $f$가 닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 연속이면 $x \in I$에 대해서 정의된 $g(x) = \int_{a}^{x} f(x) \; dx$는 닫힌 구간 $I$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하며 $g^{'}(x) = f(x)$이다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 영역 문제에서는 어떤 곡선이 주어졌을 때 밑넓이를 구하는 간단한 과정을 보여드렸습니다. 기본적으로 같은 밑변의 길이를 가지도록 $n$개의 직사각형으로 쪼갠다음에 각 넓이를 전부 합하고 $n \rightarrow \infty$에 대한 극한값을 계산하면 저희는 곡선의 밑넓이 값을 얻을 수 있었습니다. 오늘은 좀 더 자세한 적분의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 적분 (Integral) 닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이때, 닫힌구간 $I$를 동일한 길이 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$를 가지는 $n$개의 구간으로 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그래프 그리기에서는 복잡한 형태의 그래프를 그리는 방법을 설명드렸습니다. 지금까지는 미분을 중심으로 설명드렸다면 오늘부터는 주제를 바꾸어서 적분에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 적분은 그림1과 같이 어떤 곡선 $y = f(x)$가 주어졌을 때, 곡선과 $x$축의 구간 $[a, b]$사이에서 $S$의 면적을 구하는 문제부터 시작합니다. 이때, 면적 $S$를 수학적인 집합으로 표기하면 아래와 같습니다. $$S = \{(x, y) | a \le x \le b, 0 \le y \le f(x)\}$$ 이제 $S$의 면적을 구하면 되겠네요! 하지만 일반적으로 저희가 아는 기초도형(삼각..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정형 극한과 로피탈의 정리에서는 계산하기 어려운 극한에 로피탈의 정리를 적용하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분이 함수의 다양한 정보를 포함하고 있다는 것을 활용하여 복잡한 형태의 함수를 그리는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 함수의 그래프는 아래의 단계를 통해서 그릴 수 있습니다. 1. 함수의 정의역(Domain) 확인 : 함수 $f(x)$가 정의된 영역을 확인합니다. 2. $y$ 절편 확인 : $f(0)$ 값을 확인합니다. 3. 대칭성(Symmetry) 확인 : $f(-x) = f(x)$라면 $f(x)$는 $y$축에 대칭인 우함수(even function), $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미분과 그래프에서는 2차 미분을 통해서 함수의 정보를 얻어내는 방법에 대해서 말씀드렸습니다. 오늘은 다시 함수의 극한을 계산하는 부분으로 돌아오도록 하겠습니다. 저희는 앞으로 다양한 함수의 극한을 구해야 합니다. 이때, 구하기 까다로운 함수의 극한들이 존재하는데요. 이러한 극한 형식을 부정형(indeteminate form)이라고 부릅니다. 오늘은 이러한 극한들에 대해서 알아보도록 하죠. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 함수 $f(x) = \frac{\ln{x}}{x - 1}$이 있다고 가정해보도록 하겠습니다. 이 함수는 기본적으로 $x = 1$에서 정의되지 않기 때문에 저희가 미분을 통해서 $x = 1$ 근방..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 평균값 정리 (Mean Value Theorem; MVT)에서는 미적분학에서 중요하게 활용되는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 1차 미분과 함수의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 1차 미분과 함수의 증감 1차 미분을 통해서 저희는 함수의 증감을 알아낼 수 있습니다. 기본적으로 미분은 함수의 접선을 의미합니다. 만약, 그 접선의 기울기가 양수라면 해당 구간에서는 증가하고 있는 상태이고 반대로 음수라면 감소하고 있는 상태라는 것입니다. 위 그래프는 그러한 1차 미분의 특성을 아주 잘 보여주고 있습니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 최대값과 최소값에서는 전역최대 및 전역최소의 정의, 그리고 지역최대 및 지역최소의 정의, 마지막으로 임계값에 대해서 알아보았습니다. 그리고 이와 관련된 다양한 정리들(극값이론;Extreme Value Theorem, 페르마 정리;Fermat's Theorem)도 보았습니다. 오늘은 이어서 굉장히 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 하지만, 평균값 정리를 유도하기 전에 저희가 먼저 알아봐야 할 정리는 롤의 정리(Rolle's Theorem)입니다. 정리의 정확한 statement는 아래의 링크를 참조바랍니다. Rolle's th..
