안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미분 개요에서는 접선(Tangent)와 미분(Derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지난 번에 알아본 미분을 임의의 점으로 확장해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 함수 미분(Function Derivative) 함수 $f$의 임의의 점 $x \in \text{dom}(f)$에서의 함수 미분(Function Derivative)은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. $$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ 이때, 미분의 기호는 다양하며 아래의 기호들 모두 동일한 의미이다. $$f^{'}(x) = y^{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한대 극한에서는 $x \rightarrow \infty$이거나 $x \rightarrow -\infty$일 때 $\pm \infty$로 발산하는 경우와 이에 대한 정확한 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학의 꽃이라고 할 수 있는 미분에 대해서 간단하게 설명해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 접선 (Tangent) 직교평면에 어떤 곡선 $C$가 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 이 곡선이 $y = f(x)$로 나타낼 수 있다고 하면 점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $C$의 접선(Tangent)를 찾는 것이 목표입니다. 문제를 간단하게 하기 위해서 일단 점 $P$ 근방의 임의의 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연속 함수에서는 연속 함수에 대한 정의와 성질, 중간값 정리에 대해서 알아보았습니다. 지금까지의 극한은 $x$가 특정값 $a$로 접근했을 때 변화를 알아보았다면 오늘은 $x$가 무한히 커지거나 작아지는 극한에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 간단한 예시로 $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} +1}$의 그림을 보도록 하겠습니다. 위와 같이 $x$가 커지면 커질수록 $f(x)$가 $y = 1$에 접근하는 것을 관찰할 수 있습니다. 저희는 이를 아래와 같이 쓰도록 하겠습니다. $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학- 극한의 정확한 정의에서는 좌극한, 우극한의 정의와 함께 무한대로 발산하는 경우의 정의까지 알아보았습니다. 오늘은 극한을 통해 정의되는 새로운 함수의 종류인 연속함수 (continuous function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 연속함수 (Continuous functions)와 불연속 함수 (Discontinuous function) 함수 $f$가 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$라면 $f$를 $x = a$에서의 연속함수 (continuous function)이라고 한다. 만약, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) \neq..
안녕하세요. 지난 포스팅 미적분학 - 극한 법칙을 이용하여 극한 계산하기에서는 몇 가지 규칙을 활용해서 극한값을 쉽게 구할 수 있는 방법에 대해서 소개해드렸습니다. 오늘은 극한을 좀 더 정확하게 정의해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단 비유없이 바로 팩폭으로 정의하면 아래와 같습니다. 정의1.극한(limit) 함수 $f(x)$가 $a$를 포함하는 열린 집합에서 정의되었다고 가정하자. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $0 0$가 존재한다면 $x \rightarrow a$일..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 극한에서는 극한을 간단하게 정의하고 계산해보았습니다. 오늘은 극한 법칙과 이를 활용한 극한 계산법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$와 $\lim_{x \rightarrow a} g(x)$가 존재한다고 가정하겠습니다. 그러면 아래의 법칙들이 성립합니다. $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x) \pm g(x)\right] = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ $\lim_{x \rightarrow a} \left[cf(x)\right..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 접선에서는 어떤 점에서 곡선의 접선을 찾는 근사적인 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 명확하게 정의하기 위해서 함수의 극한에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 사실 그림으로 보면 쉽게 이해가실 겁니다. 예를 들어 위의 그림을 보도록 하죠. $y = f(x) = x^{2} - x + 2$라는 그래프가 있습니다. 그리고 $x = 2$를 기준으로 왼쪽, 오른쪽에서 천천히 접근한다고 가정하겠습니다. 그러면 오른쪽 표와 같이 $f(x)$는 $x 2$일 때는 4보다는 크지만 점점 가까워지고 있죠. 그리고 $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 역함수와 로그함수, 역삼각함수에서는 역함수의 정의와 함께 지수함수와 삼각함수의 역함수인 로그함수와 역삼각함수에 대해서 알아보았습니다. 특히, 역삼각함수를 정의하기 위해서는 삼각함수의 범위를 제한하여 일대일 대응 함수가 되야하는 것까지 언급하였습니다. 오늘은 미분을 향한 첫번째 발걸음으로 접선(tangent)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 여러분, 혹시 접선을 의미하는 "tangent"라는 단어가 "touching"을 의미하는 라틴어에서 유래한다는 것을 아시나요? 이를 미루어볼 때 접선이라는 것은 어떤 것에 닿아있는 것을 의미한다고 볼 수 있습니다. 수학에서 말하는 접선은 곡선..
